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——運(yùn)用一元二次方程解決動點(diǎn)問題

文／王國強(qiáng)

教材中的例習(xí)題是教材編寫者根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)與內(nèi)容，反復(fù)斟酌，精心設(shè)置的，具有很強(qiáng)的代表性和示范性，也是我們學(xué)習(xí)的重要資源庫。

一、原題思考與拓展

（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第28頁問題6）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s 的速度向點(diǎn)B移動；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s 的速度向點(diǎn)C移動。幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？

圖1

思考1：△DPQ的面積能等于38cm2嗎？

思考2：△DPQ的面積有最大值嗎？有最小值嗎？為什么？

思考3：幾秒鐘后，△DPQ的面積是△PBQ的面積的3倍？

【思路點(diǎn)撥】我們通過圖形特征，發(fā)現(xiàn)△DPQ的面積可以用大矩形面積減去三個(gè)直角三角形的面積表示，再用面積為38 作為等量關(guān)系，列出方程，進(jìn)而可以在圖形的動態(tài)變化中思考△DPQ的面積隨時(shí)間t的變化過程。

拓展：關(guān)于△DPQ，你還能提出哪些問題呢？

問題1：幾秒鐘后△DPQ是等腰三角形？

問題2：幾秒鐘后△DPQ是直角三角形？

問題3：幾秒鐘后線段PQ的長等于6cm？

問題4：線段PQ有最大值嗎？有最小值嗎？為什么？

【思路點(diǎn)撥】矩形ABCD的四個(gè)角都是直角，那么圖形中存在直角三角形，我們便可在不同的直角三角形中運(yùn)用勾股定理構(gòu)造方程解決問題。

對于問題1，我們自然要分類討論：①PD=PQ，即PD2=PQ2；②QP=QD，即QP2=QD2；③DP=DQ，即DP2=DQ2。

對于問題2，我們也要分類討論：①∠PDQ=90°，②∠DPQ=90°，③∠PQD=90°。當(dāng)然，我們通過觀察圖形特征可以發(fā)現(xiàn)，∠PDQ和∠DPQ不可能是直角。

對于問題3，我們要注意動點(diǎn)變化帶來的線段變化，利用勾股定理建構(gòu)一元二次方程求解。

對于問題4，我們要分類思考點(diǎn)P和點(diǎn)Q的動靜關(guān)系。由速度的2 倍關(guān)系聯(lián)想線段的2 倍長度，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P到B處，點(diǎn)Q到C處時(shí)，PQ有最大值。利用勾股定理建構(gòu)一元二次方程可求出最小值。

【小結(jié)提升】化動為靜，動的是點(diǎn)，靜的是線段長度；數(shù)形結(jié)合，用含時(shí)間的代數(shù)式表示圖中線段長度；分類討論，關(guān)鍵是找到臨界點(diǎn)。

二、中考鏈接與遷移

（2023·江蘇徐州）如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為4，將它剪去4 個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形EFGH。設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y。

圖2

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)AE取何值時(shí)，四邊形EFGH的面積為10？

（3）四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。

這道中考題的實(shí)質(zhì)和例題很像，只是一個(gè)是矩形，一個(gè)是勾股弦圖。圖形在變，不過解題方法卻不變，兩道題最終都化歸為用一元二次方程來解決。

問題1：剪去4 個(gè)全等直角三角形，得到的四邊形EFGH是什么圖形？

問題2：四邊形EFGH的面積為10，可否轉(zhuǎn)換成一元二次方程？

問題3：可否用配方法轉(zhuǎn)化四邊形EFGH的面積函數(shù)表達(dá)式？

對于問題1，我們可以借助全等三角形說明圖形形狀是正方形。

對于問題2，我們先用勾股定理求出動線段長與面積的函數(shù)表達(dá)式，再化歸為一元二次方程來解決。

對于問題3，我們通過配方法轉(zhuǎn)換后，可以在數(shù)形結(jié)合中用式的特征來解決。