廣義梅涅勞斯定理及三角形相交線公式

上海啟振教育(200135) 余學峰

1 廣義梅涅勞斯定理

已知: 如圖,在三角形ABC中,AE交DF于O點,并且AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BE:EC=c:c′,求:AO:OE,DO:OF數(shù)值.

解答: 1. 如圖,做輔助線DG和FH,并且平行于BC,在ΔABE中,

同理在ΔACE中,

聯(lián)立①和②,可知:DG:FH=ac(a′+b′):a′c′(a+b),又因為BG//FH,所以DO:OF=DG:FH=ac(a′+b′) :a′c′(a+b)極美的對稱性!

2. 下面來求AO:OE的數(shù)值:

(1)假設a/b＜a′/b′,因為DG平行FH,所以

另外,在ΔABE中,

同理在ΔACE中,

由②得:

由③得:

聯(lián)立④⑤可得:

聯(lián)立①⑥得:

所以,聯(lián)立④⑦⑧⑨可以得到:

那么,根據(jù)以上兩項,經過大量復雜的計算和化簡可知:AO:OE=aa′(c+c′):(ab′c+a′bc′)又是極美的對稱性!

(2)假設a/b＞a′/b′,同理可得以上結果.

(3)假設a/b=a′/b′,即DF//BC,以上結果仍然成立.

2 為何稱為“廣義梅涅勞斯定理”?

在這里,很多讀者認為數(shù)學論文到此就結束了,其實不然. 為什么我稱這個定理為廣義梅涅勞斯定理呢? 我們可以令b=0,則DO:OF=c(a′+b′):c′a′,這不就是梅涅勞斯定理嗎? 而且,AO:OE=a′(c+c′) :b′c,這也是梅氏定理啊! 我們還可以令b′=0,則DO:OF=ac:c′(a+b),這也是梅氏定理,且AO:OE=a(c+c′) :bc′,這個還是梅氏定理. 所以,我們說: 這個數(shù)學定理(或者說數(shù)學公式)是廣義梅涅勞斯定理,它的某種特例表現(xiàn)為梅涅勞斯定理.

3 五種“三角形相交線”數(shù)學模型及公式

三角形中另有兩根相交線段,共有五種形式如下(下有附圖):

1. 兩根線段都由三角形頂點引出, 并且相交, 這種情況的線段比例或線段長度可由梅涅勞斯定理求出: (令AD:DB=a:b,AE:EC=a′:b′)

2. 兩根線段一根由三角形頂點引出,一根是邊到邊,并且相交, 這種情況的線段比例或線段長度可由廣義梅涅勞斯定理求出: (令AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BE:EC=c:c′).

3. 兩根線段一根由三角形頂點引出, 一根是邊到邊, 并且相交, 這種情況與第一種很相似, 它的線段比例可由梅涅勞斯定理求出: (令AD:DB=a:b,BE:EF:FC=a′:b′:c′)

4. 兩根線段都是邊到邊, 并且相交, 這種情況可以由梅氏定理求解: (令AD:DE:EB=a:b:c,AF:FG:GC=a′:b′:c′)

5. 兩根線段都是邊到邊,并且相交,這種情況非常復雜,必須由梅氏定理和廣義梅氏定理求解: (令AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BG:GE:EC=c:o:c′)

公式5 的證明: 連結CD和DG,CD交FG于O′. 在ΔABC中,根據(jù)本人的廣義梅涅勞斯定理有:

又因為在ΔCDG中,根據(jù)梅涅勞斯定理有:

并且,

4 具體運用

綜上所述,關于三角形內兩根相交線段的問題就可以得到全面的解決,也為三角形內蝴蝶模型的計算以及更為復雜的三線相交乃至多線相交問題的簡便快速計算打下了堅實的數(shù)學基礎. 舉例如下:

例1: 已知ΔABC中AD:DB= 1 : 2,BE=EC,CF:FA=1:2,求DO:OF,AO:OE.

解: 根據(jù)廣義梅涅勞斯定理,

有了定理在手,就可以秒殺了!

例2: 已知ΔABC中,AD:DB= 1 : 1,AF:FC=1:2,AO:OE=5:7,求DO:OF.

解: 設BE:EC=c:c′,根據(jù)廣義梅涅勞斯定理,同樣根據(jù)廣義梅涅勞斯定理,并結合上式,

同樣是輕松解決.

例3: 在ΔABC中,BE:EC=2:1,DO:OF=3:1,AO:OE=3:5,求AF:FC.

解: 令AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,根據(jù)廣義梅涅勞斯定理知,

同理可知:

聯(lián)立①②可得:a:b= 1 : 1,a′:b′= 1 : 2, 所以,AF:FC=1:2.

這道題如果不用廣義梅氏定理,當然也可以解出,只是非常復雜.

例4: 已知ΔABC中AD:DB= 1 : 2,BE=EC,CF:FA=1:2,求AO:OO′:O′E.

解: 根據(jù)廣義梅涅勞斯定理知,

由梅涅勞斯定理知,

聯(lián)立①②,得:

聯(lián)立①②③,得:AO:OO′:O′E=20:16:9.

本題有著普通數(shù)學競賽題的難度,但是用了兩大定理之后,可以秒殺,可見運用之方便!

例5: 如圖, 在ΔAC0C71中,AB0:B0C0= 1 : 1,AB71:B71C71= 2 : 1,C0C1:C1C2:···:C30C31:···:C70C71= 1949 : 1950 :···: 1979 :···: 2019, 求:B0B1:B30B31:B70B71.

本題是一道國慶獻禮題, 由本人在偉大的祖國成立70周年之際所創(chuàng)立,用來比喻我們偉大的祖國越來越富強,越來越繁榮昌盛! 所求三個數(shù)值分別對應著1949 年建國、1979年改革開放、2019 年新中國成立70 周年. 本人起初用了一個多小時才解出此題,后來本人鉆研出廣義梅涅勞斯定理之后,十分鐘左右解答完畢,可見廣義定理的實用性!

同理,

聯(lián)立③④可以得出:

(注: 如果需要準確的數(shù)學值也可以,只是數(shù)值過于復雜,沒有必要,所以用了近似值),聯(lián)立①②⑤,可知:

這三個線段分別代表了1949、1979、2019,它們的數(shù)值越來越大,從“1”到“1.27”,再到“1.83”,以此比喻我們的祖國必將越來越強盛、越來越美好!