一類抽象函數問題的解法探究

卓麗霞　林敏

［摘 要］對以抽象函數為背景，融合原函數和導函數的一類抽象函數問題的探究，關鍵是抓住函數的本質進行轉化，從中培養學生的數學抽象能力和邏輯推理能力。

［關鍵詞］抽象函數；解法；探究

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）17-0021-03

函數性質的研究是高中數學課程的重要內容之一，近幾年的高考數學試題從多角度考查函數的性質，對學生的數學抽象能力、邏輯推理能力及綜合應用所學知識分析問題與解決問題的能力都提出了較高的要求。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。”

對于抽象函數的考查，多數以考查函數的奇偶性、周期性、對稱性為主，往往可以通過特殊函數判別，但若在考查抽象函數的試題中引入導函數，加上多選題的題型設置，對學生的轉化與化歸能力就提出了更高的要求。這種題型的解題關鍵是要抓住函數的本質特征，對原函數和導函數進行相互轉化，從中抽象出所要求的函數的性質。

一、幾個結論

函數的奇偶性、對稱性和周期性是函數的重要性質，在對試題的探究過程中經常會用到以下幾個一般性的結論。

結論1：設函數[f（x）]的定義域為[R]，

①若[f（x）]關于（a，b）對稱，則[f（a）=b]。

②若[f（x）]關于（a，a），（b，b）對稱，其中[b>a]，則[f（x）]關于[（2b-a，2b-a）]對稱。

證明：①因為[f（x）]關于（a，b）對稱，則[f（2a-x）=2b-f（x）]，又函數[f（x）]的定義域為[R]，令[x=a]代入式子得[f（a）=b]。

②因為[y=f（x）]關于[（b，b）]對稱，則[f（2b-x）+f（x）=2b]，其中[x]用[2a-x]代得，[f（2b-2a+x）+f（2a-x）=2b]。又[f（x）]關于[（a，a）]對稱，于是[f（2a-x）+f（x）=2a]，則[f（2b-2a+x）=f（x）+2b-2a]，其中[x]用[x+2b]代得，[f（4b-2a+x）=f（x+2b）+2b-2a]。又由[f（2b-x）+f（x）=2b]得，[f（2b+x）=2b-f（-x）]，從而有[f（4b-2a+x）+f（-x）=4b-2a]，即[f（x）]關于[（2b-a，2b-a）]對稱。

結論2：設函數[f（x）]及其導函數[f（x）]的定義域均為[R]，記[g（x）=f（x）]，

①若[f（x）]關于直線[x=a]對稱，則[g（x）]關于[（a，0）]對稱。

②若[f（x）]關于[（a，b）]對稱，則[g（x）]關于直線[x=a]對稱。

③若[g（x）]關于[x=a]對稱，則[f（x）]關于[（a，b）]對稱。

④若[g（x）]關于[（a，0）]對稱，且存在[x0∈R]，使[f（x0）=f（2a-x0）]則[f（x）]關于直線[x=a]對稱。

證明：①因為[f（x）]關于直線[x=a]對稱，則[f（2a-x）=f（x）]，由復合函數求導得[f（x）=-f（2a-x）]，即[g（x）=-g（2a-x）]，所以[g（x）]關于[（a，0）]對稱。

特殊地，若[f（x）]為偶函數，則[g（x）]為奇函數。

②因為[f（x）]關于[（a，b）]對稱，則[f（2a-x）=2b-f（x）]，由復合函數求導得[f（x）=f（2a-x）]，即[g（x）=g（2a-x）]，所以[g（x）]關于[x=a]對稱。

特殊地，若[f（x）]為奇函數，則[g（x）]為偶函數。

③因為[g（x）]關于直線[x=a]對稱，則[g（2a-x）=g（x）]，即[f（x）=f（2a-x）]，所以[f（x）=2b-f（2a-x）]，則[f（x）]關于[（a，b）]對稱。

特殊地，若[g（x）]為偶函數，則[f（x）]不一定為奇函數。例如[g（x）=cosx+1]，則[f（x）]的解析式可以為[f（x）=sinx+x+1]，滿足[g（x）=f（x）]，但[f（x）]不是奇函數。

④因為[g（x）]關于[（a，0）]對稱，則[g（x）=-g（2a-x）]，即[f（x）=-f（2a-x）]，所以[f（2a-x）=m+f（x）]，將[x=x0]代入解得[m=0]，所以[f（2a-x）=f（x）]，則[f（x）]關于直線[x=a]對稱。

特殊地，若[g（x）]為奇函數，則[f（x）]為偶函數。

推廣到一般情況：若[g（x）]關于[（a，b）]對稱，則[f（x）]不一定關于直線[x=a]對稱。

證明：由[g（x）]關于[（a，b）]對稱可得[g（x）=2b-g（2a-x）]，即[f（x）=2b-f（2a-x）]，所以[f（2a-x）=m+2bx+f（x）]，則[f（x）]不一定關于直線[x=a]對稱。

結論3：

①設函數[f（x）]及其導函數[f（x）]的定義域均為[R]，記[g（x）=f（x）]，若[f（x）]是以[T]為周期的函數，則[g（x）]也是以[T]為周期的函數。

