自適應(yīng)慣性權(quán)重優(yōu)化的粒子群算法

張 豪， 王賢琳

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院， 武漢 430081）

0 引 言

粒子群算法（Particle Swarm Optimization， PSO）是由美國(guó)學(xué)者Kennedy 和Eberhart 于1995 共同提出的，通過對(duì)鳥群捕食習(xí)慣仿真，利用群體和個(gè)體之間信息共享達(dá)到捕食的目的，作為智能啟發(fā)式算法之一，具有操作簡(jiǎn)單、參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)［1］。 許多學(xué)者對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，以加強(qiáng)粒子群尋優(yōu)性能。 文獻(xiàn)［2］首次提出粒子群慣性權(quán)重，慣性權(quán)重取0.9～1.2 時(shí)，粒子群具有較好的性能；文獻(xiàn)［3］提出線性遞減慣性權(quán)重，慣性權(quán)重線性下降時(shí)，粒子群在運(yùn)行時(shí)可能缺乏全局搜索能力。 近年來，為了提高粒子群算法的穩(wěn)定性，研究人員主要從慣性權(quán)重、學(xué)習(xí)因子和粒子群拓?fù)潢P(guān)系分析展開研究。

慣性權(quán)重是粒子群算法的核心參數(shù)之一，影響著算法的收斂性。 為了加強(qiáng)算法穩(wěn)定性，改善收斂能力，文獻(xiàn)［4］提出慣性權(quán)重一定時(shí)，粒子具有較好的收斂性，但是此方法在高維測(cè)試函數(shù)上求解較弱；文獻(xiàn)［5］提出了正態(tài)分布衰減慣性權(quán)重粒子群優(yōu)化，使得算法能很好的平衡全局搜索和局部搜索能力；文獻(xiàn)［6］對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)實(shí)施動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)，并實(shí)時(shí)調(diào)整粒子慣性權(quán)重，大大減少粒子無效迭代次數(shù)；文獻(xiàn)［7］賦予每個(gè)粒子每一維度以不同的線性衰減混沌化慣性權(quán)重，夠較大幅度地增強(qiáng)粒子群算法的搜索能力，提高算法的尋優(yōu)精度。

本文提出一種自適應(yīng)慣性權(quán)重優(yōu)化的粒子群算法（Adaptive Particle Swarm Optimization，APSO），將慣性權(quán)重和迭代次數(shù)以及每個(gè)粒子適應(yīng)度聯(lián)系起來，自適應(yīng)的調(diào)整粒子群體中各粒子的慣性權(quán)重，改善算法性能。

1 基本粒子群算法（PSO）

粒子群算法在D 維空間中將每個(gè)粒子當(dāng)作空間中的一個(gè)點(diǎn)，在求解過程中粒子不斷迭代更新改變位置，直到找到最優(yōu)解，粒子i的位置和速度迭代如公式（1）和公式（2），位置與速度皆為向量。

其中，w為速度的慣性權(quán)重；c1，c2為加速因子，一般取值為2；r1，r2為0～1 的隨機(jī)數(shù)；vdi為粒子上一輪迭代的速度；為社會(huì)學(xué)習(xí)向量；gbestd-為個(gè)體學(xué)習(xí)向量。

2 自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子群算法（APSO）

慣性權(quán)重是粒子群算法很重要的參數(shù)，慣性權(quán)重一般取值2，對(duì)于取定值的粒子群算法，收斂效果并不理想。 文獻(xiàn)［3］最先加入慣性權(quán)重，并分析指出一個(gè)較大的慣性權(quán)值有利于全局搜索，而一個(gè)較小的權(quán)值則更利于局部搜索。 為了使粒子群算法更穩(wěn)定，對(duì)粒子群算法慣性權(quán)重采取自適應(yīng)變化，與原始粒子群算法相比，現(xiàn)在慣性權(quán)重和迭代次數(shù)與每個(gè)粒子適應(yīng)度有關(guān)。 對(duì)于最小值問題，慣性權(quán)重變化規(guī)則如式（3）；對(duì)于最大值問題，慣性權(quán)重變化規(guī)則如式（4）。

其中，wmin和wmax為預(yù)先給定的最小慣性系數(shù)和最大慣性系數(shù)，一般取0.4 和0.9。

第d次迭代時(shí)所有粒子的平均適應(yīng)度，式（5）：

第d次迭代時(shí)所有粒子的最小適應(yīng)度，式（6）：

在每次迭代尋優(yōu)時(shí)，總有部分粒子找到更優(yōu)的位置，也有部分粒子在較優(yōu)和較差的位置，在結(jié)束此次迭代進(jìn)行下次迭代時(shí)，那些處于越優(yōu)位置的粒子會(huì)進(jìn)一步達(dá)到更優(yōu)的位置，而在較差位置的粒子會(huì)越來越差。 經(jīng)過不斷迭代，越優(yōu)位置的粒子會(huì)更接近或達(dá)到全局最優(yōu)位置。 每次迭代更新時(shí)，依據(jù)上次迭代粒子的適應(yīng)度值，在下次迭代時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重，對(duì)粒子全局尋優(yōu)和快速收斂有很大幫助。

自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子群算法流程：

（1）初始化粒子，設(shè)置群體規(guī)模N，最大迭代次數(shù)T，包括粒子的速度和位置，給出個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子；

（2）計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)度，將單個(gè)粒子的最優(yōu)位置和群體粒子的最優(yōu)位置分別記為和pbestd；

