小學數學建模教學的實施與分析

林昭巒

［摘? 要］ 數學模型是聯系生活實際與數學學科的橋梁，學生建構數學模型的過程既是將生活實際“數學化”的過程，又是學生的思維得以有效訓練的過程。文章認為創設生活情境為建模的基礎，抽象事物本質為建模的關鍵，滲透數學思想是建模的靈魂，解決實際問題是建模的拓展。

［關鍵詞］ 模型；建模；數學思想

學生建構數學模型的過程既是訓練思維的過程，也是“數學化”的過程。數學建模能有效地幫助學生發現數學、創造數學、形成解題技巧和發展數學核心素養等。在小學數學建模教學中，教師應從知識的本質與價值著手，進行深度剖析與思考，力求讓學生感悟數學建模的過程，為形成良好的模型思想奠定基礎。

一、創設生活情境——建模的基礎

數學模型是聯系數學知識與現實生活的橋梁，任何模型的獲得都源自對實際生活的抽象。因此，教師要創設豐富的生活情境給學生感知知識再創造的機會，讓學生在情境，中感知生活與數學的自然聯系，為科學建模奠定基礎。

建模之前，學生需要對模型的原有形態有一個大致的了解，只有掌握模型原有形態的特點，才能從真正意義上通過模型來簡化問題。但是，小學生的生活閱歷尚淺，認知水平不高，對生活實際問題的理解不夠深刻，這些會導致學生從實際問題中抽象模型時出現障礙。想要在這方面有所突破，教師應組織學生參加社會實踐活動，引導學生親歷生活實際，獲得良好的生活體驗，讓學生主動獲取相關的數學信息與材料，增強數學意識。

教師在創設問題背景時，應考慮學生的認知水平，分析學生是否對背景材料感興趣。當然，創造性地使用教材也是一個好方法，教材是教學的主要依據，是學生賴以學習的根本。結合教學內容創設情境，既可以彌補只依靠教材教學所帶來的枯燥性與抽象性，又能豐富學生的認知背景，為簡化問題、建構模型的教學奠定基礎。

案例1? “平均數”的教學

情境：某小學正在建造花圃，磚塊堆放的位置影響了學生的正常通行。如圖1，甲、乙兩組學生準備將這些磚塊清理掉，并在教師的組織下進行了1分鐘的搬磚比賽。

問題：（1）通過讀題審題，大家獲得哪些信息？

（2）哪組搬得快？為什么？（從圖1所提供的信息來看，甲組一共搬了15塊磚，乙組一共搬了12塊磚，顯然是甲組搬的總量多，由此可確定甲組搬得快）

（3）若乙組來1名學生幫忙，他1分鐘可以搬4塊磚，此時乙組所搬磚塊的總量就是16塊，由此可判定乙組贏得了比賽，對嗎？

（4）若你是甲組成員之一，對這個比賽有沒有反對意見？為什么？

（5）比賽必須講究公平，在人數不相同的情況下，不能用比總數的方法來確定比賽勝負。在人數不同的情況下，有沒有辦法來判斷哪組搬得快呢？

（6）既然大家提出利用平均數來比較，究竟什么是平均數呢？（要求學生結合自身已有的認知經驗進行解釋）

（7）這里我們涉及兩種（磚塊數量與平均數）評判勝負的標準，你們覺得這兩種標準在適用范圍上有什么區別？

豐富的生活情境與平均數的意義有機地融合在一起，在激發學生探索欲的同時還將平均數的本質隱含在情境中。這個情境具有模糊性與開放性特征，學生不能在短時間內就完全認清情境的內涵。因此，教師通過分層提問的方式，激發學生的思維矛盾，讓學生自主獲得更好的評判標準，為平均數的出場做了充足的準備。隨著問題的有序推進，學生的認知也隨之深入。

此過程是幫助學生從常見的生活比賽場景中抽象平均數的過程，這不僅反映出甲、乙兩組搬運速度的快慢，還讓學生從中感知平均數的概念。通過生活情境導入，促使學生自主建構模型，初步認識平均數的意義。

