基于擾動估計補償的PMLSM固定時間積分滑模控制*

艾雄雄, 張 博, 鄧 斌, 王 杰

(西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710600)

0 引 言

與傳統旋轉電機相比,永磁直線同步電機(PMLSM)工作在直接驅動模式下,可以將推力直接加到負載上,具有定位精度高、推力大、速度快、結構簡單等優點,已成功應用于交通運輸、航空航天、精密激光切割等控制系統中[1-2]。但由于PMLSM取消了齒輪和滾珠絲杠等機械傳動裝置,導致負載變化和外部擾動等不確定因素對系統的影響大幅提高。此外,直線電機系統特有的齒槽力、邊端力等內部不匹配擾動也會對控制精度造成影響[3]。因此,如何應對內外部不匹配因素對PMLSM的影響是目前需要解決的主要問題。

滑模控制是一種強魯棒性的非線性控制策略,可以忽略各種不確定因素的影響,廣泛應用于伺服控制系統領域。但是傳統滑模控制采用線性滑模面,只能保證時間趨于無窮大時,系統才會收斂到平衡狀態[4]。為了提高系統收斂速度,文獻[5]在傳統冪次趨近律的基礎上,引入了Fal函數并與新型全局快速終端滑模結合的模型,該模型提高了系統的趨近速度,但是無法避免奇異問題的產生。文獻[6]采用反饋線性化技術設計了單回路終端滑模控制器。該方法可使電機轉速和電流在有限時間內達到參考值,實現快速瞬態響應,但是有限時間內控制方法受系統初始狀態影響。為了提高系統抗干擾能力,文獻[7]設計了基于反步滑模面的不匹配擾動觀測器,觀測系統的內部與外部不匹配擾動,但對于周期小,頻率大的快時變擾動僅能實現有偏差觀測。文獻[8]提出了一種超螺旋滑模擾動觀測器,對系統擾動進行觀測并進行前饋補償,進一步提高了系統的魯棒性。但是超螺旋算法參數需要根據擾動的上界進行選取,在實際應用中難以獲取[9]。

鑒于上述分析,本文設計了一種基于擾動估計補償的固定時間積分滑模控制(DFISMC)方法。DFISMC采用固定時間趨近律結合非奇異快速終端滑模面的方式,保證系統狀態在避免非奇異問題的同時可在固定時間內收斂,收斂時間與趨近率參數相關。為進一步加快收斂速度,設計固定時間動態趨近率,加快收斂速度的同時減小系統抖振。考慮到系統的不確定性擾動對電機運動過程的影響,設計了自適應超螺旋擾動觀測器,實現不確定性擾動有限時間觀測,提高系統的動態性能。利用Lyapunov函數分析方法驗證了該方案的有效性和穩定性。最后,通過試驗驗證了該控制方法比PI控制及積分滑模控制具有更好的調節性能和更強的抗干擾能力。

1 數學模型

1.1 PMLSM數學模型

PMLSM采用id=0的磁場定向控制,磁滯和渦流損耗不計,空間磁場呈對稱正弦分布。在表貼式PMLSM中Ld=Lq,則簡化的PMLSM模型表示為

(1)

式中:ud和uq分別為d、q軸電壓;id和iq為d、q軸電流;Rs為繞組電阻;Ld、Lq分別為d、q軸電感;Fe為電磁推力;kf為推力系數;τ為永磁體極距;np為電機的極對數;ψf為永磁體磁鏈。

PMLSM運動方程為

(2)

式中:M為動子質量;B為黏性摩擦因數;v為動子運動速度;F為不確定因素,包括摩擦力Fd、負載擾動Fl和參數變化FΔ。

(3)

設定vd為速度信號,并作出以下假設:

1.2 定義與引理

定理1:固定時間基本理論

考慮如下非線性系統:

(4)

