關于心靈、機器與真理的模態論證

薄謀

哥德爾（G.G?del）認為從他的不完全性定理出發，人們可以推斷或者“心靈不能被機械化”成立，或者“存在不可判定的數學命題”成立。（[7]）霍斯滕（L.Hosten）等人把該結果稱為“哥德爾析取式”。（[9]）彭羅斯（R.Penrose）認為從哥德爾不完全性定理出發，人們可以推斷“心靈不能被機械化”成立。（[18,19]）科爾納（P.Koellner）認為不管是“心靈不能被機械化”還是“存在不可判定的數學命題”都是不可判定的。（[10,12,13]）斯特恩（J.Stern）選擇支持彭羅斯，但他要接受科爾納的挑戰。我們把斯特恩的論證分為第一次論證和第二次論證。（[28,29]）不管是第一次論證還是第二次論證，斯特恩的結論都支持彭羅斯的論斷。科爾納表明斯特恩第一次論證不成立。（[11]）在科爾納的啟發下，我們表明斯特恩第二次論證不成立。反思科爾納和斯特恩兩人的論證，我們的結論是在無法建立起意識科學的情況下，人們無法捕捉到絕對可證明性的真正含義。

1 斯特恩第一次論證反機械主義論題

斯特恩既支持哥德爾的觀點，又支持彭羅斯等人的觀點。他采取的策略如下：首先，形式化機械主義；其次，解決語義和內涵悖論。在此基礎上，斯特恩嘗試表明心靈不是機器的論題。斯特恩把哥德爾析取式論題轉化為條件句：如果心靈是機器，那么存在人類心靈既不能證明為真又不能證明為假的語句。換句話說，如果人類心靈是機器，那么存在絕對不可判定的語句。科爾納表明從哥德爾不完全性定理出發，人們確實能得到哥德爾析取式論題，但無論如何得不到第一個析取支。彭羅斯特別重視絕對可證明性概念。科爾納把可證明性分為相對可證明性與絕對可證明性。絕對可證明性表達的正是人類心靈產生數學定理的過程。

由此，斯特恩把心靈是否是機器的問題，轉化為絕對可證明語句能否由能行算法生成的問題。彭羅斯的新論證似乎找到代表絕對可證明性的可行性假設，不過科爾納表明這些假設是聯合不協調的（jointly inconsistent），它們會導致內涵悖論。斯特恩的內涵悖論解決方案的特點在于，首先把內涵悖論同語義悖論聯系起來，其次假設真悖論是所有這些悖論的來源。由此，斯特恩認為選擇哪種真理論至關重要。他選擇的真理論是克里普克-費弗曼（Kripke-Feferman）真理論，也被稱為費弗曼-莫德林（Feferman-Maudlin）真理論。（[3,15]）斯特恩認為，如果克里普克-費弗曼真理論是真悖論的解決方案，那么在形式化心靈不是機器的論題的前提下，人們就能證明該論題成立。（[29]）

根據麥希爾（J.Myhill）和蒙塔古（R.Montague）的結果，如果人們把模態概念和內涵概念當作謂詞處理，那么就會出現悖論。（[16,17]）如果人們把絕對可證明性概念當作謂詞處理，那么也會出現悖論。如果人們用語句謂詞K形式化絕對可證明性的兩個構成性原則，那么它們是聯合不協調的。它們分別是隱真原則和必然原則。前者說的是如果，那么φ。后者說的是如果φ是定理，那么是定理。導致悖論的原因在于兩條原則隱性地假設素樸真謂詞。為解決悖論人們需要顯性地引入真謂詞。人們需要用非素樸真謂詞替換素樸真謂詞，以便φ和不再互換。1真原則說的就是，如果某個哥德爾語句是絕對可證明的，那么它是真的。