（3）算法是否收斂，若是，則直接輸出pbestd，否則進(jìn)入下一步；

（4）通過式（7）計(jì)算粒子i在第d次迭代后的適應(yīng)度值變化：

其中，i＝1，2，…，n，t≥2；f（） 表示粒子i在第d次迭代后的適應(yīng)度值；

（5） 根據(jù)式（3） 動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重；

（6）根據(jù)式（1）和式（2）更新粒子群體速度和位置；

（7）重新計(jì)算粒子適應(yīng)度，存儲(chǔ)和pbestd，并跳轉(zhuǎn)到步驟（3）；

（8）輸出群體最優(yōu)適應(yīng)度pbestd，運(yùn)行結(jié)束。

3 仿真試驗(yàn)

3.1 測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子群算法的有效性，將固定權(quán)重的粒子群算法與自適應(yīng)慣性權(quán)重優(yōu)化的粒子群算法進(jìn)行性能比對(duì)分析。

Sphere 函數(shù)為典型的單峰函數(shù)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)；Rosenbrock 具有一個(gè)全局最小值點(diǎn)，但其為病態(tài)函數(shù)， 一般算法難以求得最優(yōu)解； Rastrigin 和Griewank 為多峰函數(shù)，解空間具有多個(gè)局部最小值點(diǎn)。 各測(cè)試函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式、維數(shù)、取值范圍、理論極值和誤差目標(biāo)見表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)及其參數(shù)Tab. 1 Standard test function and its parameters

3.2 參數(shù)設(shè)置

對(duì)于基本PSO 算法，權(quán)值固定w＝0.9，c1＝c2＝2；APSO 算法權(quán)值wmax＝0.9，wmin＝0.4，c1＝c2＝2.05；對(duì)于這兩種算法，粒子數(shù)量都設(shè)置為1 000，變量個(gè)數(shù)為30，每次求解過程算法迭代的最大次數(shù)為1 000 次。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

每個(gè)算法對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30 次，各個(gè)函數(shù)的適應(yīng)度及運(yùn)行時(shí)間見表2、表3。

表2 各個(gè)函數(shù)適應(yīng)度結(jié)果對(duì)比Tab. 2 Comparison of fitness results of each function

表3 各個(gè)函數(shù)運(yùn)行時(shí)間（Time／s）結(jié)果對(duì)比Tab. 3 Comparison of run time （ Time／s ） results by function

從表2 可以看出粒子群算法在對(duì)Sphere 函數(shù)和Griewank 函數(shù)尋找最低值時(shí)明顯優(yōu)于Rosenbrock函數(shù)和Rastrigin 函數(shù)，無論是基本PSO 還是APSO算法，對(duì)于Sphere 函數(shù)和Griewank 函數(shù)，其平均適應(yīng)度小于1，而對(duì)于Rosenbrock 函數(shù)和Rastrigin 函數(shù)，其平均適應(yīng)度在40～100 之間，表明在測(cè)試函數(shù)Rosenbrock 和Rastrigin 上，具有不穩(wěn)定性。 對(duì)于基本PSO 和APSO 兩種算法，在測(cè)試函數(shù)Sphere 和Griewank 上也可以看出APSO 明顯優(yōu)于基本PSO算法，例如Sphere 函數(shù)中，基本PSO 算法的平均適應(yīng)度為0.142 0，APSO 算法的平均適應(yīng)度為6.73E-04。 至于Rosenbrock 函數(shù)和Rastrigin 函數(shù)，APSO的平均適應(yīng)度稍大于基本PSO，也進(jìn)一步說明粒子群算法優(yōu)化的不穩(wěn)定性。

見表3，Sphere 函數(shù)較為簡(jiǎn)單，平均運(yùn)行時(shí)間最短，基本PSO 為4.825 3，APSO 為5.699 2，均小于其他函數(shù)平均運(yùn)行時(shí)間。 對(duì)于所有的測(cè)試函數(shù)，APSO算法的運(yùn)行時(shí)間全部大于基本PSO 算法，說明APSO 算法的慣性權(quán)重為自適應(yīng)變化，優(yōu)化性能更好，優(yōu)化時(shí)間也較長(zhǎng)。

為了更加清楚的看到兩種算法的收斂性，對(duì)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行收斂性分析，采用基本PSO 和APSO 算法分別求解4 種測(cè)試函數(shù)成功收斂時(shí)的平均最優(yōu)適應(yīng)度下降曲線如圖1 所示，可以看出兩種算法在探索階段均可實(shí)現(xiàn)有效搜索，其中APSO 算法的平均適應(yīng)度相比于基本PSO 算法下降較快，迭代次數(shù)也明顯少于基本PSO 算法。

圖1 測(cè)試函數(shù)收斂曲線對(duì)比圖Fig. 1 Test function convergence curve comparison diagram

4 結(jié)束語(yǔ)

為了改善傳統(tǒng)PSO 算法的收斂性能，本文提出一種自適應(yīng)慣性權(quán)重優(yōu)化的粒子群算法APSO，慣性權(quán)重采取自適應(yīng)變化，與每個(gè)粒子的適應(yīng)度有關(guān)，該算法簡(jiǎn)單，推廣性強(qiáng)。 對(duì)Sphere、Rosenbrock、Rastrigin 和Griewank 4 個(gè)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明APSO 算法在Sphere 和Griewank 函數(shù)上有較好的效果，其最小值分別為6.73E-04 和0.019 6，精度大幅提高，APSO 明顯優(yōu)于基本PSO 算法。 但APSO 具有一定的不穩(wěn)定性，后續(xù)也可與其他方法融合以提高算法穩(wěn)定性。