基于T-S模糊模型的下肢關節運動魯棒跟蹤控制

張巍巍,梁 婷,潘俊濤,張 白

(1. 北方民族大學電氣信息工程學院,寧夏 銀川 750021;2. 寧夏醫科大學總醫院,寧夏 銀川 750004)

1 引言

近些年來,在全球范圍內,獲得性神經損傷患者(如腦卒中、腦外傷和脊髓損傷等)數量越來越大,與之伴隨的是對康復的需求也越來越大[1,2]。功能性電刺激(Functional electrical stimulation,FES)是臨床應用中主要的肢體智能康復技術之一[3]。其利用低頻電流脈沖誘發肌肉收縮,使癱瘓的肢體再學習和重組,完成相應的運動功能。相比其它康復治療技術,FES還可以促進肌肉再學習,加強血液循環,防止肌肉萎縮,具有很高的研究價值。然而,成熟的FES產品的開發還面臨許多問題,例如,電刺激-關節運動之間的動態關系本質為一類具有強干擾和不確定等特征的高階非線性系統[4],考慮到患者個體差異和運動后肌肉疲勞等干擾因素,FES控制系統可能無法完成預期的關節運動。

為實現高精度的功能性電刺激控制,各國研究學者都展開了深入的研究,先后出現了多種基于不同控制理論的控制算法。最早的FES系統控制算法是Chizeck等提出的手動開關控制[5]。Shimada等人使用加速度傳感器檢測足下垂患者的步態,用加速度信號觸發電刺激儀器產生指定刺激電流來校正足下垂患者的步態[6]。這類開環控制系統中,采用固定的脈沖序列進行刺激,難以達到理想的康復效果。為實現刺激量的精確調節,文獻[7-10]使用自適應PID控制器和模糊PID控制器,系統存在干擾時也能取得較好的控制效果,但對電刺激-關節運動的非線性模型進行了簡化;陳盛勤[12]和Freeman[13]基于迭代學習控制了肘關節的運動,吳強等[11]考慮肌肉疲勞對控制精度的影響,提出了一種神經網絡自適應滑模控制方法,跟蹤系統未建模部分和參數誤差,取得了較好的控制效果。文獻[14,15]針對個體差異,分析了電刺激-關節運動的魯棒控制,得到了系統穩定的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)條件,但從仿真結果看,系統的過渡時間較長。

因此,面對復雜的非線性生物系統,如何設計非線性控制算法以有效處理人體肌肉疲勞帶來的運動控制精度問題和患者個體差異的自適應問題一直是該領域的難題,目前依然缺乏系統化的設計方法和有效的處理手段。

模糊控制憑借其不依賴于控制對象精確數學模型的優勢給復雜非線性系統的控制綜合研究帶來了新的契機,特別是Takagi-Sugeno(T-S)模糊理論的提出為利用成熟的線性系統理論知識研究復雜非線性系統成為可能。T-S模糊模型的主要思想是將輸入空間分為若干個模糊子空間,在每個模糊子空間建立關于輸入/輸出的局部線性模型,然后使用隸屬度函數將各個局部模型平滑地連接起來,形成一個全局的非線性模型[16-21]。T-S模糊模型正是憑借其具有的萬能逼近性質和線性子系統后件為研究復雜非線性系統的控制問題提供了一套系統有效的解決辦法。

患者個體差異帶來的模型參數攝動問題,本文提出了一種基于T-S模糊模型的魯棒跟蹤控制方法,實現電刺激下膝關節運動的準確跟蹤控制。通過引入期望軌跡,將跟蹤控制問題轉換為穩定性問題;基于Lyapunov穩定性理論,分析得到了系統穩定的充分條件,通過仿真驗證,針對個體差異,本文提出的控制算法均可以準確控制關節運動。

2 電刺激-膝關節運動跟蹤控制

以下肢膝關節運動為例,討論膝關節在電刺激下的運動跟蹤控制問題。

2.1 電刺激-膝關節運動模型

假設患者坐在高椅上,上身及大腿固定不動,踝關節與腳保持一定角度,可視作一個整體,則膝關節的運動可以看做是由兩個剛性部分組成的運動系統:大腿和脛足復合體,如圖1所示,該系統的平衡方程為[22](文中與角度θ有關的變量均隨時間變化,為書寫簡潔,均省略后綴(t))

