基于梁函數-Ritz法的圓柱殼模態特性分析

徐港輝，祝長生

(浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027)

圓柱殼作為常見的結構形式，廣泛應用于機電、航空航天、船舶艦艇等工程領域.開展圓柱殼的模態特性分析是圓柱殼結構減振降噪的基礎，具有重要的理論價值和工程意義.由于殼體振動的復雜性，研究者在不同簡化程度的假設下得出多種薄殼理論[1-2].劉彥琦等[3]基于Love理論和Galerkin法分析旋轉圓柱殼的模態特性.Qu等[4]基于Reissner理論與區域分解法研究圓柱殼的模態特性和響應特性.Qin等[5]基于Sanders理論對比3種常見的圓柱殼軸向振型容許函數在圓柱殼模態特性分析中的計算精度和效率.Dong等[6]基于Donnell理論討論面內慣性力對圓柱殼模態特性的影響.盡管Leissa等[1-2,7]對比研究了不同薄殼理論，但是包含不同薄殼理論的統一方法匱乏，導致基于不同薄殼理論的研究結果之間難以比較.

圓柱殼軸向振型函數的精確解含有8個與邊界條件相關的待定系數[2]，導致圓柱殼模態特性的精確解析解只在極少數邊界條件下(如兩端簡支)可以求得.因此，基于各種容許函數的圓柱殼模態特性近似解法受到廣泛關注.常用的圓柱殼軸向振型容許函數主要有梁函數[3,6-10]、改進的Fourier級數[11-13]、特征正交多項式[14-15]、Chebyshev多項式[4,16-17]及Jacobi多項式[18]等.在這些容許函數中，梁函數屬于特殊的一類.由于圓柱殼軸向振型與相同邊界條件下梁的彎曲振型較為接近，梁彎曲振型函數(即梁函數)的精確解相對簡單，采用梁函數作為圓柱殼軸向振型容許函數具備可行性[1-2].現有研究在采用梁函數開展圓柱殼模態特性分析時，普遍采用單項梁函數直接作為圓柱殼軸向振型函數的方式(本質上與Rayleigh法等價[19])，實際上圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型之間不完全相同，導致計算結果的精度有待提升[6,8-9].基于Rayleigh法改進的Ritz法將若干項相互獨立的基函數的線性組合用于構造振動系統模態振型的容許函數，能夠有效提升Rayleigh法的計算精度[19].在圓柱殼模態特性分析現有文獻中，對梁函數-Ritz法的相關研究還較少，梁函數-Ritz法的收斂性和有效性有待進一步分析.Dong等[6]采用單項梁函數法分析不同邊界條件下圓柱殼的模態特性，得出梁函數不適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件的結論，這與劉彥琦等[3,7-10]的研究結論存在分歧.

本研究1）以各向同性薄圓柱殼為對象，將梁函數與Ritz法結合，采用有限項不同階次梁函數的線性組合作為圓柱殼軸向振型容許函數，通過Ritz法推導不同薄殼理論下圓柱殼模態特性分析的統一方法.2）驗證不同薄殼理論下梁函數-Ritz法的收斂性與有效性，澄清現有文獻中存在的分歧.3）開展參數化分析，研究不同邊界條件下長徑比與厚徑比對圓柱殼模態頻率及理論計算精度的影響規律，總結不同薄殼理論的適用范圍.

1 統一方法推導

1.1 結構示意圖

如圖1所示為各向同性薄圓柱殼示意圖.圓柱殼的基本結構參數包括中性面半徑r、厚度h及軸向長度l.圖中xθz為建立在圓柱殼端面中性線上的柱坐標系.圓柱殼中性面上某一點P處沿軸向x、切向θ及徑向z方向上的位移分別用u、v及w表示.u、v及w既是空間坐標(x, θ)的函數，也是時間坐標t的函數.

