矩陣最高階非零子式的精確定位法

范飛亞 楊澤輝 龍全貞

(武警海警學院 浙江寧波 315801)

矩陣的秩是代數學中一個基本的概念，在解決線性方程組的求解、向量組的線性相關性等相關問題上都有著重要的應用[1-2]。教材通常是用非零子式的最高階數來定義矩陣的秩，且概念比較抽象，不易于理解[3-4]。大部分學生知道要去尋找最高階非零子式，來計算矩陣的秩，但是卻不知道如何尋找。蔡慧萍等人[5]與陳洪海等人[6]對最高階非零子式的求法進行了粗略探討，給出了用初等行變換尋找最高階非零子式的簡易算法，但是沒有給出嚴格的證明與精確的求解步驟。本文闡述了最高階非零子式在初等行變換下是如何變化的，進而給出用初等行變換的逆變換精確定位最高階非零子式的方法。

1 概念準備

1.1 初等行變換

以下3種變換稱為矩陣的初等行變換[7]。

（1）對換兩行（對換i、j兩行，記作ri?rj）。

（2）以數k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘k，記作ri×k）。

（3）把某一行所有元的k倍加到另一行對應的元上去（第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj）。

1.2 行階梯型矩陣

引理 設A與B行等價，則A與B中非零子式的最高階數相等[8]。

非零矩陣若滿足以下條件：（1）非零行在零行的上面；（2）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在）的首非零元所在列的右面，則稱此矩陣為行階梯形矩陣[9]。

1.3 矩陣的秩

設在矩陣A中有一個不等于0 的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數r稱為矩陣A的秩，記作R(A)[10]。

2 最高階非零子式的精確定位法

設Bm×n經過一次初等行變換化為矩陣Am×n(1 ＜i＜j＜r＜s＜t＜m)，由引理知，B與A非零子式的最高階數相等。

假設A的左上角r階子式Ar為其最高階非零子式，下面從初等行變換的3種變換來說明如何精確定位原矩陣B的最高階非零子式Br。

2.1 對換兩行

（1）當B經過第i行與第j行互換形成A，此時A的第i行與第j行互換便形成B，且有

因Ar≠0，故有Br≠0。

（2）當B經過第i行與第t行互換形成A，此時A的第i行與第t行互換形成B，且有

因Ar≠0，故有Br≠0。（3）當B經過第s行與第t行互換形成A，此時A的第s行與第t行互換形成B，且有Ar=Br≠0。

2.2 某一行的k倍（k ≠0）

2.3 某一行的k倍加到另一行上

（1）當B經過第j行的k倍加到第i行形成A，此時A的第j行的-k倍加到第i行上形成B，且有Ar=Br≠0。

（2）當B經過第i行的k倍加到第s行形成A，此時A的第i行的-k倍加到第s行上形成B，且有Ar=Br≠0。

（3）當B經過第t行的k倍加到第s行形成A，此時A的第t行的-k倍加到第s行上形成B，且有Ar=Br≠0。

（4）當B經過第t行的k倍加到第i行形成A，此時A的第t行的-k倍加到第i行上形成B：

其中：Dr的絕對值與B的r階子式B*r的絕對值相等。因為Ar=Br+kDr≠0，故要么Br≠0，要么Dr≠0。從而Br與B*r至少有一個是B的最高階非零子式。

3 例題講解

因為初等行變換是可逆的[11]，則有

在上述例題中，通過初等行變換的逆變換[11]，可從矩陣A一步步走回原矩陣B，進而定位出最高階非零子式。實際上，還可以簡化計算。在A中，D10位于A的第一列、第二列、第四列的子塊中，因此只需要對A的這個子塊進行分析就可以。

4 結語

尋找一個矩陣的最高階非零子式，只需把矩陣進行初等行變換，化為行階梯形矩陣。寫出行階梯形矩陣到原矩陣的所有逆變換，接著在行階梯形矩陣中選定一個最高階非零子式，根據逆變換，逐步定位出原矩陣的最高階非零子式。正是如此，可以讓學生對矩陣的最高階非零子式更加清晰明了，對矩陣秩的定義理解更透徹。