圖1 膝關節電刺激示意圖

(1)

剛性力矩Ms為

Ms=λe-Eθ(θ-ω)

(2)

式中,λ和E是指數項的系數,ω是膝關節彈性靜止角。

肌肉受到電刺激產生的有效力矩Ma和電刺激的脈沖寬度(P)之間的關系是

(3)

其中G和τ為電刺激儀系統參數。

(4)

(5)

由于個體差異,脛足復合體模型中的參數具有不確定性,如表1所示,H1-H5各行表示5名健康者參數,P1-P3各行表示2名患者參數。可以看出,每名個體的參數都不完全一樣,因此,要設計控制器,使得控制器對個體差異引起的控制對象的參數不確定性具有魯棒性,是本文的主要工作。

表1 不同個體的模型參數[22]

2.2 T-S模糊模型

對于一類仿射非線性系統

(6)

其中x∈n為狀態變量,u∈m為輸入變量,f(x)和g(x)都為光滑非線性函數。采用扇區非線性方法,系統(6)可以精確表示為T-S模糊模型的形式,該模型主要是通過“IF-THEN”模糊規則描述非線性系統,每個模糊規則表示一個模糊子系統,整個模糊系統是每個模糊子系統的線性組合。考慮系統參數的不確定性,則系統的狀態方程可寫為

(7)

其中Ainom∈n×n為模型的標稱系統矩陣,Binom∈n×m為模型的標稱輸入矩陣,ΔAi,ΔBi為系統模型中的不確定性矩陣。

第i個規則的表達形式為:

模糊規則i：

(8)

記z(t)=[z1(t),…,zp(t)]

(9)

(10)

不失一般性,假設系統的不確定性范數有界且具有如下結構

ΔAi=LaiδaiRai

(11)

ΔBi=LbiδbiRbi

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(11)-(12)帶入系統式(7),可得

(17)

(18)

模糊子系統為

(19)

(20)

(21)

記a22=-B/J,a23=1/J,a33=-1/τ,b31=G/τ,參數χ的標稱值記χnom,則對于式(19)-(21),有

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

記參數χ的最小值和最大值記χmin和χmax,有0<τmin≤τ≤τmax, 0

a22nom=(a22max+a22min)/2,a23nom=(a23max+a23min)/2

a33nom=(a33max+a33min)/2,b31nom=(b31max+b31min)/2

(27)

有

Δa22=δ1(a22max-a22min)/2,-1≤δ1≤1

Δa23=δ2(a23max-a23min)/2,-1≤δ2≤1

Δa33=δ3(a33max-a33min)/2,-1≤δ3≤1

Δb31=δ4(b31max-b31min)/2,-1≤δ4≤1

(28)

令

ε1=(a22max-a22min)/2,ε2=(a23max-a23min)/2

ε3=(a33max-a33min)/2,ε4=(b31max-b31min)/2

(29)

(30)

(31)

(32)

則考慮個體差異的電刺激-膝關節運動模型可以表示為式(17)的形式。

2.3 基于T-S模糊模型的跟蹤控制器設計

在上節建立的電刺激-膝關節運動模型的基礎上,本節設計基于該模型的跟蹤控制器,使得膝關節的角度能跟蹤給定的運動軌跡。假設期望的運動軌跡為r(t),控制的目標是使得當t→∞時,y(t)-r(t)→0。本文引入虛擬變量,將跟蹤問題轉化為穩定性問題,定義期望軌跡xd(t),可以跟蹤系統狀態,跟蹤誤差為xe(t)=x(t)-xd(t),由式(17),其微分為

(33)

令

(34)

μ(t)為待設計的新的控制量。則

(35)

對于誤差系統式(33),如果能設計控制量μ(t)使其穩定,即xe(t)→0(t→∞),即實現了x(t)→xd(t)(t→∞)。基于PDC方法[17],控制量μ(t)設計為