②設函數[f（x）]及[g（x）]的定義域均為[R]，[f（x）+g（x）=m]，若[f（x）]是以[T]為周期的函數，則[g（x）]也是以[T]為周期的函數。

證明：①由[f（x）]是以[T]為周期的函數得[f（x+T）=f（x）]，求導得[f（x+T）=f（x）]，即[g（x+T）=g（x）]，即[g（x）]也是以[T]為周期的函數。

說明：若[g（x）]是以[T]為周期的函數，則[f（x）]不一定是周期函數。

由[g（x）]是以[T]為周期的函數可得[g（x+T）=g（x）]，即[f（x+T）=f（x）]，則[f（x+T）=f（x）+m]，當[m=0]時，[f（x）]是以[T]為周期的函數；當[m≠0]時，[f（x）]不是周期函數。

②由[f（x）]是以[T]為周期的函數得[f（x+T）=f（x）]，又因為[g（x）=m-f（x）]，則[g（x+T）=m-f（x+T）=m-f（x）=g（x）]，所以[g（x）]也是以[T]為周期的函數。

二、解題探究

［例1］已知函數[f（x）]及其導函數[f（x）]的定義

用特殊函數解決這類問題，一方面由于多選題選項的設置，可能會誤選了個別選項；另一方面在平時教學中，由于特殊函數不具備一般性，若只以特殊函數來解決這一類型的函數問題，過程不嚴謹，應該抓住本質。本題的解答把函數和導函數性質之間的關系進行轉化并抽象出一般的函數性質，培養學生的推理論證能力、概括抽象能力以及函數與方程的思想、轉化與化歸思想，提高學生的思維嚴謹性。

［例2］設定義在[R]上的函數[f（x）]與[g（x）]的導函數分別為[f（x）]和[g（x）]，若[g（x）=f（2x-1）-2x]且[f（x）]與[g（x+1）]均為偶函數，則下列說法中一定正確的是（ ）。

[A.] [f（1）=1]? ? ? ? ? ? ? ?[B.] [f（2023）=2023]

評注：本題以[g（x）=f（2x-1）-2x]這個關系式作為載體，本質上還是探究原函數和導函數之間的關系。對于這種類型的題目，特殊的函數就不好確定，那么如何將原函數的性質轉化到導函數的性質就是關鍵，可以善用以下兩點：一個是復合函數的求導法則；二是函數圖象的平移伸縮變換，在進行圖象變換的同時，函數的對稱軸或者對稱中心也進行了相應的變換。

［例3］已知函數[f（x）]，[g（x）]的定義域為[R]，[g（x）]為[g（x）]的導函數，且[f（x）+g（x）-10=0]，[f（x）-g（4-x）-10=0]，若[g（x）]為偶函數，則下列一定成立的有（ ）。

[A.] [f（2）=10]? ? ? ? ? ? ? ? [B.] [f（4）=10]

[C.] [f（-1）=f（-3）]? ? ? ?[D.] [f（2023）=0]

解：若[g（x）]為偶函數，即[y=g（x）]圖象關于[x=0]對稱，由結論2中①得，[y=g（x）]圖象關于[（0，0）]對稱，[y=g（4-x）]圖象關于[（4，0）]對稱。又[f（x）+g（x）-10=0]，即[f（x）=10-g（x）]，則[f（x）]的圖象關于[（0，10）]對稱，由結論1中①得[f（0）=10]。因為[f（x）-10=g（4-x）=-g（x）=g（-x）]，所以[g（x）]是以[4]為周期的函數，由結論3中②得，[y=f（x）]是以[4]為周期的函數。又由結論3中①得，[y=f（x）]也是以[4]為周期的函數。由[g（4-x）=-g（x）]，令[x=2]得，[g（2）=0]，則[f（2）=10-g（2）=10]，故選項[A]正確。由[f（0）=10]和[f（x）]是以[4]為周期的函數得[f（4）=10]，故選項[B]正確。由[f（x）]的圖象關于[（0，10）]對稱和結論2中②得，[f（x）]關于[x=0]對稱，所以[f（-1）=f（3）=f（-3）]，故選項[C]正確。[f（2023）=f（4×505+3）=f（3）]，當[f（3）≠0]時，[f（2023）≠0]，故選項[D]錯誤，應選[A、B、C]。

評注：該題給出兩個函數的原函數和導函數的兩個關系式，呈現出開放、綜合、靈活、多樣的特點，教學時需要解決兩大關鍵問題：數學抽象和邏輯推理。從例2中一個函數的原函數和導函數的關系拓寬到兩個函數，提升了高度，挖掘了深度，進一步加強學生關鍵能力的培養和提升。

抽象函數問題是一類綜合性比較強的問題，抽象性強，靈活性大，試題入口廣，對于數學抽象能力不足的學生可以尋找具體的函數模型，也可以借助函數圖象通過觀察和分析圖象的特征得到函數的性質，但碰到具體函數模型或者圖象不好確定時，學生還可以通過代數運算，將不同的函數聯系起來，利用已有的結論對原函數與導函數的奇偶性、對稱性、周期性進行分析，從而解決這一類型問題，讓不同層次的學生在面對這一類抽象函數問題時，都能得到解題的思路和方法，促進學生數學抽象能力和邏輯推理能力的發展。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 莫定勇，唐小榮，吳萬興.引導教學：彰顯高考試題的核心價值［J］.中學數學教學參考，2022（28）：33-34.