基于PI 滑模變結構的步進電機位置控制研究

何朝都，趙志明，張瑞

（陜西科技大學機電工程學院，陜西西安 710021）

步進電機通常存在啟停頻率受限、共振、和丟步等缺點[1]。三相混合式步進電機由于結構簡單得到廣泛應用，其控制方式主要有PID 控制、自適應控制等[2]。其中，滑膜變結構系統的特性和參數只取決于設計的切換超平面，對擾動不敏感，因此具有很強的魯棒性，但會出現系統抖振現象[3]。文獻[4]提出了原始控制環和通過PI 自適應方法設計的原始數字控制環。該文采用滑膜變結構方法結合PI 反饋，運用李雅普諾夫穩定性判據驗證了設計思路,在MATLAB中搭建模型，將滑模控制和PID 控制方式進行了對比，驗證了該控制方法的可行性。

1 三相混合式步進電機數學模型

三相混合式步進電機呈上下兩端對稱分布的定子和轉子構成，如圖1 所示[6]。

圖1 混合式步進電機結構

在忽略其他因素的情況下，假定電機處于理想狀態，通過建立數學模型，推導步進電機各相矩陣微分方程如下：

轉矩公式：

其中，j=a，b，c；k=a，b，c；j≠k，ua、Ra、ia為A 相的電壓、電阻、電流；J為電機轉子的轉動慣量；T為電磁轉矩（單位為N·cm）；T*為負載轉矩（單位為N·cm）；D為粘滯阻尼系數；Lij為各相自感系數；Ljk為各相互感系數（單位為mH）[7]。為提高仿真實驗的準確度，對電機各個參數均采取理想化處理，即電機各相同性，質地材料均勻等。三相混合式步進電機將脈沖信號作為輸入信號，依靠單位時間內脈沖的數量控制電機軸的旋轉角度。

轉子平衡方程為：

其中，Zr為轉子齒數，Km為轉矩常數。

該電機為三相混合式單相勵磁方式，按照A-BC-A 順序進行通斷電，可由式（2）、（3）計算得出其運動參數方程如下：

初始時刻，t=0,則角度及其角度變化值=0，由于時間間隔小，變化量極小，因此經拉普拉斯變換后，得：

選用57 系列步進電機進行實驗，參數如表1所示。

表1 步進電機參數

將表1 中參數代入式（5）中得：

2 三相混合式步進電機滑模控制器的設計

三相混合式步進電機為非線性、強耦合的多變量系統，為提高三相混合式步進電機調節系統的動態品質，憑借滑模控制的擾動參數不敏感、響應速度快等優點[8-10]，可有效解決傳統PID 控制方法存在的問題。滑模控制系統結構隨時間變化的開關特性，這種特性可以使系統在一定條件下沿規定的軌跡作小幅、高頻的上下運動[11-14]。

2.1 滑模控制的基本原理

需要確定滑膜面函數，如下：

求解控制器函數：

滿足可達性條件，在滑膜面s(x,t)=0 以外的運動點都將在有限時間內到達滑膜面，即，滿足全系統的穩定性要求。

通常滑膜變結構控制系統的運動由兩部分組成，第一部分是位于滑膜面外的正常運動，它是趨近滑膜面直至到達滑膜面的運動階段；第二部分是在滑膜面附近并沿著滑膜面s(x,t)=0 的運動[11]。

常用的趨近律函數有等速趨近律、指數趨近律、冪次趨近律和一般趨近律[15]。

以典型系統為例，對指數趨近律進行分析研究，指數趨近律如式（8）：

其中，D為系統產生的擾動，且有 |D|

2.2 定義系統的滑膜面

積分型滑膜面和時變滑膜面雖然能很好地抑制系統的抖振現象，但在處理過程中十分復雜，增加了系統的不穩定性和成本[16]。基于此，設定三相混合步進電機位置誤差e=θ-θ′，將傳遞函數轉化為狀態空間后有：

