基于深度學習的高中數學課堂教學模式初探*
——以“橢圓及其標準方程”課時為例

福建省廈門市廈門實驗中學(361100) 杜曉歡

《普通高中數學課程標準》(2017 年版2020 年修訂)指出: 在教學實踐中,要不斷探索和創新教學方式,不僅重視如何教,更要重視如何學,引導學生會學數學,養成良好的學習習慣;要努力激發學生數學學習的興趣,促使更多的學生熱愛數學. 因此本文提出了“啟智”課堂教學模式,希望能夠啟迪學生的數學智慧,并試圖為高中數學教師的課堂教學提供可以參考的實操方法和案例,幫助教師在新教材和新課標的背景下盡快跟上節奏,更好地組織課堂教學,應對新高考.

1 模式緣起

“啟智”課堂的教學模式充分借鑒了深度學習的相關理論,而深度學習的提出,既是對教學規律的尊重,也是對時代挑戰的主動回應. 深度學習是落實核心素養的重要途徑,是信息時代對知識教學的反思和改進. 深度學習的研究與實踐,確立了學生個體經驗與人類歷史文化的相關性,落實了學生在教學活動中的主體地位,使學生能夠在教學活動中模擬性地“參與”人類社會歷史實踐,形成有助于未來發展的核心素養,而教師的作用與價值也在深度學習中得以充分實現. 實施“啟智”課堂的教學模式后,教師能更好地引導學生進行深度學習,達到課程標準的要求.

2 模式架構

“啟智”課堂的教學模式架構是一顆“智慧果”(如圖1),其中教學環境是“智慧果葉”,為整個教學的展開提供客觀條件的支持;問題串是“智慧果核”,是課堂的核心組織形式,是一個循環設計“問題——追問”的過程;“明暗兩線”是“智慧果肉”,使得整個課堂更豐富飽滿深刻. 教學環境、問題串和“明暗兩線”三位一體,不可分割,強調深度學習的性質:教師引導下的教學,形成了一顆完美的“智慧果”,促進學生發展,實現有意義的學習過程. 所以“啟智”課堂教學模式應用的關鍵就是布局“明暗兩線”,設計問題串.

圖1 “啟智”課堂教學模式架構

3 理論背景

對于布局“明暗兩線”,人教版高中數學教材主編章建躍博士指出教學過程要布局明暗兩線,明線一般是從內容角度給出的“基本套路”,以明線為載體,在內容中反映出數學的思想和方法,明線中蘊含著暗線. 而對于設計問題串,美國心理學家布魯納指出:“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動,思維永遠是從問題開始的.”通過這一系列高質量的問題,幫助學生“親身”經歷知識的發現與建構過程,使學生真正成為教學的主體.

4 實施策略

對于布局“明暗兩線”,一般以“事實——概念——性質(關系)——結構(聯系)——應用”為明線,以“事實——方法——方法論——數學學科本質觀”為暗線. 而對于設計問題串,循環設計“問題——追問”,不僅要問得好而且還講究串得好,問題需要具有一定的挑戰性,循序漸進、逐步深入,能夠促進學生自覺地思考,體現深度學習的過程: 讓學習真正發生.

5 模式應用

本文以“橢圓及其標準方程”課時為例,具體談談“啟智”課堂教學模式的應用.“橢圓及其標準方程”是“橢圓”單元的第一個課時,圓錐曲線是學生在過去沒有研究過的幾何圖形,橢圓的概態與性質是圓錐曲線的代表性內容,雙曲線、拋物線的內容與它同構,“橢圓”的內容架構、研究過程和思想方法與“直線和圓的方程”基本一致. 與圓的定義一樣,橢圓的定義是基于運動軌跡的,其要點是“平面內到兩個定點的距離之和為常數的點的軌跡”,設法讓學生體驗定義所蘊含的完美的數形結合思想,可以全面提升學生對數學的認識水平,形成新的數學學科視角, 提高數學表達的條理性和嚴謹性,在此過程中,學生的數學抽象、數學建模、數學運算、邏輯推理、直觀想象等素養也就得到了提升.

