用圓錐曲線焦點弦結論巧算高考題

李蘭

［摘 要］圓錐曲線焦點弦結論具有統一形式，利用焦點弦結論可以快速解決高考題，為考生打開解題思路，提高學生的解題能力。

［關鍵詞］圓錐曲線；焦點弦；高考題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）17-0024-03

一、公式及其證明

證明如下：

由[A、B]兩點分別向右準線作垂線，垂足為[M、N]，由[A]點向[x]軸作垂線，垂足為[D]，由圓錐曲線統一定義，橢圓上點到焦點的距離比到準線的距離等于離心率得

所以[c+AFcosθ=x1]，

二、幾個推論

2. [1AF+1BF=2b2a]。

∵[DE⊥AF2]，故[DE]為[AF2]的垂直平分線，

∴[△ADE]與[△F2DE]全等，

∴[C△ADE=C△F2DE=4a=13]。

解法2：

∵[∠EF1F2=30°]，[∠DF1F2=150°]，設[EF1=x]，[DF1=y]，

后續證明同解法1。

解法3：

解法4：

∵[DF1=a+ex1]，[EF1=a+ex2]，即[DE=2a+e（x1+x2）=6]，

結合解法3和解法1，周長為13。

［例2］（2019年高考全國Ⅰ卷第10題）已知橢圓[C]的焦點為[F1（-1，0）]，[F2（1，0）]，過[F2]的直線與[C]交于[A]、[B]兩點。若[AF2=2F2B]，[AB=BF1]，則[C]的方程為（ ）。

解法1：

如圖3所示，設[BF2=x]，[AF2=2x]，則[BF1=3x]，根據橢圓定義可知，[BF1+BF2=2a]，所以[AF2=a]。

[∴3b2=2a2]，且[c2=1]，∴選B。

解法2：

解法3：

由已知可設[F2B=x]，則[AF2=2x ， BF1=AB=3x]，由橢圓的定義有[2a=BF1+BF2=4x]，所以[AF1=2a-AF2=2x]。在[△AF1B]中，由余弦定理推論得[cos∠F1AB=4x2+9x2-9x22·2x·3x=13]。在[△AF1F2]中，由余弦

解法4：