二、抽象本質屬性——建模的關鍵

讓學生在教學活動中，經歷觀察、分析、比較、判斷等過程，抽象出數學事物的本質屬性是建模的關鍵，這也是數學建模最重要的環節。培養學生的能力是數學教學的主要目標，一直以來，能力立意的教學原則讓教師越來越注重培養學生的自主概括與抽象能力，期望學生在學習過程中通過自主探索抽象出數學事物的本質。

案例2? “分數的初步認識”的教學

分數的本質是什么呢？這是本節課教學的重點與難點。為了引導學生自主抽象出分數的本質，筆者結合學生的實際情況，設計了三個環節來開展教學。

1. 鋪墊

筆者利用多媒體的直觀演示功能，展示盤子里裝有1塊蛋糕的圖片，提出問題：這里有1塊蛋糕，現在將這塊蛋糕平均分給4個小朋友，每個小朋友能獲得多少蛋糕呢？

生1：每個小朋友都可以獲得這塊蛋糕的1/4。

師：不錯，大家是怎么想到1/4這個數的？

生2：結合我們的生活實際，將1個物品平均分成4份，那么每1份應該是原來這個物品的1/4，因此每個小朋友所獲得的蛋糕為原蛋糕的1/4。

教師肯定了學生的說法，并用PPT展示具有典型意義的圖片（如圖2），讓學生從中感知圖形與分蛋糕情境類似的體驗，強化學生對1/4的理解。

2. 思辨

筆者借助多媒體展示被布遮擋的蛋糕的圖片，要求學生說一說布下的蛋糕該怎么分。

生3：我們可以將布下的蛋糕平均分成4份，每個小朋友1份。

師：這塊布下面到底有多少蛋糕呢？我們一起將布揭開看一看（利用多媒體的動畫功能，揭開布，展示布下的8塊蛋糕），現在該怎么分呢？

生4：每個小朋友要得到這些蛋糕的1/4，但是有8塊蛋糕……

生5：剛才圖片展示了1/4的表達方式，但這里有8塊蛋糕，貌似不能用剛才的圖片來解釋。

生6：其實我們可以將這8塊蛋糕理解為原來的1大塊蛋糕，現在我們依然把它們平均分為4份，每人獲得其中的1/4。

生7：貌似可以這么理解，原來將1塊蛋糕理解為一個整體，現在我們將8塊蛋糕理解為一個整體，那么每個小朋友都可以獲得這些蛋糕的1/4，同樣也可以用圖2來表示。

師：非常棒！生7提到“整體”這個詞，特別有意義。確實，我們可以先將兩次待分配的蛋糕理解成一個整體，然后將它們平均分為4份，那么每個小朋友所獲得的量即為原蛋糕總量的1/4。

3. 提升

師：通過剛才的分析，我們解決了“布下蛋糕的總數為8塊，將它們平均分給4個小朋友”的問題。假設盤子里有12塊蛋糕，我們該怎么用圖來表示這些蛋糕的1/4呢？

（學生畫圖，交流）

生8：通過分析，發現依然可以用圖2來表達這12塊蛋糕的1/4。

師：哦，此話怎講？為什么可以通用圖2這幅圖？

生9：我們將這12塊蛋糕理解為大長方形，4個小朋友每個人獲得其中的1份，就是獲得該長方形的1/4，因此用圖來表達的形式是一樣的。

師：綜上，我們發現不論是1塊蛋糕，還是8塊、12塊蛋糕，都可以用圖2來表示其中的1/4這張圖還能表達多少塊蛋糕的1/4呢？

（學生交流）

生10：可以表示16、20、24、28、32……

師：總之，圖2所代表的是一個整體，也就是說不論這個大長方形表示的是多少塊蛋糕，若將它平均分為4份，則陰影部分所表示的是這些蛋糕的1/4。

隨著教師循循善誘的引導與學生的自主探索，學生的思維經歷“猜想—操作”的變化過程。隨著各種觀點的提出、辯論與分析，學生對“1塊蛋糕的1/4”和“某些蛋糕的1/4”有了明確的認識。這個過程不僅凸顯了數學中的“整體”的重要性，還讓學生抽離了“蛋糕數量”這個非本質屬性特征。隨著認識的逐漸深入，學生抽象出分數的本質，成功地建立了1/4的直觀模型，其思維能力在此過程中得以快速提升。

