初中幾何反常規路徑問題的解題策略探析

廣州市第二中學(510040) 陳家燦

1 試題呈現與解析

1.1 試題呈現

(江蘇揚州卷)如圖1, 已知正方形ABCD的邊長為4,點P是AB邊上的一個動點,連接CP,過點P作PC的垂線交AD于點E,以PE為邊作正方形PEFG,頂點G在線段PC上,對角線EG,PF交于點O.

圖1

(1)若AP=1,求AE的長;

(2) ①求證: 點O一定在ΔAPE的外接圓上; ②當點P從點A運動到點B時,點O也隨之運動,求點O經過的路徑長;

(3) 在點P從點A運動到點B的過程中,ΔAPE的外接圓的圓心也隨之運動,求該圓心到AB邊的距離的最大值.

1.2 試題解析

本題主要考查正方形的性質,點與圓的位置關系,點到直線的距離,三角形的中位線,相似三角形的判定與性質,求二次函數的最值,等腰直角三角形的性質,圓周角的性質,勾股定理,三角函數的簡單應用,蘊含了轉化思想、建模思想以及用代數方法解決幾何問題的思想. 簡答如下:

(1) 由ΔAPE∽ ΔBCP可得可得

(2) ①由∠DAB=90°,得點A在以PE為直徑的圓上,PE的中點M即為圓心. ∠EOP=90°,點O在以PE為直徑的⊙M上. 即點O一定在ΔAPE的外接圓上.

②連接OA,由①可知,在⊙M中,∠OAP=∠OPE=45°. 所以在點P的運動過程中,點O始終在正方形ABCD的對角線AC上運動. 因為當點P運動到與點A重合時,正方形PEFG不存在, 相當于點O與點A重合; 當點P運動到與點B重合時,正方形PEFG與正方形ABCD重合, 則點O位于AC中點位置. 所以點O經過的路徑長為

(3) 過PE中點M作MN⊥AB于點N, 所以MN//AE. 因為PM=EM,所以PN=AN,所以AE=2MN,即MN是ΔAPE的中位線. 設AP=x,MN=y,則AE=2y,BP=4-x. 由(1)可知ΔAPE∽ΔBCP可得,整理得當x=2 時,即在點P從點A運動到點B的過程中,ΔAPE的外接圓圓心到AB邊的距離的最大值為

2 解題反思

由于數學思想方法相比具體的解決問題的技能,具有更上位的特征,而且人們認識事物的一般順序又是從具體到抽象,因此滲透數學思想方法的教學應當與數學課程內容、數學解題活動的教學相結合. 基本過程是讓學生首先了解、熟悉諸多的“流”——具體技能,再經概括上升到“源”——思想方法[1]. 也就是說,從操作開始,經歷理解相關原理,再形成由原理指導下的操作. 基于這樣的思考,開展解題策略反思.

解決路徑問題需要常常經歷操作、猜想、驗證三個過程.學生一般已經掌握這樣的思路: 操作時,把握起點、終點、過程點,然后猜想目標點在某直線或某圓上運動,進一步用推理方法證明點的路徑是某直線或某圓. 最后由起點、終點確定點的路徑是某段線段或某段弧.

在第(2) ②中我們運用了求路徑問題的一般思路,這種經驗能否借鑒用到第(3)問?

當點P從點A運動到點B的過程中, ΔAPE的外接圓的圓心也隨之運動, 按理說, 圓心也有路徑, 如何找到這個路徑呢? 如圖2,因為當點P運動到與點A重合時,正方形PEFG不存在,相當于點M與點A重合;當點P運動到與點B重合時,正方形PEFG與正方形ABCD重合,則點M位于AB中點位置(設AB中點為Q).

圖2

首先由起點、終點的位置可以確定,點M不在直線AB上運動,進而猜想,點M在某圓弧上運動,那么這個路徑圓的圓心在哪里? 似乎找不到思路,我們不妨退一步,假設點M在某圓上運動,則∠AMQ一定是定值,找兩個點M1,M2,測量∠AM1Q,∠AM2Q會發現這兩個角不總是相等的,從而確定點M不在圓上運動. 點M的路徑不明確,按照常規方法,思路受阻,這就是一道典型的反常規的問題. 圓心M到AB邊的距離的最大值如何求? 過點M作MN⊥AB于點N,所以MN//AE. 因為PM=EM,所以PN=AN,所以AE= 2MN,即MN是ΔAPE的中位線. 求MN的最大值可轉化為求AE的最大值. 由(1)可得當AP為特殊值時求AE的方法,進而當AP變化時,用同樣的方法可以建立起MN(y)與AP(x)的函數關系,將問題轉化為求二次函數的最值問題. 此時我們發現點M的路徑疑似圓弧,其實是拋物線. 此題學生用總結出來的方法是無法解決的,面對一個較復雜反常規問題,我們應該從基礎知識出發,順流溯源,綜合運用從一般到特殊,轉化思想、函數思想解決幾何最值問題.

其實題目是千變萬化的,經驗方法絕不是萬能的,只有學會解決一般化問題的順流溯源策略,應對不斷變化的反常規創新的數學問題時,才能撥開云霧看到解決問題的本質.

