一類加權(quán)序列空間中廣義齊次核的Hilbert型離散不等式和序列算子的有界性

張麗娟,洪 勇,,孔蔭瑩

(1.廣州華商學院 數(shù)據(jù)科學學院,廣東 廣州 511300;2.廣東財經(jīng)大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院,廣東 廣州 510320)

(1)

由于Hilbert不等式在研究算子的有界性及算子范數(shù)中有重要應(yīng)用,因而受到廣泛關(guān)注。設(shè)r>1,φ(m)>0,將lr(N+)推廣為加權(quán)序列空間:

是以K(m,n)為核的Hilbert型離散不等式。當加權(quán)序列空間中的權(quán)函數(shù)為冪函數(shù)時,各國學者已經(jīng)得到了許多結(jié)構(gòu)優(yōu)美的Hilbert型不等式。

(2)

文[3]得到:

(3)

式(2)與式(3)的常數(shù)因子都是最佳值。

文[4]考慮了抽象的λ階齊次核,引入搭配參數(shù)a,b,首次討論了Hilbert型離散不等式的最佳參數(shù)條件,得到不等式:

(4)

加權(quán)序列空間:

1 若干引理

設(shè)G(u,v)是λ階齊次函數(shù),λ1λ2≠0,稱K(x,y)=G(eλ1x,eλ2y)為廣義齊次函數(shù),顯然K(x,y)具有性質(zhì):

引理1設(shè)g(u)>0,λ>0,c>0,λ0∈R,g(u)分別在(0,c]上遞增和在[c,+∞)上遞減,則

證明因為g(u)分別在(0,c]上遞增和在[c,+∞)上遞減,故g(c)是g(t)在是的最大值。

(g(eλk+λ0)(k+1-c0)+g(eλ(k+1)+λ0)(c0-k))≤

g(c)(k+1-c0)+g(c)(c0-k)=

引理2設(shè)λ1>0,λ2>0,c1>0,c2>0,G(u,v)是λ階齊次非負函數(shù),K(x,y)=G(eλ1x,eλ2y),G(1,tλ2)t-bp分別在(0,c1]上遞增和在[c1,+∞)上遞減,G(tλ1,1)t-aq分別在(0,c2]上遞增和在[c2,+∞)上遞減,則

(5)

(6)

證明記g(t)=G(1,tλ2)t-bp,因為g(t)分別在(0,c1]上遞增和在[c1,+∞)上遞減,于是有

故式(5)成立。

類似地,可以證明式(6)成立。

2 加權(quán)序列空間中的Hilbert型離散不等式

(7)

(ⅱ)若λ1=λ2=λ0,aq+bp=λλ0,M1=M2,則

(8)

證明(ⅰ)以a,b為搭配參數(shù),根據(jù)H?lder不等式及引理2,有

故式(7)成立。

W1(-bp)+M1

從而根據(jù)(i),得到式(8)。

3 加權(quán)序列空間中離散算子的有界性及算子范數(shù)估計

則根據(jù)Hilbert型不等式的基本理論,不難證明Hilbert型離散不等式:

(9)

等價于算子不等式:

(10)

根據(jù)式(9)與式(10)的等價性和定理1,可得:

則有

故W1(-bp)<+∞,M1=M2。根據(jù)引理3,W2(-aq)=W1(-bp)<+∞。

根據(jù)定理2,知推論1成立。

則有

(λλ0-σ)t-λ0]

λλ0)tλ0]

又因為aq+bp=0,由引理3,有W1(-bp)=W2(-aq),而

故W2(-aq)<+∞。同時還有

故M1=M2。

綜上,根據(jù)定理2,知推論2成立。

注最后,需要指出的是,式(8)中的常數(shù)因子W1(-bp)+M1是否是最佳值,不得而知,這是需要進一步研究的問題。