初中數學解題中的“反證法”探析

徐冬平

（臨夏州積石山縣移民初級中學 甘肅 臨夏 731799）

引言

反證法的思維模式與正向思維方式截然不同，在使用反證法解決數學問題時，學生常會用到“由果溯因”這一思維模式。初中數學課堂中，教師應重視使用相應的例題，培養學生的逆向思維，鍛煉學生對此種解題方法的應用。本文舉例了幾種典型的可以使用“反證法”解決的問題，結合問題不難看出，反證法的思維方式是十分巧妙、獨特的，學生可使用這些思維方式輕松地解決一些難度大的數學問題，并在此過程中，得到思維能力、問題解決能力的提升。

總而言之，反證法在初中數學解題中的應用是十分廣泛的，它尤其可被用來解決一些基本性質、定理、重要結論類的問題，故而在教學過程中，教師必須多為學生傳授“反證法”。

1.反證法的解題步驟介紹

對反證法的應用一般需要經歷“反設——歸謬——結論”三步驟，三步驟形成了一個整體。具體應用中，我們首先應反設，這是以反設法解題的前提，對解題進度、結果有著明顯影響，反設時，可先明確題設的條件，之后找到對立的假設，再否定或肯定結論，實現反設。第二步歸謬是使用反證法解題的重難點，主要指的是使用反設引發矛盾，因此在實際的解題過程中，解題者必須結合推理的主要方向，反設后條件部分，對如何找出題目中包含的矛盾形成初步思路。結論是反證法的第三步驟，主要指的是得出最終結果的過程。在上一步中，我們通過歸謬得到的矛盾并非新理論，而是經由反設形成的理論，在此種情況下，命題原先的結論才得以真正成立，到此為止，全部的解題步驟已經完成，使用反證法證題的目的已達到。

在上述解題過程中，找到矛盾是最關鍵也最難的一步，通常情況下，在使用反證法的過程中，我們最容易接觸到的矛盾有自相矛盾、與假設矛盾、與已知條件矛盾、與定理定義公理矛盾等。使用反證法證明問題，有利于幫助解題者越過障礙。在反證法的助力下，有時我們甚至可以使用小學知識解決一些難度較高的數學問題，反證法的優點也由此彰顯。此外，對問題實施反設，也使得解題條件相較于過去有所增加，這也能夠看出反證法在解題過程中有著極為突出的優勢。

需要注意的是，整體看來，反證法的步驟是較好理解的，但實際解題中，我們必須高度重視反設的正確性。在結論存在多種情況或較為隱晦時，反證常會存在一定的困難。下面總結常用的互為否定形式的詞語，以供參考：

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通常情況下，學生需要認真琢磨的結論有至少有一個、至多有n 個、至多有一個等等，在教學過程中，教師可結合這些結論，引導學生深刻領悟一個也沒有、至多有兩個、至多有n 個這些命題的含義，確保學生能夠順利地完成證明過程，使數學證明變得更為簡單且便捷。

2.使用反證法解題的注意事項

2.1 正確否定結論

如下命題就可使用反證法來解決：“在一個三角形中，內角最多只有一個是直角。”，它代表兩種情況：沒有一個或僅有一個，其反面情況分為兩種：三個內角均為直角、兩個內角為直角。

從這一例子不難看出，在使用反證法解題的過程中，我們首先應當結合題型結構，使用反證法進行否定，從而肯定原有結論，在否定原始結論的過程中，我們應使用邏輯推理找到矛盾所在的位置，適時制造矛盾。通過反證法，學生能夠更好地訓練自己的逆向思維，并使用逆向思維完成解題。整體上來看，在現階段的初中數學教學中，借助反證法解題培養學生的逆向思維，不僅有利于增強學生的思維能力，還有利于提升初中數學的教學質量，符合課程改革與素質教育的要求。

2.2 明確推理特點

反證法的核心內容是對結論實施否定，從而推理得出矛盾。但具體應用時，我們一般會先預測矛盾的出現。一般來講，在實際解題中，我們需要先猜想矛盾出現的相關領域，通常情況下此領域與命題有關，舉例而言，學生在解答平面幾何問題時，就需要回憶與平面幾何有關的公理、定義與定理，這是應用反證法解題的重要舉措，一般情況下，很難預測、規定矛盾，當然這也無必要。在實際的解題過程中，我們只要能夠證明假設無誤、推理嚴謹、有理有據，就可找到矛盾并進行證明。

2.3 辨析矛盾種類

辨析矛盾種類也是使用反證法證明命題的一個重要環節。在實際操作中，我們是否只能夠導出矛盾于題設或部分題設的結果呢？答案當然不成立。矛盾的結果是十分復雜的，或與題設相矛盾，或與已知命題相矛盾，有時亦可矛盾于已知定義、公理、定理或性質。