對兩條原則改造的結果就是兩條新原則：首先是顯真原則，說的是對所有語句而言，如果某個語句是絕對可證明的，那么它是真的；其次是真必然原則，說的是如果是定理，那么也是定理。悖論是否出現僅僅取決于人們采用何種真理論。斯特恩認為，如果人們采用的真理論是協調的，那么絕對證真理論也是協調的，不會再出現內涵悖論。我們把由此產生的策略稱為內涵真策略：第一種策略是科爾納策略；第二種策略是斯特恩策略。他們的共同點在于通過把內涵概念與非素樸真概念聯系起來，從而解決內涵悖論。

科爾納把真理論分為類型化（typed）真理論與免類型（type-free）真理論，與之對應的是，斯特恩把真理論分為素樸真理論與非素樸真理論。科爾納使用內涵真策略有兩個目的：首先解決內涵悖論；其次判定反機械主義論題是否有效。科爾納表明，如果人們采用費弗曼的確定真理論，那么反機械主義論題將不會取得成功。這是因為機械主義論題與確定真理論是協調的。科爾納實際上表明機械主義論題是獨立的，說的是人們既不能證明它為真，又不能證明它為假。

在科爾納的啟發下，斯特恩使用克里普克-費弗曼真理論替代費弗曼的確定真理論，以檢驗反機械主義論題是否成立。斯特恩采用克里普克-費弗曼真理論中的兩條原則：首先是真謂詞析取分配原則；其次是真消除原則。斯特恩把通過顯真原則、真謂詞析取分配原則和真消除原則擴張皮亞諾算術的理論，稱為絕對證真理論。2我們把斯特恩的“真與絕對可證明性理論”簡稱為“絕對證真理論”，其他人的理論繼續稱為“真與絕對可證明性理論”。也就是說，絕對證真理論是由皮亞諾算術、顯真原則、真謂詞析取分配原則和真消除原則構成的。絕對證真理論的優勢在于它是協調的。人們能從克里普克-費弗曼真理論的協調性，推出絕對證真理論的協調性。（[29]，第84 頁）

我們來看機械主義論題經歷的演變。首先，在盧卡斯-彭羅斯論證框架下，機械主義論題說的是，理想化人類心靈能證明的數學定理是由能行程序生成的。其次，如果人們用“圖靈機”替換“機器”，那么機械主義論題說的是，理想化人類心靈能產生的定理是圖靈機的輸出。再次，如果人們啟用絕對可證明性概念，機械主義論題說的是人們能遞歸枚舉絕對可證明語句集。換句話說，存在能證明所有絕對可證明語句的顯性公理與規則系統。反機械主義論題說的是，不存在能證明所有絕對可證明語句的顯性公理與規則系統。

最后，系統是由邏輯定律的地位決定的。斯特恩把自己的立場稱為正統邏輯，說的是如果人們采用經典邏輯，那么所有經典邏輯真在選定系統中都是可證明的，不管它是何種系統。斯特恩把科爾納的立場稱為非正統邏輯，說的是邏輯沒有特殊地位，人們不能假設某一門特殊邏輯的邏輯真在每個形式系統中是可證明的。（[29]，第84-85 頁）斯特恩選用正統立場且把經典邏輯當作他的邏輯。由此，機械主義論題說的是，人們能在經典邏輯中從遞歸語句集出發證明絕對可證明語句。

我們來看斯特恩的句法規定。他使用K表示絕對可證明性，并且使用Σ 表示理論T的遞歸公理集，同時使用σ表示Σ 的自然表示，而且使用Prσ表示T的自然可證明性謂詞。斯特恩把機械主義論題表示為?σ?x(Kx ?Prσ(x))，說的是所有絕對可證明語句都是遞歸可枚舉的。他把反機械主義論題表示為??σ?x(Kx ?Prσ(x))，說的是并非所有絕對可證明語句都是遞歸可枚舉的。