圖1 各向同性薄圓柱殼示意圖Fig.1 Schematic diagram of isotropic thin cylindrical shell

1.2 圓柱殼的動能與勢能

根據板殼理論[1-2]，將各向同性薄圓柱殼對應的動能Ek和勢能Ep表示為

式中：及分別為位移u、v及w對時間t的導數；ρ為殼體的密度；σ和ε分別為正應力和正應變，τ和γ分別為切應力和切應變.根據Kirchhoff-Love假設及Hooke定律，各向同性薄圓柱殼的應力與應變滿足關系[5]：

式中：Q11=Q22=E/(1-μ2)，Q12=Q21=μQ11，Q66=E/(2+2μ)；E和μ分別為殼體的彈性模量和泊松比.不同類型的薄殼理論對于殼體應變與中性面位移u、v及w的關系的描述不同，其中Donnell理論是最簡單的薄殼理論，其對應的應變-中性面位移表達式[6-7]為

常用的薄殼理論還包括Reissner[1-2,4]、Sanders[5,8,16]及Love[3,9-10,13]理論等，它們與Donnell理論之間的對比如表1所示.相比上述4種理論，Flugge理論中εθ和γxθ的表達式更復雜，且勢能公式也與式(2)不同，詳見文獻[18].根據式(2)～(4)及表1，可以將不同薄殼理論下圓柱殼的勢能Ep表示為位移u、v及w的函數.

表1 常用薄殼理論對比Tab.1 Comparison of common thin shell theories

1.3 位移函數構造

圓柱殼沿周向具有周期性特征，其周向階次n＞0的各階模態均由正弦分量(反對稱模態)和余弦分量(對稱模態)組成，當周向階次n=0時，正、余弦分量合二為一[20].現有研究在構造圓柱殼模態位移函數時，通常沒有考慮n=0時的情況[5]，對此本研究將做進一步完善.當周向階次n＞0時，圓柱殼各階模態的正、余弦分量對應的模態特性相似[20].為了簡便，以余弦模態分量為例進行分析.不失一般性，引入無量綱變換?=x/l，此時圓柱殼某一階模態對應的位移函數表示為

式中：m和n分別為圓柱殼模態的軸向階次和周向階次；ω為模態角頻率，φ為模態位移的初始相位.無量綱參數?表示相對軸向位置，Um(?)、Vm(?)和Wm(?)為圓柱殼的軸向振型函數.當周向階次n=0時，圓柱殼的模態振型沿周向不存在波動變化(即與θ坐標無關)，此時圓柱殼各階模態對應的位移函數表示為

由于圓柱殼軸向振型函數Um(?)、Vm(?)和Wm(?)的精確表達式十分復雜，通常采用滿足邊界條件的容許函數進行近似.梁函數是常用的容許函數，具有物理意義明確、形式相對簡單的優點.現有研究在采用梁函數作為圓柱殼軸向振型容許函數時，通常采取單項梁函數的方式，計算精度較低[6,8-9].本研究將梁函數作為Ritz基函數[19]，采用有限項不同階次梁函數的線性組合作為圓柱殼軸向振型容許函數，此時有

式中：Xi(?)為與圓柱殼邊界條件相同的梁的第i階彎曲振型函數(梁函數)；I為所用梁函數的項數，X(?)為梁函數組成的1×I維向量，當I=1時，X(?)退化為單項梁函數.ai、bi和ci為待定系數，a、b和c為待定系數組成的I×1維待定向量.以兩端固支邊界條件為例，梁的第i階彎曲振型函數為

式中：λi為對應的頻率方程cosλmcoshλm=1的解，σi=(coshλi-cosλi)/(sinhλi-sinλi).各種典型邊界條件下的梁函數Xi(?)、λi、σi見文獻[2]附錄I.彈性邊界條件下的梁函數Xi(?)、λi、σi較為復雜[21-22]，導致后續積分等運算過程即使借助數值計算也不易實現，本研究暫不討論.

