教材習題的使用與開發

湖北省武漢市友誼路中學(430022) 李斌

中考數學試題, 對初中數學教學具有一定的引領作用.近幾年,將教材中某些習題改編、拓展或延伸后作為中考試題,成為中考命題一種較常見的做法,其旨在引導教師重視教材,用活教材,挖掘出教材習題的通性通法,以及反映的基本模型,善于將課本習題進行改編與延伸,現結合對人教版教材習題挖掘的實踐,筆者與各位同仁探討教材習題的使用與開發.

1 以教材為本,提煉通性通法

案例1(人教版教材九年級上冊第123 頁復習題7)如圖1,⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且半徑都是0.5cm,求圖中三個扇形(即陰影部分)的面積之和.

圖1

分析: 圖中的陰影部分由三個扇形組成, 應先求出三個扇形的面積, 然后將其相加. 三個扇形雖然半徑已知是0.5cm,但其各自的圓心角度數并不知道,因此,分別求出這三個扇形的面積不可能, 必須另尋它途, 經分析發現, 三個扇形的半徑相同,且其圓心角之和剛好是ΔABC的內角和180 度,可將這三個扇形拼合在一起,構成一個大扇形,即半圓,可得陰影部分的面積=

點評: 題中透露出什么通性通法? 顯然是整體處理法,即把一些看似彼此孤立,實質上緊密相關的量作為一個整體進行處理,化繁為簡,化難為易. 其實,一些數學問題,可以不必在意試題的細枝未節,縱觀全局,用整體的思想解決,則能出奇制勝.下面幾道試題可以使用整體處理的方法予以解決.

應用1: 如圖2,⊙O的半徑為2,C1是函數的圖象,C2是函數的圖象, 則陰影部分的面積是____.

圖2

分析: 圓O與兩條拋物線構成了一個軸對稱軸圖形,對稱軸分別是x軸、y軸,以x軸為對稱軸,將上方的陰影部分折疊到下方會得到一個半圓的陰影,所以陰影部分的面積為

應用2: 有甲、乙、丙三種貨物,若購甲3 件,乙7 件,丙1件共需630 元;若購甲4 件,乙10 件,丙1 件共需840 元,現購甲、乙、丙各一件共需多少元?

分析: 設購甲每件x元, 購乙每件y元, 購丙每件z元. 根據題意, 列方程組, 得現購甲、乙、丙各一件共需多少元? , 則可以把x+y+z作為一個整體, 作為一個未知數求解, 于是, 原方程組可變形為然后解以x+ 3y、x+y+z為未知數的方程組即可.

應用3: 若實數a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,則a+b的值為多少?

分析: 將已知等式中的4a+ 4b看作一個整體, 展開后得: (4a+4b)2-2(4a+4b)-8 = 0, 左邊因式分解, 得(4a+4b-4)(4a+4b+2)=0,所以a+b=1 或

通性通法是解決問題的一般性思想方法,教學中,教師應深挖教材,理清一般解題方法,以使學生在觸類旁通,舉一反三中,探究一例,收獲一片.

2 以教材為本,挖掘數學基本模型

案例2(人教版教材八年級上冊第85 頁問題1)如圖3,牧馬人從A地出發,到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地,牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

圖3

分析: 這是著名的“將軍飲馬問題”,即在直線l上找一點P,使它到A、B兩點的距離和最小,即PA+PB最小,方法是作其中一個點的對稱點,即將其中一個點用它的對稱點來代替,根據兩點之間線段最短的原理,連結對稱點與另一個點,連線與直線l的交點即為所求作的點. 如圖4 所示,

圖4

點評: 圖4 的模型是求線段和最小值的基本模型,只要求線段和的最小值,或者周長的最小值,都可以通過作對稱點的辦法,將和中的線段統一在同一直線上,它包括兩定點一定直線,一定點兩定直線,兩定點兩定直線等情形,都可以使用此模型去解答.

應用1: 如圖5,正方形ABCD的面積為16,ΔABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線BD上有一點P,使PC+PE的和最小,則這個最小值為多少?

圖5

分析: 此題的兩個固定點是點E、C, 固定直線是直線BD,直線上的動點是點P,如何尋找點P,使得PC+PE最小呢? 先找其中一個點的對稱點,可以看到點C與點A關于直線BD對稱,然后連結對稱點與另一個點,即連結AE,則AE的長就是PC+PE最小時的長度,即正方形的邊長4.

應用2: 如圖6,菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,E是AB的中點,P是對角線AC上的一個動點,則PE+PB的最小值為多少?

圖6

分析: 根據菱形的性質可知, 點B關于AC的對稱點為點D, ∴DE為PB+PE的最小值, ∵∠B= 120°,∴∠BAD= 60°, ∴ΔABD是等邊三角形, ∵E是AB的中點,所以DE⊥AB,∵AB=2,∴AE=∴PB+PE的最小值是

應用3: 如圖7,已知兩點P、Q在銳角∠AOB內,分別在OA、OB上求作點M、N,使PM+MN+NQ最短.

圖7

分析: 雖然此題是兩個定點、兩條定直線,但仍是線段和的最小值問題,因此,仍需要利用軸對稱,將兩個固定點用它們的對稱點來代替,然后連結兩個對稱點,連線與OA、OB的交點即為求作的點M、N,如圖8 所示.

圖8

深挖教材中的基本模型,由點到面,由淺到深,促使學生深入探究,有利于拓寬學生思維的寬度與深度,發展學生的思維品質,培養學生的數學素養.

3 以教材為本,變式延伸拓展

案例3(人教版教材八年級上冊第17 頁第8 題)如圖9,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,求x的值.

圖9

分析: 此題是已知三角形的一個角度,求另兩個內角平分線夾角的度數,由三角形內角和定理為180 度,得兩個角的度數為80°,那么它們和的一半就是40 度,在ΔBCD中,再次利用三角形內角和定理,可得x的值為140.

點評: 此題是求兩個內角平分線夾角的度數,通過計算,可以發現,

即三角形兩條內角平分線的夾角與第三個角有固定關系. 那么,三角形兩條外角平分線的夾角與第三個角有何關系呢? 三角形一條內角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角有何關系呢? 筆者對之作以下變式:

變式1: 如圖10,在ΔABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACE. 猜想∠P和∠A有何數量關系,并證明你的結論.

圖10

變式2: 如圖11,BP平分∠CBF,CP平分∠BCE. 猜想∠P和∠A有何數量關系,請直接寫出結論.

圖11

變式3: 如圖12,在銳角ΔABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分外角∠ACM,請分別寫出∠A和∠D,∠A和∠E的數量關系,并選擇其中一個說明理由;

圖12

變式4: 如圖13,AP、CP分別平分∠BAD. ∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度數.

圖13

變式教學是一條可創新的路徑,以教材文本,通過變式設計,有利于幫助學生建立知識結構,促進學生的思維向深度不斷漫溯,進而構建解決問題的思維路徑.

總之,數學教材中的習題,具有一定的代表性與典型性,其可以做為中考試題的題源,作為教師,應對教材試題進行挖掘、引申與創新,讓學生從中得其法,明其理,這也是用教材教的應有之義.