斯特恩使用歸謬法證明反機械主義論題。他首先假設?x(Kx ?Prσ(x))，其次從假設出發推出矛盾。3證明：使用反證法。假設?x(Kx ?P rσ(x))。根據顯真原則，人們有?y(P rσ(x) →T(y))。根據全稱例化，人們有P rσ(λ ∨?λ) →T(λ ∨?λ)。由于λ ∨?λ 是重言式，人們有P rσ(λ ∨?λ)。使用假言推理，人們有T(λ ∨?λ)。根據真謂詞析取分配原則，人們有Tλ∨T?λ。根據說謊者語句，左析取支等價于?λ。根據真消除原則，右析取支也等價于?λ。根據說謊者語句，人們有Tλ。根據真消除原則人們有λ。與?λ 矛盾！然而，在絕對證真理論中，人們不能表明機械主義論題是假的，也就是說，人們無法表明反機械主義論題是真的。根據克里普克，機械主義論題是無根語句（an ungrounded sentence，[14]）。既非機械主義論題，又非反機械主義論題，在絕對證真理論中能被證明為真。這種情況表明，在克里普克-費弗曼真理論中，可證明性與真兩者相分離，實際上可證明性遠超真。

2 科爾納表明斯特恩第一次論證無效

科爾納認為斯特恩的論證無效。他的基本判斷是，從哥德爾思考反機械主義論題開始，歷經長時期的發展，人們不可能如此輕易地證出難度如此大的問題。事實上科爾納對斯特恩的反駁有效。科爾納也承認斯特恩對能否解決該問題持謹慎態度。科爾納曾經證明在費弗曼的確定真理論下彭羅斯的新論證無效。（[10,13]）換句話說，在確定真理論下，機械主義論題有效，而反機械主義論題無效。科爾納對反機械主義者提出的挑戰在于，為人們能證明反機械主義論題，找到可行的真與絕對可證明免類型理論。（[11]）斯特恩持反機械主義立場，他接受了科爾納的挑戰。斯特恩論證是盧卡斯-彭羅斯論證的延續，我們可以稱之為盧卡斯-彭羅斯-斯特恩論證。

為了得到同科爾納相反的結論，斯特恩需要對科爾納論證進行改造。他的改造分兩步進行：首先，他用克里普克-費弗曼真理論取代確定真理論；其次，他用新反機械主義論題取代科爾納的舊反機械主義論題。科爾納認為斯特恩的形式論證是正確的。問題可能出在兩個地方。科爾納的分析如下：首先，他認為用一種免類型真理論取代另一種免類型真理論，不會引起麻煩；其次，他認為斯特恩的問題出在用新反機械主義論題取代舊反機械主義論題。（[11]）

關于第一點，科爾納和斯特恩都注意到人們不能有K(λ ∨?λ)，因為由此人們會推出T(λ ∨?λ)，這說的是不確定語句是真的，會導致矛盾。兩人的解決辦法都是修改原系統使得K僅僅對確定語句成立。反機械主義論題，不管在科爾納系統，還是在斯特恩系統都是可證明的。這從而說明，反機械主義論題從一個系統轉移到另一個系統保持不變。關于第二點，他們得到的結果不同。科爾納得到的結果是，舊反機械主義論題是獨立的，而斯特恩得到的結果是，新反機械主義論題是可證明的。科爾納和斯特恩達成的共識是絕對可證明性僅僅對確定語句成立，而對不確定語句不成立。問題出在斯特恩的新機械主義論題上，因為它僅僅考慮能輸出所有一階經典有效式的系統，而不確定語句就屬于它們。包含不確定語句在內的系統，當然無法模仿絕對可證明性，因為絕對可證明性對任意的不確定命題都無效。

科爾納對斯特恩的最終判定有兩點：首先，在用克里普克-費弗曼真理論替代確定真理論的前提下，且用新機械主義論題替代舊機械主義論題的前提下，斯特恩得到心靈不是機器的結論，實際上這個結果很弱；其次，由于斯特恩的新機械主義論題包含不確定語句，最終導致他的結論無效。因此，科爾納認為，人們需要繼續尋找能證明反機械主義論題的可行免類型絕對證真理論。（[11]）