假設系統目標給定值為θ，取e=Y-y=Y-86.771x2，N1=86.771，N2=0.233，則：

針對此系統而言，希望e趨近于零，因此，該文選擇線性滑膜面來設計控制器，對滑膜面函數求導為：

根據式（11）與式（12）可以令控制器u如下：

其中，H=δsgn(s)+Δ sgn(s)=εsgn(s)。

2.3 穩定性分析

其中，S·sgn(s)=|S|，于是有：

即證所設計系統可達到穩定，此時：

3 仿真分析

在MATLAB 中建立仿真模型，用以驗證所設計方法的正確性。同時，為反映設計方法的優點，將實際輸出形式、單獨滑模控制和并聯PI 的滑模控制三種形式進行對比分析，比較其超調量、穩態時間等參數的大小。仿真過程中，仿真時長為3 s，輸入階躍信號和方波信號。仿真模擬過程中通過跟蹤系統的輸入誤差建立PI 并聯滑模控制數學模型，如圖2 所示。

圖2 PI并聯SMC模型圖

分別采用階躍信號和方波信號對三種控制方式進行模擬運行。經過反復調試，PI 并聯的滑膜控制中取比例系數P為7，積分系數I為5；單獨PID 控制中系數分別取7、5、0.1。仿真結果如圖3 和圖4 所示。

圖3 階躍控制信號效果圖

圖4 方波控制信號效果圖

由圖3、4 可知，針對誤差r，純粹PID 控制前期超調量十分大，穩定時間最長，在2 s 達到穩定；單獨滑模SMC 控制穩定時間較長，在2.5～3 s，系統穩定；PI并聯的滑模控制超調量最小，穩定時常最短，在1～2 s，系統趨于穩定。因此在同一工作環境下，PI 并聯的滑模控制跟蹤信號的隨動性最為靈敏，達到穩定工作狀態的穩態時間也最短，綜合性能更為優越。

為驗證此種控制器對于高低頻信號的快速響應能力，將方波信號分為低頻方波和高頻方波，在Simulink 中進行模擬對比，仿真結果如圖5、6 所示。

圖5 低頻跟蹤效果圖

圖6 高頻跟蹤效果圖

4 實驗分析

由三相步進電機、直流電源模塊、2000P 旋轉編碼器和STM32 單片機等部件搭建的實驗平臺，如圖7 所示。實驗設計如下：以計算機作為上位機，STM32 作為下位機，對實驗平臺電機軸旋轉180°的數據再次采樣，通過MATLAB 中cftool 繪圖工具對數據點進行擬合。由于編碼器精度誤差和電機趨于平穩狀態時的細微抖振不可避免，導致存在一定范圍內的偏差（最后過沖約為0.3°）。采集有理論數學模型模擬（y1 表示）和實驗室搭建電機模型（y2 表示）兩組數據。兩部分數據點趨于穩定后如圖8 所示。

圖7 實驗搭建平臺

圖8 趨穩擬合圖

從圖8 看出，大量數據點擬合的兩條不同曲線的初始階段與穩定階段幾乎一致。放大后，僅在上升階段，理論測量曲線y1 落后實驗測量曲線y2 一小段距離。與仿真結果相比，實驗結果旋轉量相同，前后誤差在可控范圍內，憑借多達10 000組數據擬合出來的兩個不同曲線初始階段與趨于穩定時段幾乎完全重合。即通過實驗再次驗證了控制器的正確性。

對于上述采集的數據引入誤差棒圖對各40 組實驗數據進行整定。經處理后，前4 000 個數據具有明顯的波動過程，后6 000 個數據由于達到穩定后僅保持小范圍內的波動，將4 000 個數據分為4 組分別計算出均值和誤差值，如圖9 所示。

圖9 實驗誤差顯示圖

可以看出，后者誤差棒長度在一定程度上反映了實驗所帶來的干擾必然存在，但是樣本均數的波動范圍還是可接受的。總體看來，與理論組呈現近乎一樣的概率分布和均值大小。即說明，該控制方式帶來的系統控制策略能夠達到實際應用的目的。

5 結論

該文提出了一種并聯PI 的變結構滑膜控制，為進一步提高電機的精度提供了一種切實可行方案，結論如下：

1）建立了三相步進電機的數學模型，得出特定型號電機的傳遞函數，采用指數趨近律設計了滑模控制器，判斷了所選的滑膜面的穩定性；

2）建立了Simulink 仿真模型，實現了對誤差的快速跟蹤響應，得到了并聯PI 變結構控制的規律；

3）建立了實驗系統，獲得了一種更高質量的控制策略。