探索三角形全等的條件

文／趙維坤（正高級教師、江蘇省特級教師）

我們知道，如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等、對應角相等。反過來，當兩個三角形有多少組對邊或對角分別相等時，這兩個三角形就全等呢？

我們先思考兩個三角形中只有一組元素相等的情況。例如，我們可以分別畫出一條邊AB=3cm 的△ABC和一條邊DE=3cm 的△DEF，或者∠ABC=30°的△ABC和∠DEF=30°的△DEF，我們發現，這兩個三角形不全等。也就是說，當兩個三角形只有一組對邊或對角相等時，這兩個三角形不全等。

我們再思考兩個三角形中只有兩組元素相等的情況。例如，我們可以畫出邊AB=3cm、BC=4cm 的△ABC和 邊DE=3cm、EF=4cm 的△DEF，或 者畫出∠ABC=30°、∠BCA=45°的△ABC和∠DEF=30°、∠EFD=45°的△DEF，或者畫出邊AB=3cm、∠ABC=30°的△ABC和邊DE=3cm、∠DEF=30°的△DEF，這兩個三角形也不全等。因此，當兩個三角形有兩組對邊或對角相等時，這兩個三角形也不全等。

通過畫圖我們發現，三組以下元素分別相等的兩個三角形不全等。

那么，在兩個三角形中，如果有三組元素分別相等，它們就一定全等嗎？

觀察下圖中的三角形，請你找出其中的全等三角形，并在透明紙上畫出這些三角形，疊合驗證。

這里給出的12 個三角形，可以分成這樣的四類：三邊分別相等、三角分別相等、兩邊和一角分別相等、一邊和兩角分別相等。

同學們可以兩個人一組，根據下面6 個條件，在透明紙片上分別畫出△ABC。

條件一：AB=2cm，BC=3cm，CA=4cm；

條件二：∠ABC=30°，∠ACB=100°，∠BAC=50°；

條件三：AB=2cm，∠BAC=45°，AC=3cm；

條件四：CB=2cm，∠BAC=30°，AC=3cm；

條件五：∠ABC=30°，AB=3cm，∠BAC=45°；

條件六：∠ACB=100°，AB=3cm，∠BAC=45°。

通過操作，我們發現，三邊分別相等的兩個三角形是全等的，只有三角分別相等的兩個三角形是不全等的。事實上，根據三角形內角和定理，“三角分別相等”實質上就是“兩角分別相等”，這樣不能判定兩個三角形全等。

“兩邊和一角分別相等的兩個三角形”有兩種情形：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形是全等的，只有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不全等。

“一邊和兩角分別相等的兩個三角形”中，兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形是全等的，兩角和其中的一組等角的對邊分別相等的兩個三角形也是全等三角形。還有其他情形嗎？同學們可自行畫圖解決。

在兩個三角形中，如果有4 對（或5 對）元素分別相等，那么這兩個三角形一定全等嗎？這就留給同學們自己動手操作證明了。