3 斯特恩第二次論證反機械主義論題

斯特恩關注彭羅斯的新論證（Penrose’s New Argument），而且研究人們在使用真與絕對可證明性理論的情況下，能否以可靠的和連貫的方式形式化彭羅斯的新論證的問題。斯特恩分兩步展開他的論證。首先他表明不存在形式化彭羅斯的新論證的協調理論。4科爾納認為哥德爾析取式論題在絕對可證明性確定真理論下是可形式化的且可證明的。其次他考慮彭羅斯的整體策略且提供合理的絕對證真理論，以表明彭羅斯的新論證是可靠的論證。然而，由于彭羅斯的新論證依賴理論的病態（pathological）特征，他的論證在直觀上無法實現。5科爾納認為彭羅斯的新論證在絕對可證明性確定真理論下無效。斯特恩把哥德爾析取式論題重述為：或者絕對可證明語句集不是遞歸可枚舉的，或者存在并非絕對可證明的真數學語句。盧卡斯和彭羅斯認為，人們可以從哥德爾不完全性定理出發，推斷哥德爾析取式的第一個析取支成立，也就是說，絕對可證明語句集不是遞歸可枚舉的。

斯特恩把盧卡斯的論證稱為第一個論證，而把彭羅斯的新論證稱為第二個論證。6科爾納把盧卡斯和彭羅斯（[18]）的論證稱為第一代論證，把彭羅斯（[19,20]）的新論證稱為第二代論證。盧卡斯論證如下：如果任意遞歸可枚舉系統F從未能證明它的哥德爾語句，那么人類心靈常常能察覺到哥德爾語句為真。也就是說，哥德爾語句對F來說是絕對可證明的，但在F中不是可證明的。據此，盧卡斯得出的結論是人類心靈遠超每個遞歸可公理化數學理論證明概念。然而，為得到該結論，盧卡斯需要假設，人類心靈能察覺到F是協調的，也就是說，F是協調的，是絕對可證明的。這個假設是不可行的，因為人類心靈難以察覺每個遞歸可公理化數學理論的協調性。

彭羅斯看到，既然問題與絕對可證明性概念有關，那么他要找出有關絕對可證明性概念的基本假設。斯特恩的做法是：在假設彭羅斯的絕對可證明性假設成立的情況下，探尋彭羅斯的新論證是否是支持第一個析取支的連貫論證。據我們所知，彭羅斯曾經在兩個地方詳細呈現過他的論證過程。（[20,21]）斯特恩把彭羅斯的新論證分為六步：第一步，如果我是系統F，那么系統F是可靠的；第二步，在F的基礎上，加上語句“我是F”，F＇仍然是可靠的；第三步，我察覺到，從我是F的假設出發，能推斷哥德爾語句G(F＇)為真；第四步，我察覺到G(F＇)不是F＇的后承；第五步，我剛剛察覺到“如果我碰巧是F，那么G(F＇)為真”；第六步，由于我是F，我推斷我畢竟不是F。7證明：1.根據T，第一步成立。也就是，如果Kφ→φ，那么?x(F x ?Kx) →(Fφ→φ)。根據演繹定理，F＇(φ) ?F(?x(F x ?Kx) →φ)。2.根據弱化規則和假言推理，人們得到第二步。也就是，?x(F x ?Kx) →(F＇φ→φ)。3.通過把第二步的模式例化到F＇ 的哥德爾語句，人們得到第三步。也就是，?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4.根據哥德爾語句的構造，第三步等價于第四步。第四步有兩個版本。也就是，?x(F x ?Kx) →?F＇G(F＇)，?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。5.根據絕對必然性必然規則，人們從第三步得到第五步。也就是，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據經典邏輯規則，從第五步得到第六步。第六步有兩個子步驟。也就是，首先，?x(F x ?Kx) →F?x(F x ?Kx) →G(F＇)，其次，這同第四步矛盾，由此得到?x(F x ?Kx) →⊥。證畢！審視整個證明過程，它會用到可靠性概念8系統F 是可靠的當且僅當所有它的定理都是真的。它的元語言版本是Fφ→φ。、真規則9絕對可證明的每個語句都是真的。也就是，Kφ→φ。和必然規則10如果人類心靈能產生定理，那么人類心靈能產生絕對可證明的定理。也就是，φ →Kφ。。不幸的是，這兩條規則是聯合不協調的。（[1,16,17,24]）這實際上建議人們需要找到聯合協調的絕對可證明假設。人們有時也把這個聯合不協調結果稱為內涵悖論。

