“細說”圓錐曲線的弦長公式

廣東省韶關市廣東北江中學(512026) 羅賢

圓錐曲線為C:f(x,y)=0(可以是橢圓, 雙曲線, 拋物線),設直線l:y=kx+m(特殊情況要討論斜率k不存在的情況),聯立方程組消y得關于x的一元二次方程為

它的判別式為Δx=B2- 4AC, 當Δ＞0 時, 直線l與曲線C有兩個交點, 分別設為P(x1,y1)Q(x2,y2),則坐標x1,x2為方程①的兩個實根, 可用韋達定理:, 點P,Q在直線上, 故有y1=kx1+m,y2=kx2+m?y1-y2=k(x1-x2).

帶入韋達定理可得:

我們把這個公式叫做“萬能弦長公式”.

如圖所示的折紙也稱“工藝折紙”,是一種把紙折成各種不同形狀物品的藝術活動, 在我國源遠流長某些折紙活動蘊含豐富的教學活動. 某些折紙活動蘊含豐富的數學內容,例如,用圓形的紙片按如下步驟折紙:

步驟1: 設圓心是O,在圓內(除去圓心)取一點,標記為F;

步驟2: 把紙片折疊,使圓周正好通過F;

步驟3: 把紙片展開,于是就留下一條折痕;

步驟4: 不停的重復步驟2 和3,能得到越來越多的折痕.這些折痕圍成的圖形是一個橢圓;

若取半徑為4 的圓形紙片,設定點F到圓心O的距離為2,按上述方法折紙,如圖1;

圖1

(1)以FO所在直線為x軸,FO中點M為原點,建立平面直角坐標系,求折痕圍成的橢圓的標準方程;

(2)求經過點F,且與直線FO夾角為的直線交橢圓于C,D兩點,求ΔOCD的面積.

從解題中我們可以窺見弦長公式的本質有兩個:

一是韋達定理的應用,即關于x的一元二次方程為

突破了此難點2022 新高I 卷21 題,無論是運算還是思維都沒有難點了;這里是新增加的一點看法,請老師審核這個解法在得到韋達定理乘法結論式具有強大的優勢,但是得不到加法式的結論;

(2021 浙江高考21) 如圖, 已知F是拋物線y2= 2px(p＞0)的焦點,M是拋物線的準線與x軸的交點,且|MF|=2,

(1)求拋物線的方程;y2=4x

(2) 設過點F的直線交拋物線與A,B兩點, 斜率為2 的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點P,Q,R,N, 且|RN|2=|PN|·|QN|,求直線l在x軸上截距的范圍.

通過研究高考題我們發現,以前的高考著重于公式的應用,多以橢圓為載體考查學生對公式的掌握和應用情況. 對比近兩年的新高題,弦長公式從橢圓轉到到雙曲線、拋物線,從直接使用韋達定理轉化到解題關鍵是先使用距離公式;不管怎么變,萬變不離其宗,理解知識的根本,抓住解決問題的關鍵,才能到達核心點,達到用一個知識點解決一類問題的目的,比如弦長公式的本質首先是直線上兩點之間的距離公式,其次才是使用韋達定理. 尤其是2021 新高考第21 題,雖然這個題有很多種解法,我的體會是這個題的出發點在弦長公式的本質的理解,基于這種理解在解決2022 新高卷題11和題21 時就很得心應手,不覺它是難題了. 2022 新高考題21(2)問,我們還應該有這樣的理解,學了正弦定理以后,正弦表示三角形面積公式比初中所學的三角形面積公式高級,在已知角度的情況下,該選擇高中的公式求面積,后面的思路就順其自然.