1.4 基于Ritz法的圓柱殼模態特性分析

Ritz法的基本思想是在采用Ritz基函數構造模態振型的基礎上，通過求取振動系統Rayleigh商的駐值解來獲得系統的模態頻率和模態振型[19].為了定義圓柱殼的Rayleigh商，將式(5)、式(6)分別代入式(1)、(2)，結合式(3)、(4)及表1得到不同薄殼理論下圓柱殼動能與勢能的最大值.為了使公式簡潔，以下將圓柱殼的軸向振型函數Um(?)、Vm(?)和Wm(?)簡寫為U、V和W.

1) 當周向階次n＞0時，有

對于Donnell薄殼理論，Q1=n4W2，Q2=n2WW′′，Q3=4n2W′2.對于Reissner、Sanders和Love薄殼理論，Q1=n4W2+n2V2+2n3VW；Q2=n2WW′′+nVW′′；

Reissner薄殼理論Q3=4n2W′2+V′2+4nV′W′；Sanders薄殼理論Q3=4n2W′2+9V′2/4+6nV′W′+QS；Love薄殼理論Q3=4n2W′2+4V′2+8nV′W′；其中QS=2n2lUW′/r+n2l2U2/(4r2)+3nlUV′/(2r).

2) 當周向階次n=0時，有

對于Donnell、Reissner、Sanders和Love薄殼理論，Q4分別取0、1/12、3/16和1/3.式(10)、(12)為不同薄殼理論下圓柱殼勢能泛函的統一形式，驗證了不同薄殼理論之間的差距在h2/r2量級[1-2].

基于Flugge理論也可得到類似式(9)～(12)的結果，并且式(9)～(12)也適用于文獻[5]中的3種類型容許函數.本研究采用式(7)所示的梁函數組合作為圓柱殼軸向振型的容許函數.將式(7)代入式(9)～(12)，記q=[aT，bT，cT]T，將圓柱殼動能與勢能的最大值整理為矩陣形式：

可以驗證：M0=Mn|n=0，K0=Kn|n=0.忽略圓柱殼的阻尼，沒有外界激勵時，圓柱殼體的機械能守恒，則圓柱殼的最大動能與最大勢能應相等.令=，根據式(13)、(14)定義圓柱殼的Rayleigh商[19]為

可以看出，R隨待定向量q變化而變化.當R取駐值時，對應的ω即為圓柱殼模態角頻率的近似值；將對應的向量q代回式(7)，即可得到圓柱殼模態振型的近似值[19].由R取駐值的條件?R/?q=0，得到

模態頻率f與模態角頻率ω之間滿足f=ω/(2π)，由此圓柱殼的模態頻率和模態振型求解問題轉變為如式(16)所示的矩陣特征值問題.

2 收斂性分析

根據理論推導可知，模態頻率的計算結果與表1中所選的薄殼理論以及式(7)中梁函數項數I的取值密切相關.算例圓柱殼參數取自文獻[16]：中性面半徑r=0.1 m，長度l=0.2 m，厚度h=0.247×10-3m，密度ρ=2 796 kg/m3，彈性模量E=71.02×109N/m2，泊松比μ=0.31.兩端固支(C-C)、固支-自由(C-F)及兩端簡支(S-S)邊界條件下，采用表1中4種薄殼理論計算所得的圓柱殼第(1,7)階模態頻率f(1,7)隨梁函數項數I的變化曲線如圖2所示.可以看出，在C-C和C-F邊界條件下，隨著項數I的增加，基于各種薄殼理論的模態頻率計算結果均逐漸降低并且在項數I為30左右時逐漸收斂.在S-S邊界條件下，I對模態頻率計算結果的影響很小，基于各種薄殼理論的計算結果在I=1時即達到收斂.進一步對比基于各種薄殼理論的模態頻率計算結果可以看出，各種邊界條件下基于Reissner、Sanders及Love薄殼理論的計算結果基本相同；基于Donnell薄殼理論的模態頻率相對較大，與基于其他3種薄殼的計算結果存在明顯的差距，這是Donnell薄殼理論簡化程度最大導致的.