哥德爾曾建議解決內涵悖論是確立反機械主義論題的關鍵。斯特恩嘗試把內涵悖論解決方案應用到彭羅斯的新論證，以便為彭羅斯的新論證辯護，也為哥德爾的建議辯護。人們對內涵悖論通常有兩種解決方案：首先，把概念的原則或者模式限制到特殊語句集，把好的實例從壞的實例中挑選出來，由此避免悖論；其次，為自用（self-applicable）概念選擇弱的原則或者模式，這些弱原則或者模式是聯合協調的。斯特恩認為這兩種方案都不太可行。前者的兩種子方案都不可行11第一個子方案是把原則或者模式限制到算術語句，但這會導致彭羅斯論證的部分步驟無效。第二個子方案是把語句分為悖論語句和非悖論語句，但這會削弱他論證中的歸謬法策略。，后者太弱以致無法復活彭羅斯的新論證。既然常規的解決方案不可行，斯特恩嘗試一種新的解決方法。他的想法是把內涵悖論與語義悖論捆綁到一起，使得內涵概念的悖論性（paradoxicality）僅僅依賴真概念的悖論性。由此人們可以使用真謂詞表述絕對可證明性的原則。真原則就變為對所有語句來說，如果某個語句是絕對可證明的，那么該語句是真的。12表達式從Kφ→φ 變為?x(Kx →T x)。如果修正版絕對可證明性原則與協調真理論相結合，那么人們能得到協調的真與絕對可證明性理論。（[12,25-27]）

斯特恩正是在此框架下工作，且研究人們能否為第一個析取支提供連貫（coherent）論證。科爾納從必然規則、絕對可證明真規則和真引入規則13如果φ，那么Tφ。也就是，φ →Tφ。出發，形式化彭羅斯的新論證。14證明：1.根據絕對可證明真規則，?x(F x ?Kx) →(F x →T x)。2.根據真引入規則，?x(F x ?Kx) →(F＇x →T x)。3.根據G(F＇) 的定義，?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4.再次根據G(F＇) 的定義，?x(F x ?Kx) →?F＇G(F＇)。5.根據4，再根據必然規則，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據4 和F＇的定義，?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。7.根據5，?x(F x ?Kx) →F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。8.根據6 和7，?x(F x ?Kx) →⊥。由此科爾納得出第一個析取支是獨立的結論。斯特恩認為科爾納在新框架下沒有認真檢驗彭羅斯的新論證。實際上，在新框架下彭羅斯的新論證會有新的問題出現：首先，從第一步到第二步的推理會出現麻煩。其次，人們需要新的假設才能推出第三步。斯特恩通過兩步來修補彭羅斯的新論證：首先，盡管形式系統F在假言推理下是封閉的，但人們不知道真謂詞是否在假言推理下是封閉的。為保證真謂詞在假言推理下是封閉的，人們需要引入新的假設。我們把這條假設稱為真蘊涵規則。15真蘊涵規則的表達式是?x(Sent(x →y) →(T(x →y) →(T x →T y)))。有了這條規則，人們就可以再次從第一步推出第二步。其次，為推出第三步，人們需要假設沒有假算術語句是真的。實際上這就是塔斯基雙條件規則。16塔斯基雙條件句是Tφ?φ。有了這條規則，人們就可以再次推出第三步。17證明：1.根據絕對可證明真規則，?x(F x ?Kx) →(F x →T x)。2.根據真引入規則，再根據真蘊涵規則，?x(F x ?Kx) →(F＇x →T x)。2a.根據替代規則，?x(F x ?Kx) →(F＇G(F＇)→TG(F＇))。2b.根據塔斯基雙條件，?x(F x ?Kx) →(F＇G(F＇)→G(F＇))。3.根據2b，再根據G(F＇)的定義，?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4.再次根據G(F＇)的定義，?x(F x ?Kx) →?F＇G(F＇)。5.根據4，再根據必然規則，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據4 和F＇的定義，?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。7.根據5，?x(F x ?Kx) →F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。8.根據6 和7，?x(F x ?Kx) →⊥。由此斯特恩完成對科爾納論證的修補。

