基于隨機恢復時間的骨盆骨折創傷患者手術分配優化

李 清, 蘇 強, 鄧國英

(1.上海政法學院 經濟管理學院,上海 201701; 2.同濟大學 經濟與管理學院,上海 200092; 3.上海市第一人民醫院 創傷中心,上海 201620)

0 引言

骨盆骨折是由骨盆直接擠壓引起的嚴重創傷,常伴有其他器官和系統損傷,致殘率高達50%～60%。近年來,機動車和工傷事故頻繁發生,骨盆骨折已成為骨科常見的損傷[1]。嚴重的骨盆骨折會導致失血性休克和重要臟器損傷,救治不當會產生高達10.2%的死亡率。根據骨盆的穩定性,骨科創傷協會采用Tile分型方法將其分為A穩定型,B部分穩定型和C不穩定型三類[2],B型和C型患者通常建議手術治療。骨盆骨折急救遵守創傷生命支持原則,首先搶救生命,生命體征穩定后再進行相關檢查,確定創傷類型,制定骨折手術計劃。在醫療資源共享背景下,優化手術安排,合理分配醫療資源至關重要。本文創新點如下:

(1)根據患者入院時生命狀態將其分為恢復期和計劃期兩類,恢復期患者經過隨機恢復時間到生命穩定狀態后手術。(2)建立馬爾科夫決策過程模型,得到最優分配策略,分析最優策略結構性質。(3)調整恢復期患者的恢復時間、數量和參數,設置不同形式懲罰函數,進行敏感性分析。

1 文獻綜述

手術是醫院重要的收入來源,也是不可忽視的成本中心,手術資源利用直接影響手術服務水平。在預約調度和手術分配方面,以傳統預約排期模型為基礎,XIAO等[3]建立三類患者臨床預約的隨機規劃模型,采用先進調度方法優化性能指標。LIU等[4]考慮不同部門的計劃和容量,統計住院時間和住院人數,建立MDP模型制定每日手術安排計劃。

醫療設備動態分配方面,朱黎敏等[5]考慮三類患者,以最大化滿足患者檢查為目標建立有限階段馬爾科夫決策支持模型,制定最優預約調度策略。針對CT室的管理,周杰等[6]以最大化系統期望收益為目標,建立MDP模型,制定不同容量的管理策略,研究不同策略對患者等待時間的影響。GENG和XIE[7]考慮兩類不同等待時間和收益的患者,建立MDP模型,優化門診調度。劉陽和耿娜[8]考慮患者不同需求、患者失約和醫生加班等情況,以最大化檢查的期望收益和最小化加班懲罰成本為目標,建立有限時間MDP模型。

考慮隨機因素是手術調度研究的熱點。基于隨機手術時間、住院時間和手術室容量有限等情況,SHEHADEH和PADMAN[9]以最小化手術成本和延誤成本為目標建立混合整數非線性規劃,設計自適應列約束生成算法求解。SAADOULI等[10]綜合考慮手術時間和恢復室容量的不確定,研究骨科手術患者的擇期手術排序問題。JIANG等[11]考慮手術時間隨機和患者隨機缺席情況,建立分布式魯棒優化模型,對手術室調度問題進行優化。

已有研究多面向全院患者,設計一臺或多臺設施的分配策略。本文聚焦創傷領域,為骨盆骨折患者制定手術分配策略。第2節建立馬爾科夫決策過程模型;第3節設計實驗,分析得出相關結論;第4節總結全文,指出文章不足和未來拓展研究。

2 考慮隨機恢復時間的馬爾科夫決策過程模型

2.1 問題描述

本文將手術患者分為恢復期和計劃期兩類,計劃期患者入院時生命狀態穩定,確定骨折類型后制定手術方案。生命狀態不穩定的患者首先搶救生命,術后恢復至穩定狀態再接受骨盆骨折手術,這類患者為恢復期患者。恢復時間受到患者年齡、身體狀況和骨折類型等因素影響,設置隨機恢復時間。系統中同時存在兩類患者時,從中選擇一類患者進行手術,以最大化期望收益。