μ(t)=-Fhxe(t)

(36)

將式(36)帶入式(35),得到閉環系統為

(37)

為得到原系統(17)的控制律,將式(34)重寫為

(38)

其中,0n-m∈(n-m)×m表示零矩陣,B(x)m∈m×m是非奇異矩陣。同理,將Ah和xd(t)也進行相應的劃分:

(39)

式(38)可以寫為下面的形式

(40)

由式(37)和式(40),可以得到期望軌跡和控制律為

(41)

(42)

對于系統式(35),求得控制律式(36)后,可由式(42)求得原系統式(17)的跟蹤控制律。為得到控制律,用到了以下推論。定理1給出了系統式(35)漸進穩定的條件。

推論[20]：對任意的常數1

(43)

定理1:對于含有不確定參數的系統(35),控制律(36)使其穩定的充分條件是存在正定矩陣P=PT>0,半正定矩陣Y0,實數α>1,使得對所有允許的參數不確定性,以下矩陣不等式成立

Ψii+(α-1)Y1<0

(44)

Ξij-2Y2<0,i

(45)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,

其中

(46)

(47)

(48)

(49)

證明:將式(11)-(12)代入系統式(37),有

(50)

式中

Gij=Ai-BiFj

(51)

(52)

(53)

若上式中①標示的部分滿足

+P(Gii+Hii+Gji+Hji)-2Q0<0

(54)

由推論1 有

(55)

對上式中②標示的部分滿足,有

(α-1)Q0

(56)

由式(13)-(16),有

(57)

則

(α-1)Q0<0

(58)

利用Schur補引理,由式(58)可得定理條件式(43)。

類似地,可由式(54)得到充分條件式(45),這里不在展開。

定理得證。

定理1中的條件為雙線性不等式,不能方便求解,為了得到系統(35)穩定的可行解,通過下面的定理將定理1中的條件進一步轉化為LMI的可行解問題。

定理2:對于閉環系統(35),如果存在對稱正定矩陣X=XT>0,矩陣Mi,半正定矩陣Q0,實數α>1,使得以下線性矩陣不等式LMIs成立

Φii+(α-1)Q1<0

(59)

Θij-2Q2<0,i

(60)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,

其中

(61)

(62)

(63)

(64)

則系統(35)是漸進穩定的。反饋增益為

Fi=MiX-1

(65)

證明:對式(44)的左側左乘右乘對角矩陣

(66)

有

T1ΨiiT1+(α-1)T1Y1T1

=Φii+(α-1)Q1<0

(67)

其中,X=P-1,Q0=P-1Y0P-1,Mi=FiP-1,式(59)得證。

同理,對式(45)左側左乘右乘對角矩陣

(68)

式(60)得證。

定理得證。

3 膝關節跟蹤控制仿真驗證

為了驗證上節所提控制器的有效性,在Matlab/Simulink平臺下進行仿真。取脛足復合體的標稱參數如表2所示,所有參數在標稱參數的±20%攝動,可涵蓋表1中不同個體的模型參數(注:健康者和患者λ參數范圍較大,這里取P1組參數)。

表2 脛足復合體參數表

(69)

(70)

(71)

根據定理2,使用YAMIP工具[23]求解LMIs得到控制器增益為:

F1=[287.55 69.362 6.7586]

(72)

F2=[287.72 69.504 6.7399]

(73)

圖2 膝關節角度跟蹤曲線

圖3 膝關節運動角速度曲線

圖4 電刺激力矩曲線

4 結論

本文基于T-S模糊模型,研究了考慮患者個體差異時功能性電刺激下膝關節的跟蹤控制問題。將患者個體差異描述為模型參數的不確定性,通過引入期望軌跡,將跟蹤控制問題轉化為穩定問題,得到了跟蹤控制器存在的線性矩陣不等式條件。仿真結果驗證了該方法的有效性。但本文尚未肌肉疲勞引起的外部干擾問題,也未進行實驗驗證,未來的工作會針對此問題進一步分析。