應用摩擦角,巧解動力學問題

■江西省上饒市鉛山縣第一中學 陳志鋒(正高級教師)

雖然摩擦角不是高中物理教材中的知識內容,但是利用摩擦角結合圖解法常常可以簡便求解一些涉及變力作用的動力學問題。下面就先介紹摩擦角的有關知識,再分別用解析法和摩擦角結合圖解法求解兩道動力學問題,展示應用摩擦角結合圖解法解題的優越性,希望對同學們的復習備考有所幫助!

一、摩擦角的有關知識

若物體受到滑動摩擦力,則必然會受到支持力,將物體受到的支持力N和滑動摩擦力f合成為F,如圖1所示,則。若接觸面不變,則動摩擦因數μ不變,支持力N與合力F間的夾角α就是確定的,α角就叫摩擦角。物體受到的滑動摩擦力f與支持力N總是成對出現的,N與f也會成比例地增大或減小,它們的合力F的方向始終保持不變。引入摩擦角后,可以將支持力N與滑動摩擦力f合成為一個力,這樣在物體的受力分析中就可以減少一個力,從而實現將復雜的問題簡單化。

圖1

二、應用摩擦角,求解實際問題

例1一木箱放置在水平地面上,已知木箱與地面之間的動摩擦因數為μ(0＜μ＜1)。現對木箱施加一拉力F,使木箱做勻速直線運動。設拉力F與水平面間的夾角為θ,如圖2所示。在θ從0 逐漸增大到90°的過程中,木箱的速度保持不變,則下列判斷中正確的是( )。

圖2

A.F逐漸增大

B.F先減小后增大

C.F的功率逐漸減小

D.木箱受到的滑動摩擦力先減小后增大

解法一：(解析法)因為木箱的速度保持不變,所以木箱始終處于平衡狀態。對木箱進行受力分析,如圖3所示,根據平衡條件得mg=N+Fsin

圖3

θ,f=Fcosθ,又有f=μN,解得,在θ從0逐漸增大到90°的過程中,sin(β+θ)先增大后減小,拉力F先減小后增大,選項A錯誤,B正確。力F的功率,在θ從0 逐漸增大到90°的過程中,tanθ逐漸增大,則P逐漸減小,選項C 正確。木箱受到的滑動摩擦力,在θ從0逐漸增大到90°的過程中,tanθ逐漸增大,則f逐漸減小,選項D 錯誤。

解法二：(摩擦角結合圖解法)因為0＜μ＜1,所以摩擦角α＜45°。木箱受到重力mg,支持力N,拉力F,滑動摩擦力f四個力作用,應用摩擦角有關知識,將滑動摩擦力f與支持力N合成為F',把四力平衡問題轉化為三力平衡問題,作出力的矢量三角形,如圖4 所示。觀察變化的力的矢量三角形可得,在θ從0 逐漸增大到90°的過程中,α不變,拉力F先減小后增大,F'逐漸減小,f=F'sinα逐漸減小,選項A、D 錯誤,B正確。木箱的速度v不變,重力與支持力的功率都為0,因此拉力F的功率P拉=P摩=fv逐漸減小,選項C正確。

圖4

答案：BC

點評:解法一是高中物理常用的解題方法之一,考查的知識內容涉及受力分析、力的合成與分解、數學計算能力等,考查的思維能力對應科學思維能力水平3——在熟悉的問題情境中根據需要選用恰當的模型解決簡單的物理問題;能對常見的物理現象進行分析和推理,獲得結論并作出解釋。解法一對考生的科學思維能力和數學運算能力的要求都比較高,且計算過程比較復雜,需要耗費較多的時間。解法二的考查對象是摩擦角知識的具體應用,考查的思維能力對應科學思維能力水平5——能將較復雜的實際問題中的對象和過程轉換成物理模型;能在新的情境中對綜合性物理問題進行分析和推理,獲得正確結論并作出解釋;能從多個視角審視檢驗結論,解決物理問題具有一定的新穎性。解法二引入摩擦角,將支持力和滑動摩擦力合成為一個方向不變的力,減少了力的個數,實現了復雜問題的簡單化。

