開展多維探究發展核心素養
——圓維曲線一類三點共線問題的探究及思考

廣東省深圳市高級中學理慧高中(518040) 高軍

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017 年版)》必修課程主題五和選擇性必修課程主題四設計了“數學建模和數學探究活動”主題,指出自主探索和合作交流是學生學習數學的重要方式,要讓學生獲得進行數學探究的切身體驗和能力[1]. 筆者認為,深化普通高中課程改革的核心之一是轉變教師的教育理念,堅持教學方式的改革,倡導積極主動、敢于質疑、自主探究、合作交流的學習方式. 因此,開展多維探究,構建有效探究式教學課堂是促進學生有效學習、發展數學核心素養的必然要求. 以下教學案例是基于這種理念下的嘗試,與同行交流.

2 案例呈現

2.1 問題

如圖1, 已知橢圓G:直線l:x= 4與x軸相交于點E,過橢圓G右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點, 點C在直線l上且BC//x軸,點M為線段EF中點,求證: 點A,M,C三點共線.

圖1

2.2 解法探究

思路一(轉化為向量共線)或定值問題,拓展了學生思維.

思路五(轉化為幾何證明)

評注: 結合幾何性質及橢圓第二定義解決問題. 圓錐曲線第二定義在教材的閱讀材料有專門介紹. 這說明好的方法源于豐富的知識儲備,知識就是力量.

小結: 思路一和思路五是直接法,從代數和幾何角度直接求證. 解法二、三、四是間接法,將求證結論合理進行轉化,分別通過線線平行、定點問題、定值問題的解決來求證,蘊含同一法原理,體現了轉化與化歸的數學思想.

2.3 變式探究

一個問題的研究往往孕育著新的問題的產生,對應思路二、三、四,轉化題目的條件和結論,可以得到有關線線平行、定點問題、定值問題為結論的三個命題. 還有沒有其它變式,是與橢圓焦點弦有關且以三點共線為結論的命題? 經過教師引導,學生的獨立探究、小組合作得到如下變式:

變式1如圖2,已知橢圓直線l:x=4與x軸相交于點E,過橢圓G右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,點A關于x軸的對稱點為A1,求證: 點A1,B,E三點共線.

圖2

變式2如圖3,已知橢圓設橢圓的左、右頂點分別為M,N,A是橢圓上異于M,N的任意一點,點F為橢圓的右焦點,直線AF交橢圓于另一點B,直線AN交直線l:x=4 于點Q,求證: 點M,B,Q三點共線.

圖3

變式3如圖4,已知橢圓橢圓的左、右頂點分別為M,N,過橢圓G右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,直線MA與直線l:x= 4 相交于點E,過點F作直線FD⊥FE與直線l:x= 4 相交于點D,求證: 點M,B,D三點共線.

圖4

變式4如圖5, 已知橢圓過直線l:x= 4 上任意一點E作橢圓兩條切線,切點分別為A,B,點F為橢圓的右焦點,求證: 點A,F,B三點共線.

圖5

評注: 這些命題都是對橢圓中一類有關焦點弦的命題,經過條件和結論的適當轉換進行變式而成,類比前面三點共線問題的解決思路,這四個命題容易得到證明.

數學教育家波利亞說過:“解完題后還能不能換個角度考慮一下? 還能不能再推廣呢? ”將橢圓類比到雙曲線或拋物線,是否也有類似的結論?

2.4 類比探究

鼓勵學生大膽猜想,引導學生結合圖形進行驗證,將橢圓類比到雙曲線得到以下結論:

結論一已知雙曲線直線與x軸相交于點E,過雙曲線G右焦點F的直線與雙曲線的右支相交于A,B兩點,點C在直線l上且BC//x軸,點M為線段EF中點,則點A,M,C三點共線.

結論二已知雙曲線直線與x軸相交于點E,過雙曲線G右焦點F的直線與雙曲線相交于A,B兩點,點A關于x軸的對稱點為A′,則點A′,B,E三點共線.

結論三已知雙曲線設雙曲線的左、右頂點分別為M,N,點F為雙曲線的右焦點,A是雙曲線上異于M,N的任意一點,直線AF交雙曲線于另一點B,直線AN交直線于點Q,則點M,B,Q三點共線.

結論四已知雙曲線設雙曲線的左、右頂點分別為M,N,過雙曲線G右焦點F的直線與雙曲線右支相交于A,B兩點, 直線MA與直線相交于點E,過點F作直線FD⊥FE與直線l相交于點D,則點M,B,D三點共線.

結論五已知雙曲線過直線上一點E作雙曲線兩條切線,切點分別為A,B,點F為雙曲線的右焦點,則點A,F,B三點共線.

評注: 如果將橢圓類比到拋物線,也會有相關類似的結論. 我們發現,問題及變式的條件有共同點: 直線AB過圓錐曲線焦點,直線l為圓錐曲線的準線. 如果直線AB過x軸上任意一點,是否也有更一般的結論?

2.5 歸納探究

條件是非本質的特殊情況,由特殊到一般,作如下推廣:

結論六如圖6,已知橢圓直線與x軸相交于點E,過x軸上的點T(t,0)的直線與橢圓相交于A,B兩點,點C在直線l上且BC//y軸,點M為線段ER中點,點A,M,C三點共線.

圖6

如果直線AB過x軸上一點,也可作如下推廣:

結論七如圖7,已知橢圓直線與y軸相交于點E,過y軸上的點R(0,r)的直線與橢圓相交于A,B兩點,點C在直線l上且BC//y軸,點M為線段ER中點,點A,M,C三點共線.

圖7

評注: 由合情推理,前面結論可進行一般情況的推廣,可以得到很多的新的命題和結論. 以上結論的推證過程與案例的探究過程相仿,這里從略.

3 教學思考

3.1 滲透數學思想,多解探究,發展核心素養

《普通高中數學課程標準(2017)》指出:“……突出數學主線,凸顯數學的內在邏輯和思想方法. ”在案例的探究過程中,滲透轉化與化歸、數形結合、函數與方程等數學思想,體現了數學思想在解題中的重要作用. 通過數學思想的融會貫通,引導學生從多角度思考問題,有利于提高學生分析問題解決問題的能力,發展學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養.

3.2 以問題為導向,變式探究,發展核心素養

顧明遠先生指出:“課堂教學是培養學生思維的主渠道,只有會思考并提出問題,才能培養學生的批判性思維、創新思維的能力. ”變式探究中的四個變式都是學生根據以往的數學學習經驗及一類焦點弦的解題模型,對原命題的條件和結論進行變式提出的,體現了創新意識和創造性. 可見構建以問題為導向的探究式課堂,可以喚起學生對數學學習的熱情,有利于發展學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理等數學核心素養.

3.3 探尋數學本真,合情探究,發展核心素養

在類比歸納探究中,學生將橢圓類比到其它的圓錐曲線,將直線AB過焦點推廣到直線AB過坐標軸上任意點,得到了一系列的相關結論. 一方面有效地將前后所學知識融合在一起,幫助學生建構完整的知識體系;另一方面可以提高學生的思維靈活性,激發學生的創造思維. 教師要有意識地去挖掘與合情推理有關聯的數學問題,讓學生養成運用合情推理去解決問題的習慣,發展學生邏輯推理核心素養.