圖2 圓柱殼模態頻率的理論計算值隨項數的變化關系Fig.2 Relationship of theoretical calculated modal frequencies for cylindrical shell with item number

為了定量對比不同邊界條件下基于不同薄殼理論的模態頻率計算結果的收斂性，在圖2的基礎上，各種邊界條件下不同薄殼理論時均取I=50時的計算結果為基準，得到項數為1～50時基于不同薄殼理論的計算結果的相對誤差Δ，如圖3所示.可以看出，相同邊界條件下基于不同薄殼理論的計算結果的收斂速度差別很小.在3種邊界條件中，C-C與S-S理論計算的收斂速度分別為最慢與最快.當I=1時，C-C理論計算的相對誤差最大，約為4.8%；當I=5時，Δ=1.8%，其他邊界條件對應的相對誤差則更小，表明在3種邊界條件下基于不同薄殼理論的計算中，采用少數項梁函數就能實現較好的收斂.還可以看出，當I＞30，3種邊界條件下理論計算的相對誤差已經小于0.1%，此后計算結果的收斂速度逐漸降低，繼續增加梁函數項數對模態頻率的計算結果影響較小.綜合考慮梁函數項數對理論計算收斂誤差與收斂速度的影響，在沒有特殊說明的情況下，本研究后續理論計算將項數選定為50.

圖3 不同邊界條件下不同項數理論計算的相對誤差Fig.3 Relative errors of theoretical calculations with different item number under different boundary conditions

3 有效性驗證

3.1 與單項梁函數法的對比

Dong等[6]基于Donnell薄殼理論，采用單項梁函數作為圓柱殼軸向振型容許函數，計算了不同邊界條件下圓柱殼的模態頻率(m=1)，得出梁函數不適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件的結論.Dong等[6]采用的圓柱殼參數與本研究的相同，基于該參數和Donnell薄殼理論，通過梁函數-Ritz法得到不同邊界條件下圓柱殼的模態頻率，并與Dong等[6]的理論結果及本研究有限元法(finite element method, FEM)的仿真結果進行對比，如表2所示.表中，n為模態的周向階次，fC-C、fC-F和fS-S分別為兩端固支、固支-自由和兩端簡支邊界條件下圓柱殼的模態頻率.有限元法基于有限元軟件Ansys實現.其中網格劃分采用Solid186實體單元，該單元對應的殼體理論為三維彈性理論，比各種薄殼理論更準確，因此有限元法結果可以作為理論計算結果的對比依據.可以看出，當I=1時，本研究模態頻率的計算結果不僅與文獻[6]的幾乎相同，且與有限元法結果的一致性較好，由此驗證了本研究理論推導和計算結果的正確性.觀察fC-F，當I=1時，本研究模態頻率的計算結果與有限元法結果的差距未超過合理范圍，但與文獻[6]的諸多數據差距非常大，表明文獻[6]的數據可能存在問題.這些問題不是采用梁函數作為容許函數導致的，因此Dong等[6]得出的梁函數不適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件的結論不合理.當I=50時，以有限元法結果為基準觀察fC-C、fC-F可以看出，本研究模態頻率的計算精度相比I=1時具有明顯提升，進一步驗證了本研究數據的合理性，也驗證了梁函數-Ritz法的有效性.觀察fS-S可以看出，I=50時的結果與I=1時的完全相同，這與第2節所示的收斂性規律一致.

表2 3種邊界條件下的圓柱殼模態頻率對比(梁函數)Tab.2 Comparison of modal frequencies for cylindrical shell at three boundary conditions (with beam functions)

