謹防隱含條件的陷阱

文／周華軍

一、忽視等式性質的使用條件

例1方程x2=x的解是________。

【錯解】兩邊同除以x，得x=1。所以方程的解是x=1。

【剖析】等式性質2 是：等式兩邊同時乘同一個數（或除以一個不為0 的數），所得結果仍是等式。錯解中兩邊同除以x，忽視了x可能為0 的情況，導致漏解。

【正解】移項，得x2-x=0。所以x（x-1）=0。所以x1=0，x2=1。

【對策】方程的根是使方程成立的未知數的值，不管遇到多么簡單的方程，一定要按照解方程的步驟去求解。

二、忽視一元二次方程的概念

例2已知關于x的一元二次方程kx2-（2k+4）x+k-6=0 有兩個不相等的實數根。求k的取值范圍。

【錯解】因為關于x的一元二次方程kx2-（2k+4）x+k-6=0 有兩個不相等的實數根，所以根的判別式b2-4ac=（2k+4）2-4k（k-6）＞0，解得

【剖析】一元二次方程的二次項系數不為0，這一點在解題過程中經常被同學們忽視，導致答案錯誤。

【正解】因為關于x的一元二次方程kx2-（2k+4）x+k-6=0 有兩個不相等的實數根，所以k≠0 且根的判別式b2-4ac=（2k+4）2-4k（k-6）＞0。解 得且k≠0。

【對策】理解一元二次方程的概念是解決此類問題的起點。解決一元二次方程的相關問題時，一定要抓住“二次”，只有二次項系數不為0，才能保證“二次”的存在。

三、忽視實際問題的背景

例3某學校計劃利用一片空地為學生建一個面積為80m2的矩形車棚，其中一面靠墻（墻的可用長度為12m），已知現有的木板材料可使新建板墻的總長為26m。根據學校要求，在與墻平行的一面開一個2m 寬的門（如圖1），那么這個矩形車棚相鄰兩邊長分別為多少？

圖1

【錯解】設與墻垂直的邊長為xm，則與墻平行的邊長為（26+2-2x）m。

根據題意，得x（26+2-2x）=80。整理，得x2-14x+40=0。解得x1=4，x2=10。

答：這個矩形車棚相鄰兩邊長分別為4m、20m或10m、8m。

【剖析】當x=4時，26+2-2x=26+2-2×4=20＞12，不符合題意，要舍去。錯解忽視了問題的背景條件“墻的可用長度”。

【正解】設與墻垂直的邊長為xm，則與墻平行的邊長為（26+2-2x）m。

根據題意，得x（26+2-2x）=80。整理，得x2-14x+40=0。解得x1=4，x2=10。

當x=4時，26+2-2x=26+2-2×4=20＞12，不符合題意，舍去；

當x=10 時，26+2-2x=26+2-2×10=8＜12，符合題意。

答：這個矩形車棚相鄰兩邊長分別為10m、8m。

【對策】遇到實際問題，在將其轉化成數學問題并解決后，一定要將這個問題的解代回到實際問題中加以驗證。

四、忽視問題中隱語發出的信息

例4某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克。經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1 元，日銷售量將減少20 千克。現該商場要保證每天盈利6000 元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

【錯解】設每千克水果應漲價x元。

根據題意，得（500-20x）（10+x）=6000。解得x1=5，x2=10。

答：每千克水果應漲價5元或10元。

【剖析】我們容易找到等量關系：盈利額=每千克盈利×日銷售量，但要注意有一句重要的隱語，“要使顧客得到實惠”。因此，我們在求出方程的兩個解后，需要舍去x2=10 這個解，也就是說，既要漲價，也要讓顧客得到實惠。

【正解】設每千克水果應漲價x元。

根據題意，得（500-20x）（10+x）=6000。

整理，得x2-15x+50=0。

解這個方程，得x1=5，x2=10。

要使顧客得到實惠，應取x=5。

答：每千克水果應漲價5元。

【對策】用方程解決問題，要充分利用題目中的已知條件，善于分析題目中的隱含條件，挖掘其隱含關系。