巧用策略解決問題，善思原理提升能力

厲金文

【摘要】經過多年的教學實踐，總結“在列表嘗試中分析調整”“在畫圖比較中拓展化解”“在模擬演示中推導探究”“在分析轉化中推理分解”等教學策略，可以讓個性化的解題方式和策略得到充分展示，讓學生在思維的激發與碰撞中學會解決問題。

【關鍵詞】解決問題；列表嘗試；畫圖比較；模擬操作；分析轉化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，“問題解決”教學要關注對學生“信息閱讀與理解、方法策略的選擇與應用，過程結論的回顧與反思”等能力培養。課程標準把傳統的“應用題”更名為“解決問題”，這不是簡單的名稱變化，其背后反映的是教育價值的定位問題，涉及課程體系的編排及具體呈現形式的調整，是小學數學課程所追求的價值目標的更好表達。

“解決問題”原來的價值追求更偏向于思維的結果，盡快獲得問題的結果。而新課標對其的價值追求是思維過程與結果的并重。兩者相比，思維過程更為重要，因為問題的結果是唯一的，不能反映學生之間的思維差異，而思維的過程受知識儲備、學習習慣等影響，是具有個性化特征的。在班級授課制下，展現個性化思維的過程遠比展現一致性的結果更重要，它更能促進學生思維的碰撞，繼而在碰撞中進階。

一、運用列表分析嘗試調整

列表，就是將問題中的信息以表格的形式進行篩選、整理，在此基礎上通過分析信息之間的關系嘗試解決，在調整中獲得解決問題的一般方法。這種方法看似“原始”，但對于解決思維過程比較復雜的租車（船）、最佳購票方案、得分問題、雞兔同籠等問題往往有著事半功倍的效果。如“一次數學競賽共有10道題，計分規則為答對1題得10分，答錯1題扣5分。小明在這次競賽中的最終得分是70分，問他做對的和做錯的分別是幾題？”面對這樣的題目，在沒有任何提示的情況下，學生一定會用算術法解答。殊不知，這類逆向思維的問題用算術法解決對高段的學生來說極具思維挑戰性，怎樣讓中段的學生也能解答呢？筆者認為列表策略是最佳的選擇，它能讓學生在調整的過程中看到變化的方向與情況，具體如表1所示。顯而易見，做對的題數為8道，做錯的題數為2道。

在運用列表法解決問題時，確定嘗試分析的“切入點”也是有一定的策略的。如上述案例是得分較高的情況，那從做對的題數最多開始嘗試會比較快捷；反之，就從做錯的題數最多開始嘗試；如果得分居中，就從對的題數和錯的題數各一半列起，這樣可以最大程度地減少調整的次數。為了能讓學生在嘗試運用策略解決問題時更好地找準“切入點”，教師要在學生多次嘗試的基礎上，或是對不同學生的嘗試策略進行對比，引導學生對嘗試的過程進行反思與總結，發現其中隱藏著的數學規律，積累用嘗試法解決問題的數學經驗。

相對于算術法而言，列表法的思維層次雖然低了一些，但它的思維過程更加直觀與明晰，可以有效促進學生對算術模型的深度理解，進而建構算術模型的“腳手架”，特別是對算術法中的“（10+5）”理解有困難的學生，在表格中可以獲得很好的理解。

二、在畫圖比較中拓展化解

小學生處于皮亞杰的認知發展理論的具體運算思維階段，他們的思維需要具象事物的支撐，對抽象的符號、運算性質的推理會存在一定的理解困難。通過畫圖、比較，可以讓抽象、符號化的信息變得直觀、具體化，能夠幫助學生更容易地找到解決問題的關鍵，從而有效地解決問題。以下是筆者用線段圖化解理清關系之難和用示意圖化解聯系實際之難的教學實踐。