3.2 與不同類型容許函數方法的對比

Qin等[5]基于Sanders薄殼理論，采用改進的Fourier級數(MF)、特征正交多項式(OP)和Chebyshev多項式(CP)作為圓柱殼軸向振型容許函數，驗證3種容許函數在圓柱殼模態頻率計算方面均具有較高的精度.文獻[5]算例中采用的圓柱殼參數與本研究的相同，并且將3種容許函數的項數統一設為25.為了進一步驗證本研究所提方法的有效性，基于該圓柱殼參數和Sanders薄殼理論，令梁函數項數為25，通過梁函數-Ritz法計算不同邊界條件下圓柱殼的模態頻率，并與文獻[5]的理論結果進行對比，如表3、4所示.可以看出，本研究模態頻率的計算結果與文獻[5]采用3種類型容許函數得到的結果具有較好的一致性，進一步驗證了本研究所提方法的有效性.將表2分別與表3、4對比可以發現，相對于有限元法的結果，采用Sanders薄殼理論得到的計算結果(I=25)比采用Donnell薄殼理論時的(I=50)精度更高，驗證了Donnell薄殼理論的計算誤差較大，這與圖2所示的規律相符.

表3 兩端固支圓柱殼模態頻率對比(不同類型容許函數)Tab.3 Comparison of modal frequencies for cylindrical shell clamped at both ends (with different types of admissible functions)

表4 兩端簡支圓柱殼模態頻率對比(不同類型容許函數)Tab.4 Comparison of modal frequencies for cylindrical shell simply supported at both ends (with different types of admissible functions)

3.3 圓柱殼與梁的模態振型對比

相同邊界條件下圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型相近，兩者的具體差別在現有研究中涉及較少.本研究采用Sanders薄殼理論得到不同邊界條件下圓柱殼前4階軸向振型(取I=50)，并將結果與梁彎曲振型(取I=1)以及有限元法得到的殼體軸向振型進行對比，結果如圖4所示.可以看出，在兩端固支(C-C)和固支-自由(C-F)邊界條件下，圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型具有相似的波動特征，但兩者的波峰、波谷以及節點的相對軸向位置并不完全相同，這也是采用單項梁函數法計算非兩端簡支圓柱殼模態特性時存在誤差的原因.兩端簡支(S-S)邊界條件下的圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型完全重合.實際上，兩端簡支圓柱殼體軸向振型函數的8個待定系數中只有1個待定系數不等于零，其化簡結果與兩端簡支梁的振型函數完全相同[2]，圖4(c)與此相符，一方面驗證了本研究所提方法的有效性，另一方面也解釋了圖2(c)與表2中fS-S在I=1時就達到收斂狀態的原因.圖4中有限元法結果也驗證了理論計算和分析的正確性.

圖4 圓柱殼軸向振型(I=50, FEM)與梁彎曲振型(I=1)對比Fig.4 Comparation of axial modal shapes for cylindrical shells(I=50, FEM) and bending modal shapes for beams (I=1)

4 參數影響分析

長徑比與厚徑比是圓柱殼的關鍵結構參數，令圓柱殼的長徑比l/r分別為1、2、3、4、5，令厚徑比h/r分別為0.05、0.10、0.15、0.20，參數影響分析中的厚徑比遠大于收斂性分析中的厚徑比(約為0.002 5).經過驗證，此時各長徑比與厚徑比下圓柱殼低階模態頻率主要分布在m=1，n=2～4階次附近，因此選取殼體第(1,4)階模態頻率為例進行研究.

由于長徑比與厚徑比對圓柱殼模態頻率的大小有影響，對理論計算的精度也有影響.經過驗證，基于表1中不同薄殼理論的模態頻率計算結果與有限元法結果的變化規律相一致，只是在幅值上存在差異.如圖5所示為有限元法結果，可以看出，3種邊界條件下長徑比的減小或者厚徑比的增大均可以使圓柱殼模態頻率f增大，但是殼體模態頻率對長徑比與厚徑比變化的敏感程度存在差異.當厚徑比為0.05～0.20時，殼體模態頻率對厚徑比的變化始終較為敏感；當長徑比小于2時，圓柱殼模態頻率對長徑比的變化比較敏感，但當長徑比大于2時，圓柱殼模態頻率隨長徑比變化而變化的趨勢明顯放緩.如圖5(b)所示，在固支-自由邊界條件下，當長徑比大于2時，圓柱殼第(1,4)階模態頻率基本上不隨長徑比的變化而產生變化.因此，在設計或加工圓柱殼結構過程中，有必要對圓柱殼的厚度尺寸予以特別關注.圖5中有限元法也采用Solid186實體單元進行網格劃分，該單元對應的殼體理論為三維彈性理論，因此對應的結果可以作為理論計算結果的對比依據.