例 2如圖5 所示,兩平行導軌放置在同一水平面內,一導體棒垂直放在導軌上,導體棒與導軌間的動摩擦因數恒定,整個裝置置于勻強磁場中,磁感應強度大小恒定,方向與導體棒垂直、與水平向右方向間的夾角θ可調。導體棒沿導軌向右運動,現給導體棒通以圖示方向的恒定電流,適當調整磁場方向,可以使導體棒沿導軌做勻加速運動或勻減速運動。已知導體棒加速時,加速度的最大值為;導體棒減速時,加速度的最大值為。g為重力加速度大小。下列說法中正確的是( )。

圖5

C.導體棒加速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向下,且θ=60°

D.導體棒減速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向上,且θ=150°

解法一：(解析法)設當磁場方向與水平方向間的夾角為θ1(θ1＜90°)時,導體棒做勻加速運動且加速度取最大值,此時導體棒受到的合力向右,且為最大值。根據左手定則和受力分析可知,安培力應該斜向右上方,磁場方向斜向右下方,則,令,又有,根據數學知識得,解得。

設當磁場方向與水平方向間的夾角為θ2(θ2＜90°)時,導體棒做勻減速運動且加速度取最大值,此時導體棒受到的合力向左,且為最大值。根據左手定則和受力分析可知,安培力應該斜向左下方,磁場方向斜向左上方,則Fsinθ2+μ(mg+Fcosθ2)=ma2,令,又有,根據數學知識得,解得。

當導體棒做勻加速運動或勻減速運動的加速度分別取最大值時,上述不等式均取等號,解得,代 入得,即α=30°,此時θ1=θ2=60°。

因此導體棒加速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向右下方,且θ=θ1=60°;導體棒減速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向左上方,且θ=π-θ2=120°。

解法二：(摩擦角結合圖解法)導體棒向右以最大加速度做勻減速運動時,對導體棒進行受力分析,如圖6所示,將導體棒受到的支持力N1與滑動摩擦力f1合成為F1,摩擦角為α,F1的方向不變;重力mg的大小和方向一定;安培力F安1的大小已知,方向待定;導體棒受到的合力大小為3mg,方向水平向左。根據矢量合成的多邊形法則,可以畫出如圖7所示的矢量多邊形。

圖6

圖7

導體棒向右以最大加速度做勻加速運動時,對導體棒進行受力分析,如圖8 所示,同理可以畫出如圖9所示的矢量多邊形。

圖8

圖9

將圖7、圖9合在一幅圖中,將重力邊重合,以重力矢量末端為圓心,以重力矢量長度為半徑,做輔助圓,得到如圖10 所示的矢量圖。導體棒做勻加速運動或勻減速運動加速度要達到最大,則需F1與F2作用線與輔助圓相切。

導體棒向右以最大加速度做勻加速運動時,磁場方向應該斜向右下方,設磁場方向與水平向右方向間的夾角為θ2,安培力F安2方向與重力mg方向間的夾角也為θ,根據幾何關系得,即θ2=60°;同理可得,導體棒向右以最大加速度做勻減速運動時,磁場方向應該斜向左上方,磁場方向與水平向右方向間的夾角θ1=120°。安培力F安2方向與水平向右方向間的夾角等于摩擦角α,則α=90°-θ2=30°,導體棒與導軌間的動摩擦因數。

答案：BC

點評:對比求解本題的兩種方法可以發現,解法一的計算量很大,而解法二的計算量要少得多。解法二引入摩擦角,結合幾何圖形不僅可以快速、準確地選出正確答案,而且還可以得到等關系式。

總之,利用摩擦角既可以求解物體處于平衡狀態時的受力分析問題,也可以求解物體具有加速度時的受力分析問題,還可以應用在涉及斜面模型的動力學問題中。學有余力的同學若能熟練掌握摩擦角這一課外知識的應用方法,則可以拓寬解題思路,提高創造性和發散性思維能力,促進物理學科核心素養的養成。