3.反證法在初中數學解題中的作用

3.1 反證法在初中數學解題中的魅力

在初中數學解題中，反證法屬于典型的間接證法，是一種使用逆向思維進行解題的方法。所謂的逆向思維，在實際應用中有著這樣的特點：從命題的題設切入，找到題目的矛盾，最終確定命題真實與否。整體上看來，在初中數學解題中，反證法有著思想獨特、手段靈活的特點，學生若能夠得心應手地使用反證法證明題目，一定能夠感受到這種思維方法蘊含的無窮魅力。但是，在實際教學中，我們常常能夠觀察到，很多初學者常會因為反證法使用的是逆向思維，而不習慣使用這種證明方法，很多學生很難把握到這種證明方法的要領，部分學生甚至會對反證法避而不用。在證題術中，反證法占據著極為重要的地位，學生不僅能夠運用它來完成論證，還能夠在論證過程中得到很多全新的發現，由此可見反證法具有的巨大魅力。總之，只要能夠正確理解反證法的規律，學生是可以對這種證明方法運用自如的，在不斷運用反證法解題的過程中，學生終究會培養出清晰、縝密的邏輯思維能力，認識到這是一種使用起來十分便捷、靈活的方法，實現對數學題的高效解答，獲得核心素養的生成與發展。

3.2 結合生活實際，運用數學思維解題

在數學教學過程中，教師必須重視培養學生的數學思維能力尤其是邏輯思維能力，多引導學生結合過去做過的題目，不斷思考、歸納解題技巧，在一次次的復盤中，習得良好的數學解題能力。在實際教學中，教師應指導學生在遇到困難時，不輕易說放棄，增強自己的自信心，學會使用反證法等巧妙的解題方法應對挑戰。目前看來，反證法在學生的生活中也有著極為重要的作用，在數學解題教學中，教師常常會思考如下這一問題：如何使用反證法，培養學生的思維能力。結合課程改革理念可知，培養學生的思維能力必須做到“以學生為主體”，必須做到“從學生的真實狀況出發”，基于這一理念，在日常教學中，教師必須引導學生將反證法使用到現實生活當中，學會結合實際生活解答數學問題，使數學解題過程變得更為有趣、精彩。在具體的課堂教學中，教師必須注意不要“照本宣科”，要學會引導學生的探索興趣，多調動學生的學習積極性，將數學思維真正滲透到學生的學習過程當中，引導學生將學習數學視作一件趣味無比的事情去做，使學生真正愛上數學這門學科，促進學生核心素養與學習能力的均衡發展。

4.初中數學解題中應用反證法示例

目前看來，初中數學中，能夠使用反證法進行證明的命題，大體可被分為五種：定理性命題、無限性命題、唯一性命題、肯定性命題、否定性命題。本文主要例談了對無限性命題與否定性命題的證明，如下：

4.1 對無限性命題的證明

“無限”、“無窮”等概念，常出現在求證命題當中，學生使用正面思維去證明此類命題，常會感到缺乏頭緒，此時使用反證法就顯得十分必要了。

[案例1]求證：0 與1 之間存在無窮個有理數。

證明：假設有無窮個有理數在0 與1 之間，分別為a1、a2、a3...an。將這些有理數相乘可得b=a1·a2·a3·...·an。依照“有理數的積仍是有理數”，我們可以得出，b 必然是位于0 到1之間的有理數，在此基礎上，我們能夠推導出，0～1 之間的有理數有n+1 個，這與題設必然是矛盾的，故而我們可以推出在0 到1 之間的確有著無窮個有理數。

4.2 對否定性命題的證明

否定性命題的反設必然就是肯定性命題。實際解題中，我們只要能夠找出否定性命題中的“特殊”，就能夠對命題實施否定，達到順利解題的目的。

[案例2]求證：已知n 為自然數，求證n2+n+2 不能被15整除。

證明：若n2+n+2 能夠被15 整除，可以確定這一式必然也能夠被3 或者5 整除。若該數為5 的倍數，其尾數必然為5，可對式實施分解：n2+n+2=n（n+1）+2，當尾數為5 時，該數必然為奇數，但從上式可看出，該數應為偶數，存在矛盾，故而能夠證明原命題成立。當該數的尾數為0 時，我們可知n2+n 的尾數是8，對于任意自然數，n（n+1）的結果都不會為8，存在矛盾，故而能夠推出原命題成立。綜合上述兩點結論，我們最終可推出n2+n+2 不能夠被15 整除。

結語

目前看來，反證法在初中數學解題中，有著一定的地位，涉及反證法的初中數學題，通常有著較深的內涵與較廣的外延，在使用正向思維解決此類問題的過程中，學生常會遇到各種各樣的問題，為幫助學生解決學習過程中遇到的困難，教師應積極為學生傳授反證法，引導學生使用反證法解決問題。但目前看來，很多學生在遇到難題時，往往不會第一時間想到用反證法來解決，或在解題過程中，遲遲難以找到與原命題矛盾的反設，這說明學生掌握反證法存在一定的缺憾。針對此類問題，建議教師強化對反證法的講解，引導學生看透反證法的本質，并把握反證法的解題規律，最終思路清晰地解答問題，這能夠顯著提升學生的解題能力。