其中,f(x):Rn→Rn,是一個連續函數。

當系統(4)處于全局有限時間穩定的狀態,并且存在一個穩定時間函數T(x),使得T(x)≤Tmax成立,其中Tmax是固定常數。則系統(4)的平衡點x=0時固定時間穩定[10]。

2 控制系統設計

基于擾動估計補償的固定時間積分滑模控制方法系統框圖如圖1所示。設計積分定時滑模面用于PMLSM控制器,觀測器采用自適應超螺旋擾動觀測器,有效提高系統的控制精度和魯棒性。

圖1 基于擾動估計補償的PMLSM固定時間積分滑模控制系統框圖

2.1 固定時間積分滑模面設計

設vd為指定速度參考信號,定義速度跟蹤誤差e為

e=vd-x2

(5)

定義滑模面為

k2|e|α2sign(e)]dμ

(6)

式中:k1>0,k2>0;0<α1<1,α2>1。

將式(3)、式(5)代入式(6)并對其求導得到如下表達式:

k2|e|α2sign(e)

(7)

k2|e|α2sig(e)+l1sign(S)+

l2|S|β1sign(S)]

(8)

式中:l1>0,l2>0;β1>1。

將式(8)代入式(7)可得:

(9)

l2|S|β1sign(S)]≤D|S|-l1|S|-

(10)

式中:λ1=D-l1>0。

當S=0時,根據定理1,系統在固定時間內達到滑模面,其收斂時間上界為

(11)

2.2 自適應超螺旋擾動觀測器設計

據式(11)可知,系統擾動對收斂時間有重要影響。因此,本節設計了一種自適應超螺旋擾動觀測器,用來補償系統擾動,提高控制精度。對于式(3)這一類含有不確定擾動的系統,設計輔助滑模面S1為

(12)

將式(3)帶入式(13)并對其求導得:

(13)

(14)

此時補償的電流值為

(15)

式中:ζ1和ζ2為自適應項。

自適應項表達式為

(16)

式中:a,b,χ,τ,ζm為正參數。

2.3 基于擾動估計補償的固定時間積分滑模控制設計

為了進一步加快收斂速度并削弱抖振,基于式(14)的自適應超螺旋擾動觀測器和式(6)的積分滑模面,設計控制率如下所示[12-14]:

u=iq0+iq1=

(17)

將式(17)帶入式(7)可得:

(18)

當擾動可以被精確估計時,式(17)可表示為

(19)

(20)

根據定理1,系統在固定時間內達到滑模面,其收斂時間上界為

(21)

當系統狀態在滑模面上時,S=0,對式(6)求導可得:

(22)

(23)

根據引理1,誤差狀態e會在固定時間內收斂于零,T3可表示為

(24)

綜上所述,本文提出的基于擾動估計補償的固定時間積分滑模控制器滿足Lyapunov穩定性,并且可在固定時間內收斂到零。

3 仿真分析

為了驗證本文提出的DFISMC系統有效性,搭建PMLSM仿真模型,分析DFISMC方法在不同輸入信號情況下的收斂速度、速度誤差和突加擾動情況下的抗干擾能力,證明本方法的有效性。通過與PI控制、積分滑模控制等算法進行對比驗證本方法的改進效果。PMLSM仿真模型各項參數如表1所示。

表1 PMLSM參數表

(1) 電機空載起動,采樣周期為1 s,給定速度信號為0.2 m/s,在0.3 s時給定外部負載擾動,其值為50 N。速度響應曲線如圖2所示,從圖中可知在到達階段,DFISMC方法在0.018 s時到達給定速度,積分滑模方法在0.03 s時到達穩定狀態,相較于其他兩種方法,PI控制方法超調較大,在0.05 s時才到達給定速度。在突加擾動時,PI控制方法波動明顯,恢復穩態時間為0.05 s,積分滑模方法波動較小,收斂速度與PI控制相當,而DFISMC方法波動最小,收斂速度也最快。