三、滲透數學思想——建模的靈魂

數學思想在數學學習中的重要性是不言而喻的，它是數學教學的精髓與靈魂。在數學建模教學中，教師應立足于學生的視角，通過各種手段滲透數學思想方法，力爭讓學生的思維在潤物細無聲的感悟與體驗中不斷加寬與加厚，形成各種數學思想方法，提高數學應用能力。

案例3? ?“簡單的排列組合”的教學

本節課對于小學生來說確實比較抽象，為了讓學生能明白排列組合的內涵，教師可以在本節課滲透分類討論的思想方法，以引導學生進行有效推理，自主建構知識體系。

問題情境：小明到超市購買冰激凌，看到香草味的冰激凌標價為5元，他手中有1張5元、2張2元、5張1元的紙幣，若購買1個冰激凌，有多少種付款方式？

（學生分組交流，將討論結果填入表格1）

師：只有這幾種方案嗎？有沒有遺漏？

（學生支支吾吾，無法確定）

師：現在我們假設小明依次按照5、2、1元的順序付款，若將他手中所擁有的錢幣根據其面值與張數排列，可得表2。

師：觀察表2，現在你們覺得找全了沒有？

生（齊聲）：找全了！

師：為什么這么肯定？一定沒有遺漏嗎？

生：因為是按照順序逐一尋找的，每種情況都考慮到了，不存在遺漏的可能。

原本雜亂無章的排序方法，隨著教師巧妙引導而理順了，學生的思維實現了從無序到有序的轉化。分類討論的過程讓學生充分感知分類討論思想的重要性。

四、解決實際問題——建模的拓展

小學生受認知水平與生活經驗的限制，對生活事物的認識還比較膚淺。將課堂上所建構的數學模型用來分析生活實際中的數學現象，不僅能有效地激發學生的探索欲，還能拓展模型的應用范圍，深化學生對模型的理解，為他們靈活應用模型奠定基礎。同時，學生在感知學以致用的過程中，還能充分體悟到數學獨有的魅力。

案例4? “抽屜原理”的教學

抽屜原理是有些學生學習的薄弱之處，其實只要學生在掌握模型的基礎上，弄清知識的本質，這些問題并不難解決。

師：抽屜原理由德國數學家狄利克雷于1834年提出。我們以鴿子飛回籠子為例，有6只鴿子進入5個籠子，至少有幾只鴿子會飛入同一個籠子？

生1：列式為6÷5=1…1，1+1=2，由此可確定至少有2只鴿子會飛入同一個籠子。

師：這個問題中的鴿子與籠子分別對應抽屜原理中的什么？

生2：鴿子與之前我們研究的小球相對應，而鴿籠則與抽屜相對應。

師：很好，這也是人們將“抽屜原理”稱為“鴿籠原理”的原因。既然存在鴿籠原理、抽屜原理，那么我們將筆袋理解為抽屜，是否有筆袋原理呢？比如，講臺上有4個筆袋，5支鉛筆，至少有幾支鉛筆在同一個筆袋中？

生3：至少有2支鉛筆在同一個筆袋中。

師：若有4個零錢包，5張紙幣，不論怎么分配，至少有幾張紙幣在同一個零錢包內？

生4：不論如何分配，至少有2張紙幣在同一個零錢包內。

師：這是不是很有意思？抽屜原理可以有如此豐富的應用，它在我們生活實際中隨處可見。其實，遇到此類問題，我們只要辨別出誰是“抽屜”，誰是“物品”，即可解決問題。比如，咱們班30個學生中至少有8名學生的生日在同一個季節，聰明的你們能否應用抽屜原理進行解釋？

生5：綜上所述，我們可將30名學生的生日視為“物品”，將四季視為“抽屜”，列式為：30÷4=7…2，7+1=8，因此30名學生中至少有8人的生日在同一個季節內。

師：非常好！在宋代的《梁溪漫志》中，曾運用抽屜原理來批駁“算命”。由此可見，數學模型由生活抽象而來，最終又應用到生活中去。這些模型應用在實際生活中時，顯得更具生命力。

總之，在新課標的指導下，現階段的數學教學應注重對學生模型思想與實踐能力的培養，尤其是建模教學貫穿所有教育階段。教師應高度重視建模教學的價值與意義，以學生的生活經驗為出發點，尋找合適的素材協助學生建構模型，讓學生獲得可持續性發展的能力。