知整體 明方法 重策略

文／張衛明

“全等三角形”是蘇科版數學教材八（上）第1 章內容，是初中幾何的重要內容之一。本章的學習，不僅可以豐富同學們對已知圖形的認識，也為后面學習等腰三角形、四邊形、圓等知識打下基礎，為研究相似三角形提供了思路。現從單元整體上做如下梳理。

一、整體理解全等三角形的結構體系

本章圍繞全等三角形的性質和判定展開，重點探究全等三角形的判定條件，并應用全等三角形的知識，掌握兩個尺規作圖：①作一個角的平分線，②過一點作已知直線的垂線。同學們在本章也較為系統地學習了直接證明方法中的綜合法，“利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立”。綜合法往往由已知條件出發，不斷推出新結論，直至這個結論就是所求的結論。同學們要學會用綜合法證明有關三角形全等的命題，學會邏輯推理，并用規范的數學語言表達，發展演繹推理能力。

二、感悟體會全等三角形的學習方法

1.在操作中感悟全等三角形的判定

在學習了全等三角形的定義和性質后，“具備怎樣的條件，兩個三角形就全等”這一問題便順勢而生。從三角形組成元素的角度出發，將籠統的“完全重合”轉變為具體的、可操作的“尋找有效條件”。以“兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等”為例，我們可嘗試完成兩次操作。操作一：用長方形紙片剪出一個直角三角形，使剪出的直角三角形與另一個直角三角形重合，根據兩直角邊相等，可得到兩個三角形全等；操作二：用直尺和圓規作△ABC（圖略），使得∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′，進一步體會結論的正確性。

2.在運動中體會全等三角形的性質

我們可以借助圖形的運動來學習全等三角形的性質。兩個三角形經過平移、翻折、旋轉后完全重合，提供了識別全等三角形對應頂點、對應邊、對應角的方法，有助于形成良好的空間觀念。

例如，如圖1、圖2，可以通過平移使兩個三角形完全重合，快速找到兩個全等的三角形的對應元素。

圖1

圖2

如圖3、圖4，可以通過翻折使兩個三角形完全重合。

圖3

圖4

如圖5、圖6，可以通過旋轉使兩個三角形完全重合。

圖5

圖6

三、研磨凝練全等三角形的解題策略

“全等三角形的對應邊相等、對應角相等”，借助這樣的性質，我們可以證明線段相等、角相等，在此基礎上，可進一步探究線段之間的數量關系和角之間的數量關系。由此可見，全等三角形是幾何證明的重要工具。這里提供兩種全等三角形的解題策略。

1.洞悉條件，巧選判定方法

三角形的全等判定一般有四種方法：SAS、AAS、ASA、SSS，直角三角的全等判定除了前面四種方法，還有HL。我們發現，至少有三個元素相等方可判定兩個三角形全等，且至少要有一組邊對應相等。全等三角形的判定有多種方法，不同的判定方法的條件也是不同的。我們先要觀察待證全等的兩個三角形中，已有哪些條件，再恰當選取判定方法。題目通常會給定全等三角形判定所需的兩個條件，我們再推理出第三個相等要素即可（如例1）。

例1（2022·陜西）如圖7，在△ABC中，點D在邊BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A。求證：DE=BC。

圖7

【分析】要證明DE=BC，只需求證△ABC≌△CDE。已知這兩個三角形中有一組對應邊相等和一組對應角相等，即AB=CD，∠A=∠DCE，且邊是角的鄰邊。根據上面的分析，我們可通過找AC=CE或∠B=∠EDC來證明△ABC和△CDE全等，由條件DE∥AB可推出∠B=∠EDC，從而解決問題。

2.添線搭橋，構造全等三角形

當要證在兩個三角形中的兩條線段或兩個角相等時，我們可直接證明這兩個三角形全等。但有時要證的相等線段或相等角不在兩個全等的三角形中，這時我們就需要添加輔助線，構造全等三角形，搭建已知與結論之間的“橋梁”。添加合適的輔助線往往能“絕處逢生”（如例2）。

例2如圖8，AC=AD，BC=BD，求證：∠C=∠D。

圖8

【分析】要證明∠C=∠D，但∠C和∠D并不在兩個三角形中。因此，我們可以連接AB，構造出△ABC和△ABD。這樣∠C和∠D分別在△ABC和△ABD中，即轉化為求證△ABC和△ABD全等，根據“SSS”即可證得。

全等三角形是初中數學中幾何學習的基礎，也是發展推理能力的關鍵。要想學好全等三角形，同學們要學會從整體的視角研究問題，學會用數學的思維思考問題，明晰學習方法，凝練解決問題的策略，積累數學活動經驗。這樣我們就會打開更廣闊的數學思維空間，能夠更深入地探索幾何學的奧秘。