圖5 不同長徑比與厚徑比時圓柱殼模態頻率的分布Fig.5 Modal frequencies distribution of cylindrical shells with different length-to-radius and thickness-to-radius ratios

以圖5為基準，得到3種邊界條件下不同長徑比與不同厚徑比時基于不同薄殼理論的模態頻率計算誤差δ的分布，如圖6所示.可以看出，在不同邊界條件、不同長徑比以及不同厚徑比下，基于Donnell理論的模態頻率計算誤差始終明顯高于基于其他3種薄殼理論的，其中Love理論的計算精度最高，Reissner和Sanders理論與Love理論的計算精度相接近.各薄殼理論的計算精度與長徑比和厚徑比均有關系，相對長徑比的變化，各薄殼理論的計算精度對厚徑比的變化更為敏感.當厚徑比增大時，各薄殼理論的計算誤差始終明顯增大.當長徑比增大時，雖然大部分情況下各薄殼理論的計算誤差均有所減小，但是當l/r≥2時，這種影響變得并不顯著.通過進一步的定量分析可知，當h/r≤0.1時，各種情況下基于Donnell理論的模態頻率計算誤差均未超過11%，基于其他3種理論的模態頻率計算誤差均小于8%，因此表1中的4種薄殼理論基本均能滿足工程應用需求.當0.1＜h/r≤0.15時，基于Donnell理論的計算誤差波動范圍較大(7.3%～18.6%)，基于其他3種理論的計算誤差在l/r≥2時均不超過8%，因而此時這3種理論適用于l/r≥2的圓柱殼振動分析.當厚徑比繼續增大到0.2時，各種長徑比下基于Donnell理論的模態頻率計算誤差均大于16.9%，難以滿足工程應用需求，基于其他3種理論的計算誤差在l/r≥3時仍小于10.5%，因此這3種理論仍然能夠滿足工程應用需求.綜上所述，Donnell理論主要適用于h/r≤0.1的圓柱殼振動分析，Reissner、Sanders和Love理論不僅適用于h/r≤0.1的圓柱殼振動分析，還可以有條件地應用于0.1＜h/r≤0.2的圓柱殼振動分析.

圖6 不同長徑比與厚徑比時理論計算結果的誤差分布Fig.6 Error distribution of theoretical calculation results for different length-to-radius and thickness-to-radius ratios

5 結 論

（1）將梁函數與Ritz法相結合，采用有限項不同階次梁函數的線性組合作為圓柱殼軸向振型的容許函數，建立包含不同薄殼理論的圓柱殼模態特性分析統一方法，厘清了不同薄殼理論之間的關聯，為基于不同薄殼理論分析結果的對比提供了理論支持.

（2）梁函數適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件，文獻[6]結論中關于梁函數適用性的描述是不合理的.將梁函數與Ritz法相結合，可以進一步提升梁函數在圓柱殼模態特性分析時的計算精度.

（3）在兩端固支、固支-自由及兩端簡支3種邊界條件下，減小長徑比或者增大厚徑比均可以使圓柱殼模態頻率增大.隨著長徑比的減小或者厚徑比的增大，基于不同薄殼理論的模態頻率計算結果的相對誤差呈現增大趨勢.

（4）基于Reissner、Sanders以及Love理論的模態頻率計算誤差相接近，其中Love理論的計算精度最高，Donnell理論的計算精度明顯低于這3種理論.Donnell理論主要適用于厚徑比不超過0.1的圓柱殼振動分析，Reissner、Sanders和Love理論可以有條件地應用于厚徑比為0.2的圓柱殼振動分析，適用范圍比Donnell理論更廣.

（5）本研究的工作均在典型邊界條件下進行，后續研究可以考慮彈性邊界條件下圓柱殼模態分析中梁函數的應用問題.