2.2 模型建立

每次選擇一個患者進行手術,產生收益;滿足條件而沒手術的患者在隊列等候,產生等待成本;規劃期結束仍沒手術的患者產生懲罰成本。

符號的定義和說明如下:

T(t=1,2,…,T):服務周期總數α=0.1,2:決策集合c:恢復期患者s:計劃期患者rti(i=1,2,…,n):恢復期患者恢復時間at∈{0,1}:t周期計劃期患者的預約計劃rc:恢復期患者每臺手術收益rs:計劃期患者每臺手術收益wc:恢復期患者每周期等待成本ws:計劃期患者每周期等待成本kc:恢復期患者的懲罰成本ks:計劃期患者的懲罰成本prti∈[0,1]:不同恢復期患者的到達概率ps:計劃期患者接受手術的概率ct:t周期等待手術的恢復期患者st:t周期等待手術的計劃期患者nct:t周期進行手術的恢復期患者數量nst:t周期進行手術的計劃期患者數量cut:t周期后沒有手術的恢復期患者數量sut:t周期后沒有手術的計劃期患者數量S=(ct,st):t周期狀態空間Vαt(ct,rti,st):t周期狀態S選擇決策α的收益f(cut,sut):懲罰函數線性形式:f(cut,sut)=-cut·kc-sut·ks非線性形式:f(cut,sut)=-c2ut·kc-s2ut·ks

本文以最大化期望收益為目標,建立有限階段馬爾科夫決策過程模型,采用后向迭代算法求解。

(1)狀態空間

系統狀態采用向量S=(ct,rt0,st)表示,其中,st表示第t周期等待手術的計劃期患者數量;ct,rt0表示第t周期恢復時間為0的恢復期患者數量。ct,rti(i=1,2,…,n)表示第t周期恢復時間為i的恢復期患者數量。

(2)決策集合

3種決策,α=1選擇恢復期患者手術,α=2選擇計劃期患者手術,α=0不選擇患者手術。

(3)轉移概率

計劃期患者以概率pt(st+1|st,αt)轉移到t+1周期,如式(1)。

(1)

αt為第t周期決策;nst為第t周期手術的計劃期患者數量,αt=2時,nst=1。

恢復時間為0的恢復期患者,其轉移概率為式(2)。

pt(cr+1,rt0|ct,rt0,αt)

(2)

nct表示第t周期手術的恢復期患者數量,αt=1時,nct=1。恢復時間為i的恢復期患者,其轉移概率如式(3)。

pt(cr+1,rti|ct,rti,At,rti)

(3)

At,rti為患者的聯合到達概率。

(4)收益函數

(4)

式(4)是一個遞歸結構,其詳細展開式如式(5)。

(5)

(6)

t周期有ct,rt0個恢復期患者和st個計劃期患者,等待成本為-ct,rt0·wc-st·ws。若恢復時間為1的恢復期患者在t周期到達,且無計劃期患者,概率為pt,rt1·(1-ps·at+1),系統進入新狀態(ct,rt0+1,st);若計劃期患者按時接受手術,且恢復時間為1的恢復期患者在t周期到達,概率為pt,rt1·ps·at+1,系統進入新狀態(ct,rt0+1,st+1)。最優決策見式(6)。

式(6)的最終狀態見式(7)。

(7)

式(7)為未手術患者的懲罰成本。

該問題的目標函數如式(8)。

(8)

3 案例分析與討論

采用Matlab R2013a自帶求解器,筆記本電腦的操作系統為Windows 7,CPU為:Intel Core i3-3227U,主頻為1.90 GHz,內存為4GB。

3.1 數據收集和參數設定

收集上海市第一人民醫院2015～2020年骨科的數據,設置3種恢復期患者,其恢復時間分別為1,2和3,參數設置見表1。等待成本等于每日住院費用加每日平均工資,等待幫助恢復期患者達到更穩定的生命狀態,因此其等待成本小于計劃期患者。規劃期末沒有安排手術的患者將流失,恢復期患者有更高的收益和風險,因此其懲罰成本大于計劃期患者。