通過本課時的學習,學生能夠了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用,經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,掌握橢圓的定義及標準方程. 學生能通過觀察用平面截圓錐的過程,直觀認識截口曲線的形狀是圓或圓錐曲線,能通過實例,說明橢圓在生產、生活中的廣泛應用. 學生能從畫橢圓的過程中抽象出橢圓的幾何特征,給出橢圓的定義;能根據橢圓的幾何特征建立適當的坐標系,求出橢圓的標準方程,進一步體會坐標法和數形結合、化歸與轉化等思想. 學生能用橢圓的定義、標準方程解決一些數學問題和簡單的實際問題,進一步體會坐標法的重要作用.

本節課的教學環節包括物理環境、虛擬環境和人文環境, 三者共同支撐課堂的順利進行. 整個課堂教學以“現實背景——曲線的概念——曲線的方程——曲線的性質——實際應用(如圖2)”為明線,以“任何問題——數學問題——代數問題——方程求解”為暗線. 問題串包括以下四個主問題及若干追問,四個主問題具體是: 類比直線和圓的方程的研究過程,你認為我們應按怎樣的路徑研究圓錐曲線. 取一條定長的細繩,把它的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線. 有了橢圓的定義,接下來要合理地建立坐標系,推導橢圓的方程,觀察橢圓的形狀,你認為怎樣建立坐標系可使所得的橢圓方程形式簡單. 如果橢圓的焦點位于軸上,與的意義同上,那么橢圓的方程是什么? 你能不做具體推導就得出結論嗎?

圖2 課堂教學“明線”示意圖

為了更好地應用“啟智”課堂教學模式,鑒于橢圓的幾何特征比圓復雜,雖然學生剛剛學過直線和圓的方程,但是對于從哪個角度入手抽象橢圓的幾何特征會出現困惑,并且建立合適的坐標系才能得到橢圓的標準方程,這里的“合適”是指充分利用了橢圓的幾何特征,特別是對稱性,但是學生在這方面的經驗不多、意識不強. 在“互聯網+”時代,信息技術的廣泛應用正在對數學教育產生深刻影響,信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段,因此本節課充分發揮了信息技術及橢圓教具(如圖3)的作用,利用信息技術展示橢圓在現實中的廣泛應用,使學生感受學習橢圓的必要性;利用幾何畫板或小視頻演示用平面截圓錐得到圓錐曲線的過程、橢圓的生成過程及例題中點的運動軌跡,一方面可以提高教學效率,另一方面可以幫助學生形成橢圓的直觀形象;通過教具畫出橢圓,觀察作圖過程,可以讓學生真實地感受到“動點到兩個定點的距離之和為常數”這個橢圓的幾何特征,為抽象橢圓的幾何特征、得出橢圓的定義提供基礎.

圖3 橢圓教具

“橢圓及其標準方程”這一課時通過一系列引領性、具有挑戰性的問題展開,整個課時的設計結合明線布暗線,為學生營造一種開放式的教學環境,最終提升學生的數學學科核心素養,實現人的全面發展(如圖4).

圖4 “啟智”課堂教學設計示意圖

“啟智”課堂教學模式有很好的可預期的育人成效,在實施過程中,通過布局明暗兩線,設計問題串,在主問題和追問的探究與解決過程中,幫助學生樹立問題意識,提高問題解決能力,進而優化思維品質,全面提升學生對數學的認識水平,形成新的數學學科視角,培育學生數學學科六大核心素養,進而實現全面發展,達到深度學習的任務與目的: 培育未來社會實踐的主人,促進學生作為具體的社會歷史實踐主體的成長和發展(如圖5),落實立德樹人根本任務.

圖5 育人成效示意圖