然而，弗里德曼（H.Friedman）和希爾德（M.Sheard）表明，真引入原則、真蘊涵原則和塔斯基雙條件原則是聯合不協調的。（[5]）問題出在彭羅斯的原論證似乎依賴素樸真概念。既然不能依賴素樸真概念，人們可以采用類型化真原則。斯特恩使用簡單化類型改造絕對可證明真原則、真引入原則和必然原則。這里再次出現修正版原則聯合不協調的情況。斯特恩表明新絕對可證明真原則、新真引入原則、真蘊涵原則、新必然原則和塔斯基雙條件原則是聯合不協調的。（[28]，第30 頁）他得出的結論是彭羅斯的新論證是不連貫的。既然彭羅斯的新論證行不通，人們自然要尋找可替代論證。也就是，人們要找到合理的真與絕對可證明性理論，以產生支持第一個析取支的論證。科爾納訴諸費弗曼的確定真理論，而斯特恩訴諸彭羅斯的歸謬策略（reductio strategy）。斯特恩需要形式系統F 是經典遞歸可公理化理論。這產生兩個后果：首先，“我是F”變為?x(PrF(x)?Kx)，PrF是理論F的自然可證明性謂詞；其次，它會加強機械主義論題，使得人們只考慮輸出在經典邏輯下封閉的圖靈機。

由此人們似乎會得到彭羅斯的歸謬策略。絕對可證明真原則蘊涵全局反射原則（Global Reflection Principle）?x(PrF(x)?Tx)。根據哥德爾第二不完全性定理，沒有遞歸可公理化理論F能證明全局反射原則成立。由于“我是F”連同絕對可證明性真理論蘊涵全局反射原則，而后者蘊涵矛盾。這似乎實現了彭羅斯的歸謬策略，且表明第一個析取支成立。斯特恩指出該策略的兩個問題：首先，人們能證明，如果F證明全局反射原則，那么F是不協調的，并不意味著人們能證明，F證明全局反射原則蘊涵矛盾。其次，在執行歸謬策略的過程中，有人不能假設他實際上在F中推理，因為這不僅預設“我是F”，而且預設我知道我是哪個系統F。這意味著即使理想化人類心靈與形式系統F相符，系統F仍不能把可證明性謂詞當作它的可證明性謂詞。由此在歸謬論證中，人們不能假設洛布可推導性條件（L?b’s derivability conditions，[2]）。否則彭羅斯的新論證可能會是連貫論證。18證明：1. ?x(F x ?Kx) →(Fφ→φ)。2.?x(F x ?Kx) →(F＇φ→φ)。3. ?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4. ?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。5.根據3 和洛布可推導性條件，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據4 和5，?x(F x ?Kx) →⊥。證畢！

