范希爾理論在生活數學圖形教學中的應用

浦陳霞

【摘 要】 根據范希爾理論，培智學校學生的幾何思維水平主要處于水平0—水平2階段。因此在開展生活數學圖形教學時，教師可結合教材和學生實際，分段分層螺旋上升式安排教學內容，從“基于直觀，建立圖形表象”到“組織操作，理解圖形特征”，再到“比較異同，體會圖形關系”，使學生一步一步豐富活動體驗、增強圖形認知，逐步提高幾何思維水平。

【關鍵詞】 范希爾理論；幾何思維水平；圖形教學

【中圖分類號】 G764

范希爾理論是荷蘭數學教育家范希爾夫婦基于皮亞杰認知理論，結合長期一線幾何教學實踐研究而得出的關于學生幾何思維水平的理論，對于培智學校學生認識圖形的教學具有指導意義。范希爾夫婦指出學生幾何思維的發展存在5個水平階段——視覺、分析、非形式化演繹、形式的演繹、嚴密性，培智學校學生主要處在前3個水平階段。生活數學教師可基于范希爾理論，結合教材和學生的實際有序組織“認識圖形”教學，引領學生分段層級式提升，促進他們幾何思維水平提高。

一、水平0：視覺——基于直觀，建立圖形表象

水平0階段是視覺階段，這階段的學生能根據具體實物，通過整體觀察和感知識別圖形，能模仿畫出圖形，初步描述圖形，但無法利用圖形的特征分析圖形。因此，視覺階段的教學定位是幫助學生基于直觀，通過觀察、比較、概括等形式建立圖形表象，習得圖形名稱，進而能在比較的基礎上對相關物體外形或圖形進行識別和辨認。

（一）觀察物體，抽取圖形

數學來源于生活，學生生活中的真實物體是適合他們視覺階段認知水平的學習素材。教師在教學時可以引導學生從觀察常見的物體面開始，聚焦“形”描畫輪廓，抽取出幾何圖形，完成生活實物外形到圖形的感性抽象。如教學“認識長方形”時，教師出示學生熟悉的安全出口標識、橡皮、直尺、數學書等含有長方形的物品，引導學生觀察從這些物體面上逐個抽取出長方形的過程，幫助學生積累豐富的感性經驗，建立清晰的由體到面的印象。接著教師引導學生用手沿著長方形輪廓有序比劃、實際動筆描一描等充分描摹圖形，聚焦圖形的本質特點，直觀感受長方形是由4條直直的邊圍成的圖形，將觀察到的感性認知上升為對長方形的理性認識，建立初步的長方形圖形印象。

（二）概括提煉，建立表象

圖形表象是眾多同類圖形形狀的概括，從多個圖形中提煉共性，概括成一類，這也是數學一般化的過程。如教學“認識長方形”時，教師讓學生觀察顏色、大小、方向各不相同的長方形有什么共同特點，并讓學生通過觀察用自己的日常用語描述——都是長長方方的。教師就順勢介紹：像這樣長長方方的圖形都是長方形。之后，教師出示一個正放著的標準長方形，指出這個圖形表示長方形，并命名為“長方形”，這樣學生就完成了視覺階段形態各異長方形一般化的概括過程，建立了典型的長方形圖形表象。然后教師讓學生通過看、閉眼想、再看這樣多循環的方式記住圖形表象。

（三）變式辨析，強化表象

為了讓學生對圖形有完整的認識，教師在進行圖形教學時可以變換顏色、大小和方位，通過變式圖形與原來標準圖形的觀察、比較、辨析，讓學生體會圖形的本質屬性——圖形的形狀與顏色、大小、方位無關，從而正確建立圖形的表象。

教師可以播放長方形逐漸擴大、逐漸縮小的動畫給學生看，告訴學生這些始終是長方形，讓學生頭腦里留下生動的情境畫面，利于學生建構長方形的概念，發展初步的空間觀念。教師還可以讓學生旋轉手中的長方形，邊看邊說邊記住長方形不同位置時的樣子，讓學生對正放、倒放、斜放的長方形都有較為深刻的印象。建立圖形表象后，教師安排學生根據表象到身邊物品上再找長方形，充分將頭腦里的圖形表象具體化，通過多次找長方形，有錯誤及時糾正，使學生不斷感知圖形，進一步加強頭腦中的圖形表象。

二、水平1：分析——組織操作，理解圖形特征

水平1階段是分析階段，這階段的學生能簡單分析圖形的組成要素、描述圖形的相關特征，或者利用這些特征解決簡單的問題，但無法解釋這些特征之間的關系。這階段的教學可以通過看一看、擺一擺、數一數、比一比等操作活動，幫助學生從邊和角的視角初步理解圖形的特征，嘗試用自己的語言進行描述，并試著利用圖形特征來辨認圖形。

