在遷移中探索 在變化中成長

文／江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學(xué) 成長

經(jīng)過了本章的學(xué)習(xí)，我知道了全等三角形是圖形變換的基礎(chǔ)。利用全等三角形，能夠解決大量圖形中線段、角的相關(guān)問題。學(xué)好全等三角形對于發(fā)展我們的邏輯推理能力具有重要的意義。下面，我們來看這道題。

例題如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一點，PA=PD，∠APD=90°，AB=3，CD=7。求四邊形ABCD的面積。

圖1

題目已經(jīng)給出了∠B=∠C、PA=PD兩個條件，所以我們只需要證另一個邊或角相等即可。而本題明顯無法證明邊的相等關(guān)系，所以我們將目標(biāo)定為證明角相等。可是該如何證明呢？

我們可以從條件出發(fā)，由∠B=90°結(jié)合“直角三角形兩銳角互余”得到∠BAP+∠APB=90°；由∠APD=90°及平角的定義得到∠APB+∠DPC=90°；再根據(jù)“同角的余角相等”，易證∠BAP=∠CPD。從而可證△APB≌△PDC，所以AB=PC，BP=CD，再利用梯形面積公式求得ABCD的面積為50。

這類全等問題中的圖形猶如字母K，我們不妨稱之為“K”字型全等。這類問題雖然由多條垂線構(gòu)成，看似煩瑣，但只要挖掘出垂線所帶來的條件，尋找“K”字型，即可成功解題。根據(jù)“K”字型全等，我們再一起嘗試解答變式1吧。

變式1 如圖2，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=90°，連接AD、CE，過點B的直線分別交AD、CE于點N、M，MN⊥AD。求證：M是CE的中點。

圖2

我第一眼見到這個圖形，沒有任何頭緒，但是仔細一看，卻能發(fā)現(xiàn)一絲“K”字型的影子：三角形頂點共直線，有垂直，有邊相等。于是我毫不猶豫，選擇過點C、E分別向直線MN作垂線，垂足為P、Q（如圖3）。

圖3

此時，熟悉的“K”字型就被我構(gòu)造出來了。根據(jù)例題所求結(jié)論，易得△ANB≌△BPC、△DNB≌△BQE。但是，如何由兩個全等關(guān)系得到“M是CE中點”這一結(jié)論呢？靜心思考，我又發(fā)現(xiàn)了一絲“端倪”：要證中點，只需證兩條線段相等，即證線段CM、ME分別所在的兩個三角形（△CPM與△EQM）全等，問題迎刃而解！變式2 就留給同學(xué)們自己嘗試一下啦！

變式2 在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=BE，∠ABC+∠DBE=180°，連接AD、CE，過點B的直線分別交AD、CE于點N、M，∠ANM=∠ABC。試問：M還是CE的中點嗎？請自行畫圖并說明你得到的結(jié)論的正確性。

全等三角形的應(yīng)用不僅僅停留在幾何問題之中。解決復(fù)雜的全等三角形問題，只要尋找解決基本問題的方法即可。我想，這也是數(shù)學(xué)變化之美的一種體現(xiàn)吧！

教師點評：

全等三角形的學(xué)習(xí)，需要同學(xué)們在基本圖形的變化中去探索、發(fā)現(xiàn)。圖形變化之繁，思想方法之多，都是對同學(xué)們的考驗。我們要學(xué)習(xí)成長同學(xué)善于思考、遷移、歸納總結(jié)的好習(xí)慣，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，舉一反三，以不變應(yīng)萬變，積極思考，主動探究，就一定能學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)，將來為祖國做出更大的貢獻。