1.用線段圖化解理清關系之難

線段圖能夠直觀地表征出數量之間的關系，所以其在傳統應用題教學中的地位是非常重要的，對解答分數問題的作用更是明顯，小學高段的數學教師如果能夠堅持讓學生運用線段圖來解答分數問題，那將會大大提升他們解決問題的能力與信心。而且，線段圖在解決涉及關系較為復雜的多個數量的問題時更能顯現其直觀、形象的價值。如筆者曾在四年級數學興趣小組選拔試卷上設計了這樣一道附加題：“被減數、除數、商與余數的和是401，被除數是除數的5倍還多3，求除數是多少。”此次選拔共有160名四年級學生參加，其中做對這道題的同學僅有10名左右。筆者對他們解決問題的方法進行了分類，主要有以下四種：

方法1：根據有余數除法各部分之間的關系進行推理解決。具體為：

因為“被除數÷除數=5……3”，所以“被除數=除數×5+3”。又因為“被除數+除數+商+余數=401”，結合“商是5，余數是3”，得到“除數×5+3+除數+5+3=401”，整理為“除數×6=401-5-3-3”，結果“除數=390÷6=65”。

可以看出這種方法的推理過程非常清晰嚴謹，但很抽象，理解起來仍比較吃力。

方法2：直接寫出答案，沒有思考的過程，結果是拼湊出來的或試出來的。

方法3：也得到了解法1中的“除數×5+3+除數+5+3=401”，但沒有算出最終結果，原因在于四年級學生對有余數除法各部分之間的關系很熟悉，也能進行簡單的等量代換，所以他們能夠寫出上述等式，但他們對復雜等式的化簡能力不足，對等式守恒的理解還不夠，所以無法得到最終的結果。

方法4：借助線段圖理清關系再解決。雖然只有一名學生采用了該種方法，但是直觀、易懂，思維非常清晰。

批閱之后，筆者在課堂上和學生對這道題進行了分析與討論。首先讓學生自主看了方法1，接著讓做對的同學講解解題的過程，經過2名學生的講解和筆者的補充后，也只有四分之一的學生勉強理解，很多學生仍然不明白。于是筆者請采用方法4的學生來為大家進行講解。他把線段圖展示在黑板上，剛剛畫完，大部分同學的臉上就露出了明白的表情。可見抽象的純數學推理雖然思維層次高，但遠遠超過了學生的最近發展區，學生跳得再努力還是摘不到桃子。而線段圖僅僅是簡單的幾筆卻勝過了近百句的語言，這就是線段圖化抽象為直觀、化錯綜復雜為簡單明了的價值。將抽象的數學問題變得直觀可視，為學生理解問題、分析問題與解決問題提供了思維可視化的“腳手架”。

2.用示意圖化解聯系實際之難

數學源于生活，但學生在解決實際問題的過程中容易忽略對“實際”的考慮。借助示意圖呈現實際問題中量與量之間的關系，可以達到化繁為簡、化難為易的目的，更好地促進學生聯系實際、理解實際、解決實際問題的能力。

在學生學習了三角形的面積之后，筆者設計了一道這樣的練習：“醫院要用長方形白布制作包扎用的三角巾，三角巾是底和高均為8分米的等腰三角形。一塊長74分米，寬16分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？”

學生有兩種不同的解決方法：

方法1：74×16÷（8×8÷2）=1184÷32=37（塊）。

大部分同學從題意理解，這是一個包含除法的問題，其數量關系為“長方形白布的面積÷每塊三角巾的面積=可制作的三角巾的數量”，所以在這部分同學看來，他們的解決方法有理有據，是很有道理的。

方法2：74÷8=9（塊）……2（分米）；16÷8=2（塊）；（9×2）×2=36（塊）。

個別同學結合生活實際，考慮到了制作過程中可能會出現邊角料的問題，所以需要先從長邊和寬邊的角度分別考慮，再綜合。

學生獨立完成后，筆者將兩種方法整體呈現，先讓學生觀察、比較，看懂兩種方法；再讓這兩部分學生互相思辨，各說各的道理；最后讓方法2的學生畫出示意圖，學會正確的解決方法。