（一）有序操作，分類感知

為了便于學生了解長方形的特征，教師可以分別開展“邊”和“角”兩類活動引導學生對圖形的組成要素進行操作探究。

1.搭一搭、數一數。教師首先給學生提供兩長、兩短的4根小棒，讓學生根據頭腦中建立的圖形表象嘗試搭一搭長方形。搭完確認是長方形后，教師就指著小棒介紹：直直的小棒就是長方形的一條邊。然后教師引導學生有序數一數邊的數量。通過齊數、個別數，學生得出：長方形有4條邊。教師同樣結合長方形介紹角的概念，使學生通過指、數，得出：長方形有4個角。

2.描一描、畫一畫。教師通過讓學生照著長方形（見圖1）邊描畫邊數邊說，加深長方形有4條直直的邊、4個方方的角的印象。學生通過親身經歷搭、數、描畫，對長方形邊、角的數量和特征有了較為清晰的了解。

（二）辨析操作，歸納特征

教師延續用小棒搭長方形的環節，引導學生辨析后繼續操作，層層深入，逐步了解掌握長方形邊的特征。

1.移一移。教師出示之前學生用小棒搭長方形的錯例（如圖2），讓學生思考后移一移搭出正確的長方形。比較移動前后的兩個圖形，學生發現：要正確搭出長方形，顏色相同的兩根小棒要面對面放。

2.比一比。教師順勢讓學生比一比顏色相同的兩根小棒的長度，發現：顏色相同的小棒同樣長。對應長方形得出：長方形上下兩條邊一樣長，左右兩條邊一樣長。

3.搭一搭。教師給學生提供兩長兩短的顏色均相同的4根小棒，讓學生嘗試搭長方形。學生初步應用長方形對邊相等的特征，嘗試找出同樣長的兩根小棒面對面放，搭出長方形。

教師通過層層遞進的操作，使學生關注長方形邊長，進一步觀察構成圖形的邊長與圖形之間的關系，尋找并體會長方形的本質特征：4條邊分成兩組，兩條長邊為一組且同樣長，兩條短邊為一組且同樣長。

（三）嘗試應用，內化理解

學習長方形特征后，設計分層練習，幫助學生進一步理解、鞏固圖形特征，深化認知。圖3讓學生通過比較感受長方形是直線圖形。圖4通過圈一圈、比一比，深化長方形是四邊形的認知。圖5都是四邊形，通過比較再次明確長方形對邊相等，而且4個角都是方方的角。

三、水平2：非形式化演繹——比較異同，體會圖形關系

水平2階段是非形式化演繹階段暨抽象與關聯階段，這階段的學生可以根據相關性質建立圖形內部、圖形與圖形之間的聯系，能通過非形式化推理將圖形分類，但還沒有形成條理清晰的概念系統。這對于培智學校學生來說有一定難度，教學中教師可以通過抽象與關聯，適當讓學生理解圖形之間的關系。

（一）聚焦區別，感受聯系

培智學校學生將先后認識各種幾何圖形，而這些圖形在圖形表象和特征上有相似又有區別，他們不容易區分。因此，當學生新認識一種圖形后，教師應著重將其與之前認識過的類似圖形進行比較，使學生充分感受圖形之間的聯系與區別，抓住特征清晰建立圖形的認知。教師也可以借助直觀形象的韋恩圖（見圖6）展示圖形之間的關系，促使學生建構系統的平面圖形認知結構。如學生認識了長方形后，教師出示多個四邊形，通過比較異同，讓學生感受長方形是四邊形家族中的一個；學生認識正方形之后，教師讓學生體會正方形是特殊的長方形。等學生認識了相關的四邊形之后，教師可以帶領學生在觀察、比較中體會各個不同四邊形之間的包含關系。

（二）引申推理，形成結構

教師還可以設計動畫形式讓學生觀察、引申想象并驗證，如將四邊形的兩組對邊拉成平行，四邊形就變成了平行四邊形；將平行四邊形的一個角變成直角，平行四邊形就變成了長方形；長方形的長縮短到與寬同樣長，長方形就變成了正方形……雖然培智學校學生不善于表達，甚至理解得有可能不夠到位，但呈現圖形之間互相變化的動畫，利于學生感受圖形與圖形之間的關系，便于他們整體了解平面圖形，逐漸形成完整的相關平面圖形的認知結構。

以上所舉長方形的教學，教師可以設計2—3課時來完成。教學中我們也發現培智學校三年級學生認識長方形大都處于范希爾理論的水平0和水平1層次，只有極少學生處于水平2層次，根據范希爾理論幾何思維水平不連續的特點，教學時需要分層教學，同時小步子、多循環地通過數形結合的動手操作、觀察比較等實踐活動，不斷加強學生的感知、體驗，培養學生空間觀念，從而逐步提升他們的幾何思維水平。

（作者單位：江蘇省無錫市錫山特殊教育學校，214000）