具有不確定性的主從機械手自適應模糊控制

李超凡，王福杰，余元佳，郭芳，任斌，樊開夫

(1.東莞理工學院電子工程與智能化學院，廣東東莞 523000；2.東莞理工學院國際微電子學院，廣東東莞 523000；3.東莞松山湖材料實驗室，廣東東莞 523000)

0 前言

近年來，機器人遙操作系統在深海探測控制、太空遙操作、手術微操作、醫學內臟健康檢查等場景展示了強大的潛在應用前景[1-2]。基于機器人遙操作系統的自適應控制成為目前研究的核心問題，也吸引了眾多的學者研究該類控制問題[3-5]。文獻[3]基于主從機器人動力學模型設計非線性類PD控制器，通過進行機器人重力補償同時實現主從機器人關節角度與速度誤差收斂。文獻[6]基于主從機器人的任務操作空間提出一種異構機器人同步算法，并利用機器人冗余空間完成避障任務，取得良好的控制效果。

機器人系統是一個多輸入、多輸出、強時變耦合的非線性系統[7-8]，在實際生產中的序列任務，機器人系統和環境的交互模型一般是難以精確實時標定的，受限于不斷變化的負載(包括體積、質量、摩擦等)[7-12]，引發了機器人系統的動力學、運動學與執行器不確定性。在機器人模型不確定與執行器受約束情況下完成復雜的精確控制，是目前研究的難點。文獻[13]提出一種將PID與魯棒自適應相結合的遙操作機器人控制算法，通過動力學模型“參數線性化”方法處理主從端動力學不確定性問題，確保主從機器人的位置與速度誤差在時延網絡下依然收斂于0。由于機器人雅可比矩陣對物理參數的要求，現在已經有學者提出了幾種自適應控制算法來處理運動學不確定性[14-15]。如文獻[11]設計基于滑模函數的魯棒自適應控制律補償機械手模型不確定性，利用自適應律估計外界干擾的上界。基于上述處理思路，文獻[4]針對不確定與受干擾遙操作機器人系統提出一種滑模魯棒控制器，通過設計速度觀測器避免噪聲速度信號的采集，在控制律中嵌入指數控制項加快誤差的收斂速度。文獻[16]開發了一種半自主控制框架，同時考慮機器人運動學與動力學的不確定性，利用異構機器人來提高復雜環境下運行的遠程操作系統的運行速度。上述控制方案都基于精確的動力學結構而只考慮參數的不確定性進行研究的，在復雜多變的實際環境下這種要求難以實現。此外，上述文獻假設機器人執行器處于完備運行狀態中，文獻[17]指出當機器人長期處于運行狀態，執行器無法避免產生輸入約束，使實際的關節力矩給定值與輸出值形成非線性映射，因此上述控制算法在許多任務中難以完美實施。

本文作者針對一類具有動力學模型、運動學參數不確定和執行器未知特點的機器人遙操作系統，利用模糊系統對非線性函數的逼近能力與動力學模型進行預估，避免文獻[9-12]中對機器人動力學模型 “回歸矩陣”的求解，將關節空間的域誤差變量以及任務空間的誤差變量引入到控制律中進行反饋，通過在控制律中嵌入Nussbaum增益函數實現對執行器不確定性的補償，增加了軌跡跟蹤誤差的收斂速度，確保穩定性和任務空間位置跟蹤。此外，文中的控制方案也引入投影函數[11]避免 “奇異”現象，在控制器中設計魯棒項進行擾動抑制，避免求解未建模動態與外部擾動的上確界，因此文中提出的控制方案能減少計算復雜度。在進行主從機器人系統交互控制器設計中，利用自適應模糊控制器的逼近特性，設計帶有自適應項的控制律對機械手末端的相互作用力進行補償，提高了控制算法的實用性。

1 具有輸入約束的不確定主從機器人系統

1.1 主從機器人系統運動學

在遠程操作系統中，假定雙邊操縱器(即本地機器人和遠程機器人)是非冗余的，機械手的正向運動學[4]可以表示如下：

(1)

主從機器人之間的跟蹤誤差[5-7]可以定義為

(2)

特性1：機器人的運動學在一組運動學參數θk，i∈Rn×m中是線性的。

Ji(qi)ξ=Yk，i(qi，ξ)θk，i

(3)

其中：Yk，i(qi，ξ)∈Rn×n表示回歸矩陣；ξ∈Rn是可微的矢量。文中假設存在運行學不確定性，則Ji(qi)是未知的。

1.2 具有輸入約束的主從機器人系統動力學

此外，文中考慮了機器人執行器不確定性。在不失一般性的前提下，假設主機器人和從機器人是具有相同距離的機器人操縱器，遙操作機器人的動力學[4，12]可以寫成：

(4)

特性2：對稱慣性矩陣Mi(qi)是一致正定的。

(5)

其中：β∈Rn×1是任意向量。

1.3 Nussbaum增益函數

當任意偶函數N(χ)滿足：

(6)

則任何偶數函數N(χ)都被稱為Nussbaum函數。其中，κ0是κ的初始值。文中使用的Nussbaum型函數N(χ)=χ2cos(χ)。至此，有以下引理[17]：

(7)

1.4 模糊邏輯系統

典型的模糊系統由4個部分組成，分別是模糊化輸入接口、模糊規則庫、模糊邏輯推理機以及解模糊化輸出接口。而模糊推理機作為整個模糊控制系統的核心部分，通過一套“IF-THEN”規則完成從輸入語言變量到輸出語言變量的映射。