然而，斯特恩認為利用洛布可推導性條件得到的彭羅斯論證，也不是令人信服的論證。因為它實際上確立的是，我是F 且我知道我是F 是不可能的，而非確立哥德爾析取式論題的第一個析取支。問題的關鍵是，在不引入關于遞歸可公理化理論的任意特殊假設的情況下，人們能從全局反射原則推出矛盾。斯特恩嘗試在弱假設下，從真與絕對可證明性理論出發，找到執行彭羅斯歸謬策略的辦法。他找到的真與絕對可證明性理論是協調克里普克-費弗曼理論。它有兩個特點：首先，除了否定，它滿足所有邏輯聯結詞的交換律；其次，它有真消除原則19真消除原則是Tφ→φ。。令λ是標準說謊者語句。20說謊者語句是?Tλ?λ。斯特恩嘗試在協調克里普克-費弗曼理論下，論證反機械主義論題成立。21證明：1.根據絕對可證明真原則，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →?y(P rσ(y) →T(y))。2.根據替代原則，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →(P rF(λ∨?λ) →T(λ∨?λ))。3.根據重言式，F ?P r?(λ∨?λ)。4.根據2 和3，再根據假言推理，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →T(λ∨?λ)。5.根據析取分配律，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →T(λ)∨T(?λ)。6.根據說謊者語句和真消除原則，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →?λ。7.根據說謊者語句，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →Tλ。8.根據真消除原則，F ??x(K(x) ?P rF(x)) →λ。9.根據6 和8，F ???x(K(x) ?P rF(x))。

此論證的關鍵步驟是第三步，它說的是，在沒有任何前提的情況下λ ∨?λ是可證明的。這表明對任意經典遞歸可公理化理論F，PrF(λ∨?λ)，也就是說，重言式在F下是可證明的。由此，斯特恩認為該論證確保反機械主義論題成立。人們質疑該論證是否是好論證。這實際上取決于兩個要素：首先，他是否把協調克里普克-費弗曼理論當作適當理論；其次，他是否把該論證當作直觀可行的論證。斯特恩認為答案都是否定的：首先，相對于每個遞歸可公理化理論的標準，協調克里普克-費弗曼理論是可證明不可靠的（provably unsound）。而如果有人要討論哥德爾析取式論題，他需要可靠理論。其次，由于人們選用的理論是病態理論，這會削弱論證的可信度。斯特恩的結論是，人們總是試圖利用哥德爾不完全性定理證明反機械主義論題成立，然而屢屢碰壁。他的建議是，人們可以在完全放棄哥德爾不完全性定理的情況下，去探索直接證明反機械主義論題的可能性。（[28]，第35-36 頁）

4 我們表明斯特恩第二次論證無效

我們看到斯特恩先后為反機械主義論題給出兩個論證。（[28,29]）我們首先來看兩個論證的共同點和不同點。它們采用的理論都是真與絕對可證明性理論，是真理論與絕對可證明理論的結合體。第一論證采用的是克里普克-費弗曼真理論，第二論證采用的是協調克里普克-費弗曼真理論。協調克里普克-費弗曼真理論承認真謂詞的協調性，在克里普克-費弗曼理論中等價于真消除原則。也就是說，協調克里普克-費弗曼真理論自身包含真消除原則。兩個論證都使用真謂詞析取分配律。它們都使用絕對可證明真原則。它們也都使用說謊者語句。

兩個論證的最大差異體現在對機械主義論題的表述上。第一論證把機械主義論題表述為?x(Prσ(x)?Kx)，σ是某個理論的遞歸可枚舉公理集的表示。第二論證把機械主義論題表述為?x(PrF(x)?Kx)，F是經典遞歸可公理化理論。前者是通用機械主義論題，后者是強機械主義論題，說的是在假設經典邏輯的前提下，機械主義論題成立。科爾納認為第一論證的問題就出在對理論的規定上。本來只有確定語句，后來卻出現不確定語句。為避免這種情況出現，斯特恩對原條件進行限定，加入經典邏輯這一條款，以避免不確定語句的再次出現。斯特恩的努力表面上成功了。但是問題還是出現在對不確定語句的理解上。不確定語句指的是類似λ ∨?λ的語句。在經典邏輯下，它是重言式，也就是一個恒真語句。但是在二值邏輯的情況下，它還可以表達或真或假的情況，而這表達的是不可判定的情況。當然斯特恩也意識到這個問題。他把這種情況稱為內部邏輯與外部邏輯的分離。22內部邏輯是真謂詞轄域內部的邏輯，外部邏輯是經典邏輯。既然面臨重重困難，我們認為斯特恩的第二論證即使是形式上可靠的論證，也終究不是一個好論證。由此我們再次回到科爾納的裁定：人們需要繼續尋找能證明反機械主義論題的可行免類型真與絕對可證明理論。