圖2 階躍信號下的速度跟蹤圖

圖3為PI控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.12～0.12 mm/s。圖4為積分滑模控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.04～0.05 mm/s,圖5為DFISMC控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.02～0.02 mm/s。由圖3～圖5可知,相較于PI控制方法,其他兩種方法誤差曲線更平滑,三種方法中DFISMC方法速度跟蹤誤差最小,跟蹤精度最高。由此可知DFISMC方法動態響應速度更快,遇到擾動時超調量較小,具有較強的魯棒性和抗干擾能力強。

圖3 PI控制算法速度誤差圖

圖4 積分滑模控制算法速度誤差圖

圖5 DFISMC控制算法速度誤差圖

(2) 為驗證本文提出的方法在變速條件下的動態性能,給定梯形軌跡速度信號,初始速度為0,在0.25～0.75 s之間為0.2 m/s的勻速運動,其余時間為變速運動。三種方法的速度跟蹤對比圖如圖6所示,通過細節放大圖可知,在加速度突變時PI控制算法會有小幅超調,其余階段三種方法都能很好地跟蹤到給定速度。

圖6 梯形信號下的速度跟蹤圖

圖7為PI控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.1～0.09 mm/s,圖8為積分滑模控制方法速度跟蹤誤差曲線,速度誤差約為-0.05～0.05 mm/s。圖9為DFISMC方法速度跟蹤誤差曲線,速度誤差約為-0.01～0.01 mm/s。由圖7～圖9可知,在0.25 s和0.75 s處加速度突變時,PI控制方法的誤差精度會有明顯變化,積分滑模方法的誤差精度也有小幅波動,DFISMC方法受影響最小,誤差曲線最平滑,誤差精度最低。

圖7 PI控制算法速度誤差圖

圖8 積分滑模控制算法速度誤差圖

圖9 DFISMC算法速度誤差圖

(3) 為驗證本文提出的自適應超螺旋擾動觀測器的觀測性能,在負載側施加定位力,構造定位力時,將定位力看作是動子位置的函數,以一個極距、半個極距、四分之一個極距和八分之一個極距為周期分別構造推力波動的基波、二次諧波、四次諧波和八次諧波。定位力構造計算式如下[8]:

Ff=2.29·sinθ+6.27·sin(2θ)+

1.01·sin(4θ)+0.6·sin(8θ)

(25)

其中,θ=2πx/τ。

圖10為定位力觀測結果圖,圖11為觀測誤差圖。由從圖10～圖11可知,自適應超螺旋擾動觀測器可以較為準確地觀測到定位力,觀測誤差約為-0.5～0.5 N。由此可知,當實際運行中定位力存在時,本文提出的自適應超螺旋擾動觀測器可以有效地觀測到擾動值,提高系統抗干擾能力。

圖10 定位力觀測圖

圖11 定位力觀測誤差圖

由上述仿真結果可知,本文提出的基于DFISMC的算法在不同輸入信號的情況下,都能準確地跟蹤到給定速度,有效降低了系統速度跟蹤誤差,給定模擬定位力時也能準確地觀測到擾動值。與改進之前的方法對比可知,基于DFISMC的算法提高了系統位置跟蹤性能,減少了未知因素的影響。

4 結 語

本文提出了一種基于擾動估計補償的固定時間積分滑模控制方法來改善系統參數變化、負載擾動等問題,設計了一種固定時間積分終端滑模面,引入函數f(s)促使趨近率系數可以進行動態調整,在避免非奇異問題的同時加快了收斂速度。針對內部和外部不匹配因素的影響引入自適應超螺旋擾動觀測器并將觀測結果進行前饋補償,最后通過仿真與其他控制方法進行對比。結果表明,本文設計的DFISMC算法在不同輸入情況下都能有效地跟蹤到給定信號,超螺旋擾動觀測器在添加定位力和負載時都能準確地觀測到擾動值并給予反饋。與改進之前的方法進行對比可知,DFISMC算法降低了速度跟蹤誤差,提高了動態響應速度,保證了系統的全局魯棒性,可以應用于PMLSM伺服系統。