(8)

其中：μAili(xi)為xi的隸屬函數，文中采用的隸屬函數為高斯基函數。

(9)

(10)

若所有的模糊隸屬度函數均為高斯函數，則有以下引理[19]：

(11)

2 基于不確定主從機器人系統的自適應模糊控制器設計與穩定性分析

2.1 控制器的設計

主從機器人的虛擬控制律設計為

(12)

其中：KD=diag(ki)，ki>0，i=1，2，…，n。

(13)

(14)

定義關節空間域參考誤差：

(15)

任務空間滑動向量定義為

(16)

具有輸入補償的機器人運動控制器設計[9，17]為

(17)

其中：χ=[χ1，…，χn]T∈Rn×1表示Nussbaum增益矩陣的輸入，且有：

N*(χ)=diag(N(χ1)，…，N(χn))

(18)

2.2 未知參數預估和自適應律的設計

未知的運動學參數可在線預估為

(19)

(20)

式(17)使用了參數投影法[14]，主要是讓參數在指定的范圍內更新，從而避免預估的雅可比矩陣產生“奇異”現象，投影函數[14]表示為

(21)

Nussbaum增益矩陣的更新律為

(22)

式中：ε=[ε1，…，εn]T表示正常量向量。

2.3 穩定性的證明

定理1：假設主從機器人系統可由式(1)表示其運動學方程，可由式(4)表示其具有輸入約束的動力學方程，那么文中提出的自適應模糊控制方案(12)、(17)以及參數更新律(19)(20)(21)可以令主從機器人系統的誤差el與er收斂到0，也即實現：

證明：選取李雅普諾夫函數為

(23)

對上式進行微分可得：

(24)

結合式(4)(5)和(15)，整理得：

(25)

(26)

又由于：

(27)

由式(16)可得：

(28)

自適應律設計為

(29)

定義模糊逼近誤差為

(30)

設計模糊自適應律：

(31)

將式(2)以及(27)—(31)代入式(26)可得：

(32)

當恰當選擇KD時有：

因此，對式(32)在區間[0，t)上積分，則有：

3 仿真結果

為了驗證文中提出的具有動力學與運動學不確定性的主從機械手自適應模糊控制方案的有效性，選取帶有轉動關節的二自由度主從機械手為仿真研究對象。

主從機器人的運動學參數如表1所示，其中li，1、li，2分別表示機器人兩個關節的等效桿長，i=r，l，分別指代主機器人與從機器人。由文獻[20-21]可知機器人的運動學可以表示為

表1 主從機器人運動學參數 單位：m

主從機器人的動力學參數如表2所示，其中mi，1、mi，2分別表示機器人兩個關節質量，ri，1、ri，2分別表示機器人兩個關節長度，i=r，l分別指代主機器人與從機器人，則機器人動力學可以表示為

表2 主從機器人動力學參數

式中：

2mi，2ri，1ri，2cos(qi，2)

Gi，1=(mi，1+mi，2)ri，1cos(qi，2)+

mi，2ri，2cos(qi，1+qi，2)

Gi，2=mi，2ri，2cos(qi，1+qi，2)

因此，可得機器人任務空間速度和關節空間速度之間的映射關系可表達為

式中：

Ji，11=-li，1sin(qi，1)-li，2sin(qi，1+qi，2)

Ji，12=-li，2sin(qi，1+qi，2)

Ji，21=li，1cos(qi，1)+li，2cos(qi，1+qi，2)

Ji，22=li，2cos(qi，1+qi，2)

可得式(3)中的回歸矩陣可以表示為

式中：

根據上式可以完整得到機器人運動學方程，受限于文章篇幅，機器人動力學參數與具體的模型表達式可以參照文獻[21]。控制器和自適應式中的增益分別設置為：KD=3，kr，i=4，ke，i=0.2，λi=1，Γk，i=diag{1，1}，Γd，i=[1，1；1，1]，εi=diag{1，1}，Nussbaum 型函數與模糊邏輯系統的選取可以參照文獻[17，19]；設定主端機器人、從端機器人的關節角初始值為qr(0)=[1，2]T，ql(0)=[0，0.5]T，速度初始值都為0，時延設定為T=0.05。在t=5 s時對主機器人施加外力Fr=[-50，100]T以及在t=10 s時對從機器人施加外力Fl=[-20，-20]T，其中外力的持續時間均為0.5 s。所提出的控制方案仿真實驗結果如圖1—4所示。

圖2 從機器人位置(a)與速度(b)跟蹤誤差

圖3 主從機器人位置軌跡跟蹤效果

圖4 主從機器人速度軌跡跟蹤效果

從仿真結果可以看出：所提出的控制方案能夠對主從機器人的位置和速度提供良好的同步跟蹤性能，證明了控制器的可行性。

4 總結

針對一類存在運動學參數和動力學模型未知特點的主從機器人系統，利用模糊系統的萬能逼近特性預估機器人動力學，不需要知道未建模動態以及外部擾動的邊界。針對執行器的輸入約束，采用了Nussbaum增益矩陣實現對輸入約束的補償。而對于主從機械手存在的一種相互作用力(比如主機械手和操作者之間的摩擦力)，提出自適應模糊補償這種力，使得從機械手能比較穩定而準確地跟蹤主機械手的運動路線。