3 變式教學

學生經歷操作、猜想、驗證獲得“流”這個技能手段,教師順著“流”進行抽絲剝繭式的點撥提問,帶領學生順藤摸瓜,再概括上升到“源”——幾何直觀、抽象、建模(函數模型)這個過程需要師生合作完成. 下面通過一道自編反常規變式題的課堂探究,展現學生經歷真正的幾何問題解決過程,而不僅是套用現成的公式、方法或例題解決類似問題.

式中:表示對第m-1幀純凈語音的功率譜估計,表示對第m-1幀的噪聲功率譜估計。α為調節系數,它的選取至關重要,其取值越接近1對“音樂噪聲”的抑制效果越好,但是會造成比較大的語音失真,α取值0.95～0.99時效果較佳[6],max函數返回兩個參數的最大值,SNRpost(m,k)表示后驗信噪比,定義后驗信噪比為:

如圖3,矩形ABCD中,AB= 6,AD= 4,點E是AB邊上的一個動點,連接DE,過點E作DE的垂線交BC于點F,以EF為斜邊作等腰直角三角形EFG(點G在EF上方). 當點E從點A運動到點B時,點G也隨之運動,求點G經過的路徑長.

圖3

此題僅把原題背景改為矩形,本質上所求路徑問題是一致的,可以借鑒例題的解題方法.

第1 步: 確定點G的路徑.

如圖4, 易知點G在ΔBEF的外接圓上, 連接BG.∴∠EBG= ∠EFG= 45°. ∴點G始終在∠ABC的平分線BH所在直線上運動.

圖4

第2 步: 找到起點、終點位置即可求路徑長.

如圖5, 當點E與點A重合時, 點F與點B重合,ΔABG1為等腰直角三角形; 當點E與點B重合時, 點F也與點B重合,此時點G退化到與點B重合,點G經過的路徑長為

圖5

看似沒問題,完全按路徑問題的解題思路來做的,先確定點G在直線上運動,然后找到起點、終點兩個位置,軌跡就是一條線段.

第4 步: 質疑.

盡信書,不如無書,軌跡問題的解題策略是經歷操作、猜想、驗證后總結出來的,而現在學生都是照葫蘆畫瓢模仿出來的,學生是否真實經歷了“操作”步驟? 還是進行了假探究?

第5 步: 畫圖探究出猜想.

如圖6,我們會發現點G還會跑出去如G2的位置,路徑長肯定比大.

圖6

圖7

我們取了幾個E點的位置畫圖會發現點G并不是從起點直接回到終點. 這個探究非常重要,每個同學通過動手畫圖,一定會發現點G經過的路徑為:G1→G2→G1→B,可以猜想點G經過的路徑長為G1G2+G2G1+G1B,但點G沿著BH方向究竟跑出去多遠再回頭,就需要通過計算去確定.

第6 步: 小心求證得結論.

數學結論經常是看出來的,不是證出來的,這種看依賴的就是畫圖操作. 前面的錯誤就是大家按經驗去證,但點G經過的路徑并不常規,只有經過實事求是的探索,才能發現其中奧秘. 經驗可以指引快速找到解題的思路和方向,但單憑經驗解題,思路受限,方法單一,要提升主動探究的精神和自主學習的能力. 在數學中,發現問題往往比證明結論更重要.

4 教學啟示

4.1 認清路徑問題的本質

上述從例題到反常規訓練,由正方形到矩形,學生經歷了由特殊到一般的探究過程,就是發現問題、提出問題、解決問題的思考過程. 路徑問題其實研究的是路程(路徑)而非距離. 常規路徑問題一般包含直線線性型、弧形線性型,反常規路徑問題中就會出現拋物線型(函數方法解決)、直線折返型以及弧形折返型. 譬如,如圖8,小明從學校(起點)回到家(終點),這個距離AB是確定的,但路徑就不一定,小明可能走到某商店才想起漏拿數學書,然后返校拿書再回家,路徑1為A→C→A→B; 或者小明反方向走到某文具店買文具,然后再沿著學校返家,路徑2 為A→D→A→B. 反常規訓練中點G的路徑(類似于路徑2)正是直線折返型問題,需要在畫圖操作中不斷探索思考才能發現的.

圖8

4.2 提升學生思維認知水平

在學生出現典型解題錯誤后進行探索,這是基于學生原有思維經驗以及解題經驗的順應與發展. 從信息加工的角度看,學習是學習者通過自己對來自環境刺激的信息進行內在的認知加工而獲得能力的過程. 數學課堂不應僅僅滿足于教給學生一些結論,而應該能給學生創造更多的反常規問題刺激,躬行溯源剝繭活動過程, 使得學生獲取更多數學思想方法、探索精神. 數學家米山國藏曾說過,學生在畢業不久,數學知識很快就忘掉了,然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻于頭腦中的數學的精神、思維方法、推理方法,在隨時發生作用,使他們受益終身[2].

5 結束語

在教學中帶領學生經歷“順流溯源,抽絲剝繭”這個思維過程,在師生、生生相互之間思維碰撞中對問題蘊含的數學本質、規律進行思考和判斷,不斷突破學生的原有認知結構.同時培養學生養成自主思考的習慣,培養發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的思維品質.