5 結論

反機械主義論題含有三個核心概念：理想化人類心靈、理想化有限機器和真。由于圖靈的貢獻，理想化有限機器概念具備科學根據。真概念也得到了充足的發展。人們不僅有塔斯基的類型化真理論，而且有各種各樣的免類型真理論。（[8]）在理想化有限機器概念和真概念具備科學根據的前提下，理想化人類心靈卻不具備科學根據。這里有兩個原因：首先，意識科學尚未真正發展起來（[13,18,19]）；其次，人們不僅對絕對可證明性概念認識不足，而且尚未有成熟的內涵悖論解決方案出現。（[28]）哥德爾建議人們從解決內涵悖論入手，進而證明反機械主義論題。由于沒有令人滿意的內涵解悖方案出現，人們實際上訴諸語義悖論解決方案，也就是訴諸真理論。

不管是科爾納還是斯特恩，他們都試圖借助于真理論證明或者否證反機械主義論題。科爾納借助的是確定真理論，斯特恩第一論證借助的是克里普克-費弗曼真理論，斯特恩第二論證借助的是協調克里普克-費弗曼真理論。科爾納表明，不管使用哪種免類型真理論，論證的效果都是一樣的。真正的差別體現在對機械主義論題的表達上。科爾納從免類型真理論出發，推斷反機械主義論題是獨立的，而斯特恩從免類型真理論出發，推斷反機械主義論題成立。這實際上提醒我們，訴諸真理論試圖證明或者否證反機械主義論題的方案并不可靠。人們還是要回到對理想化人類心靈概念也就是絕對可證明性概念的深度分析上面。

彭羅斯已經想到這一點并作出嘗試，也就是為數學心靈提供計算模型甚至物理模型。（[22]）彭羅斯的想法源自圖靈（A.Turing）的預言機，他把自己構想的機器稱為謹慎預言機（cautious-oracle device），以期容納絕對可證明概念。彭羅斯認為哥德爾的考慮并非周全，他認為哥德爾的問題在于并未把物理要素考慮進去，僅僅考慮數學因素和心靈因素。彭羅斯認為這種物理要素要具有非可計算的性質。他認為現有的物理學并不具有這種性質。人們需要發展一種新的物理學。我們從彭羅斯的視角來考慮心靈能否被機械化的問題。在薛定諤（E.Schr?dinger）的思想實驗中，一只貓的狀態可能演變成這只貓既生又死的狀態。這實際上說的是兩個可替代實在事物可以同時出現，比如量子粒子可以同時占據兩個不同位置。我們在考慮機械主義論題時也出現了這種情況。這是不完全性現象在不同科學領域的體現。

既然不完全現象普遍存在，我們不會考慮斯特恩的建議，因為他建議人們繞開不完全性現象去證明或者否證反機械主義論題。這里我們再次審視彭羅斯的建議，他把各種各樣的柏拉圖主義稱為程度柏拉圖主義（degrees of Platonism）。如果有人要解決連續統假設（the continuum hypothesis）這樣的難題，他需要持強柏拉圖主義立場。如果有人要解決反機械主義論題，他只需要持弱柏拉圖主義立場。我們的看法是即使要解決反機械主義論題，人們也要持強柏拉圖主義立場。哥德爾曾經告訴我們，盡管科恩（P.Cohen）已經證明連續統假設是不可判定的，但這并沒有解決數學真的問題。（[6]）如果要解決數學真的問題，人們需要持一種強柏拉圖主義立場。這種立場在希爾伯特（D.Hilbert）的世界是數學自治（mathematical autonomy，[4]），在科爾納的世界是數學牽引（mathematical traction，[23]）。