表1 參數設置

3.2 實驗結果與討論

(1)決策路徑分析

初始狀態(期初各患者數量)和各服務周期患者到達情況已知,考慮8個服務周期,求解MDP模型得到狀態路徑(各周期等待患者數量)和決策路徑(各周期決策),見表2。

表2 決策路徑分析

(2)最優分配策略——開關曲線

任一周期患者的最大數量為ct,rt0=st=5·t。第三個周期中患者最多等待人數為15,本文采用第三個周期來解釋最優分配策略。

采用非線性懲罰函數得到最優分配策略,如圖1。該場景有3個恢復期患者,其恢復時間分別為1,2和3,ct,rti=1,i=1,2,3,記為S1(1-1-1)。

圖1 S1(1-1-1)的最優分配策略(t=3)

在任一服務周期,給定計劃期患者數量,當恢復期患者數量小于關鍵指標時,選擇計劃期患者手術,反之,選擇恢復期患者手術。開關曲線展示了實時動態資源分配情況。

(3)關鍵指標單調性

圖2 S3(1-1-2)最優分配策略

圖3 S4(1-4-1)最優分配策略

(4)關鍵指標與恢復期患者數量的關系

假設恢復時間為1,2和3的恢復期患者數量最多為6,4和2個,構造48(6×4×2)種場景。i-j-k分別表示3類恢復期患者數量。定義5種場景:S1,1-1-1;S2,0-0-0;S3,1-1-2;S4,1-4-1;S5,6-1-1。表3比較了各場景下ncp,Δn和Δcr的值。ncp表示恢復期患者數量,Δn表示S1與其他場景ncp的差值,Δcr表示S1與其他場景關鍵指標的差值。

表3 不同場景下關鍵指標值的比較(t=3)

綜上,ncp相同的場景有相同分配策略,ncp=6和ncp=7除外。ncp相同,恢復時間為1的恢復期患者為1個時,最初的2-3個關鍵指標與其他場景不同,后續值一樣。當恢復時間為1的恢復期患者數量大于1時,恢復期患者比計劃期患者享有優先權。

S1與其他場景關鍵指標差值≤S1與其他場景間ncp差值;隨著計劃期患者的增加,不同場景間關鍵指標差值不斷增加,直至到達最大值ncp。關鍵指標值越大,恢復期患者優先權越低;ncp越大,恢復期患者優先權越高。

(5)恢復期患者數量對最優策略的影響

圖4 S5(6-1-1)最優分配策略

4 結論

本文在有限規劃期內,研究了計劃期和恢復期兩類骨盆骨折創傷患者的手術安排問題。收集上海市第一人民醫院的數據,設計患者參數,得到如下結論:

(1)懲罰函數采用二次函數形式時,最優分配曲線呈現出開關曲線形式。懲罰函數為一次函數時,選擇哪一類患者手術取決于患者參數。

采用二次函數形式的懲罰函數時,有以下結論成立。

(3)在任一服務周期,恢復期患者總數相同的場景通常有相同的分配策略,ncp=6和ncp=7時存在例外。恢復期患者數量越多,其享有的優先權越高。此外,各場景關鍵指標差值小于等于不同場景中ncp的差值,隨著計劃期患者數量增加,關鍵指標的差值呈現出逐漸增大的趨勢。

本文也存在較多不足:首先,初始狀態隨機設置患者數量;其次,沒有考慮患者批量到達的情況,模型中假設每個服務周期只有一個患者到達。再者,由于骨盆骨折類型、患者身體情況和手術方案不同,手術時間因人而異,文中假設手術時間為一個服務周期。未來研究中,應考慮上一規劃周期未手術的患者數量,設置合理的系統初始值。根據實際情況修改患者的到達模式,延長規劃周期,作出連續決策,更符合現實情況。