除了上面介紹的兩種畫圖方法外，在解決問題時還會用到集合圖，也是非常直觀的，同時也對學生滲透集合的思想。學生的解題思路往往沒有任何束縛，他們會根據自己的生活和學習經驗、思維特點和習慣，創造性地畫出一些讓老師意想不到，但學生之間互相明白的圖示，我們都可以稱之為示意圖，教師也應該及時鼓勵表揚。

三、在模擬演示中推導探究

模擬演示是通過模擬問題情景進行實際動手操作，在操作過程中解決問題的一種策略。模擬演示能夠讓幾個靜態的信息變成動態的量與量之間的關系，更好地幫助學生理解量的變化過程，從而有效解決問題。

“火車過橋（山洞）”問題是基本行程問題的拓展，其難點是確定火車所行駛的“路程”。筆者曾讓學生解決這樣一道“火車過橋”問題：“一列車身長120米的火車，以每秒15米的速度經過一座長1500米的橋。那么這輛火車經過這座橋需要多長時間？”

大部分學生在自主嘗試解決的過程中寫了“1500÷15”這個算式。學情診斷之后，筆者沒有立刻作出評價，而是讓學生自己再想一想。此時，課堂上出現了這樣一幕：一名學生把鉛筆盒當作長1500米的橋，把鉛筆當作車身長120米的火車，將鉛筆從鉛筆盒的左端平移至右端，模擬火車過橋的過程。模擬演示3遍后，他興奮地舉手回答：“正確的過橋時間應該是把橋的長度加上車身的長度作為路程，然后除以速度。”筆者請這位學生上臺進行演示，同學們恍然大悟，紛紛表示認同。

通過模擬、操作，把一些源于生活的實際問題進行情景“再現”，讓不清晰的數量關系直觀地呈現出來，問題也就迎刃而解了。

四、在分析轉化中推理分解

除了以上介紹的這些策略外，我們經常會用到“逆推的策略”，即“從問題出發思考，選擇需要的信息進行解決”；還會用到“順推的策略”，即“從已有信息出發思考問題”，也就是所謂的“分析法”和“綜合法”，兩者皆可看作推理、分析的策略。主要包括：

第一，從問題情景中提煉數學本質，再用算式表征數學本質的轉化策略。如“在校門前擺了3行菊花，每行7盆，共要擺多少盆菊花？”第一次將這個問題情景轉化為數學本質“求3個7是多少？”第二次將“求3個7是多少？”轉化為算式表征“7×3”。

第二，找出復雜問題中各簡單問題之間的聯系，從而總結解決問題的分解策略。如“兩山超市第一天上午賣出15瓶飲料，下午賣出的飲料比上午多20瓶，第二天賣出的飲料比第一天少3瓶。兩山超市兩天共賣出飲料多少瓶？”根據“第一天賣出的飲料數量+第二天賣出的飲料數量=兩天賣出的飲料總數”，將問題分解為“第一天賣出多少飲料”和“第二天賣出多少飲料”。再根據“第一天上午賣出的飲料數量+第一天下午賣出的飲料數量=第一天賣出的飲料數量”，將問題分解為“第一天上午賣出的飲料數量”和“第一天下午賣出的飲料數量”。

其實，每一個數學問題解答的切入點不是唯一的。每一個學生在面對數學問題時，其思維的路徑是多端的。唯有問題的切入點與學生的思維路徑能夠完美對接時，才能有效地解決問題。因此，教師要組織學生充分經歷數學問題解決的過程，不斷體驗、感悟、理解、內化、表達與運用，積累更多的經驗，掌握更多、更具體的方法與思維，以豐富其思維的廣度。

總之，在解決問題的教學過程中要避免單一的對結果的追求，應該把學生在解決問題過程中個性化的思維方式和解題策略展示出來，還要賦予學生更多解釋和評價自己以及他人思維過程和思維結果的權利。當解決問題成為課堂教學的一部分，學生能夠主動關注知識之間的內在聯系，理解問題本質，并能在解決問題過程中體驗到成功，在思維的激發與碰撞中解決問題。

【參考文獻】

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