教學中如何培養學生空間想象能力
——以“簡單組合體的三視圖”為例

廣西壯族自治區南寧市廣西民族大學(530006) 張權 劉恒

1 前言

《普通高中數學課程標準(2017 年版)》中指出通過高中數學課程的學習,學生能提升數形結合的能力,發展幾何直觀和空間想象能力[1].空間想象能力是數學三大基本能力之一,是人們對客觀事物的空間形式(空間形體與位置)進行觀察、感知、分析的思維能力,是形象思維與邏輯思維結合形成的一種認識、理解圖形形狀、位置及其變化的能力[2]. 有研究表明,空間能力對于右半球智力的開發十分重要,能讓學生創造性地進行數學學習活動[3]. 可以看出,培養學生空間想象能力可以在一定程度上培養學生的創新意識和創造力. 這也就回答了為什么需要在教學過程中關注學生知識技能的掌握的同時關注數學學科核心素養的形成和發展,學生通過學科學習逐步形成正確的價值觀、必備品格以及關鍵能力.

空間想象力的培養可以“借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律”[1],即學生通過觀察現實生活中的實物,想象空間事物之間的聯系,建構起對空間幾何的感知.“簡單組合體的三視圖”是借助空間中物體的形狀及位置關系培養學生對空間事物感知的內容,它是學生學習了基本幾何體三視圖畫法之后學習的知識點,是培養學生空間想象力的一個重要內容. 本節課從“組織教學,回顧舊知”到“講授新課,課堂實踐”,再到“變式教學,發散思維”,最后“布置作業,鞏固提升”,培養學生空間想象能力.

2 在“簡單組合體的三視圖”教學中培養空間想象能力

在“簡單組合體的三視圖”這節課中,教師從創設合適的教學情境,吸引學生的注意力,及引導學生回憶基本幾何體的三視圖開始,通過類比學習,由基本幾何體三視圖的繪制方法對比學習簡單組合體三視圖的畫法,讓學生們在課堂上進行實體操作,畫出簡單組合體的三視圖,及根據三視圖來還原實物圖,最后合理地布置作業,培養學生的空間想象力.

2.1 組織教學,回顧舊知

教師首先在多媒體上展示幾個生活中實物體的三視圖,組織教學,引起學生的注意,調動空間想象思維. 其次引導學生復習基本幾何體三視圖的畫法. 本節課的主要內容是“簡單組合體三視圖”的畫法,簡單組合體是由基本幾何體經過拼接或者從基本幾何體中挖掉一部分所形成的立體圖形,學生們在初中已經接觸過基本幾何體和一些簡單幾何體的三視圖,知道基本幾何體三視圖的繪制方法,由基本幾何體的三視圖逐漸延伸到簡單組合體的三視圖的學習,實現了層層遞進的教學過程. 下面以復習圓柱體三視圖的畫法為例:

圖1 圓柱體及其三視圖

從不同的方向觀察同一物體, 得到的三視圖可能不同.繪制幾何體的三視圖,首先確定主視方向,再分別從主視方向、左視方向、俯視方向對幾何體進行投影,即假設一束光分別從這三個方向投射過來,經過幾何體后打在光板上形成投影. 其次對三視圖進行繪制,投射時眼睛看得見的線段畫實線,看不見的線段畫虛線. 最后注意三視圖位置: 左視圖在主視圖的左邊,俯視圖在主視圖的下方;以及長度之間的關系:主視圖與俯視圖“長對正”,主視圖與左視圖“高平齊”,左視圖與俯視圖“寬相等”.

通過展示實物體的三視圖和回顧基本幾何體三視圖的繪制方法,激活了學生的空間想象. 同時學生在觀察三視圖形成的過程中,對三視圖的做法有了深刻的理解,為接下來學習繪制簡單組合體三視圖奠定了基礎.

2.2 講授新課,課堂實踐

繪制三視圖的過程即用數學語言表達世界的過程,數學是一門實踐性比較強的學科,特別是幾何與圖形這個模塊的學習[4]. 因此在簡單組合體三視圖的教學過程中要求學生動手實踐,讓學生繪出簡單組合體的三視圖,在繪制的過程中能夠發現問題并解決.

這部分分為三個環節: 理解新概念、教師板演、學生實踐. 第一,在本環節的學習中,起初學生對簡單組合體三視圖的繪制可能會無從下手, 但通過對簡單組合體概念的理解,學生會發現簡單組合體就是由幾個基本幾何體組成,而簡單組合體三視圖的繪制方法就是將簡單組合體拆分成幾個基本幾何體,然后分別畫出幾個基本幾何體的三視圖,最后進行拼接,本質是根據基本幾何體三視圖的繪制方法對簡單組合體的三視圖進行繪制. 第二,教師在黑板上板演,給學生示范如何繪制簡單組合體的三視圖,如例2. 第三,學生自己動手畫出簡單組合體的三視圖,教師予以指導.

例1 畫出下列圖2 螺栓簡單組合體的三視圖

圖2 螺栓組合體

經過教師引導,學生發現這個螺栓組合體是由一個正六棱柱和一個圓柱拼接而成,因此,可以將它拆成一個正六棱柱和一個圓柱,在確定主視方向之后進行投影,分別畫出正六棱柱和圓柱的三視圖并按要求擺放,從而得到這個螺栓的三視圖. 教師在黑板上對螺栓組合體三視圖的繪制過程進行演示,如圖3 所示:

圖3 螺栓組合體三視圖

教師板演之后,總結繪制簡單組合體三視圖的一般過程:第一步,先對給出的簡單組合體進行拆分,分清楚由哪幾個基本幾何體組成. 第二步,分別畫出拆分后的基本幾何體的三視圖. 第三步,跟據這幾個基本幾何體的擺放位置進行拼接,得到原來簡單組合體的三視圖.

看過教師板演之后,學生課堂實踐. 實踐是創新的源泉,實踐是檢驗真理的唯一標準,學生通過在解決問題時的動手實踐操作中,不斷發展自己的空間想象力[5]. 在實踐中形成自己的解題方法,提高這一類問題的求解能力,培養學生創造能力.

提升練習: 請同學們自行畫出這個簡單組合體(如圖4)的三視圖,教師走下講臺,觀察同學們的作圖情況,并予以指導.

圖4

由圖4 可知,這個組合體由四部分組成,兩個長方體、半圓柱體、并在半圓柱體和一個長方體的拼接處挖了一個圓柱體. 此時要注意這四部分的擺放位置以及分別從三個方向進行投影,投影時注意哪些地方看得見畫實線,哪些地方看不見畫虛線,如圖5 所示. 教師通過課堂觀察發現學生們在繪制三視圖的過程中存在以下問題: 第一,學生們沒有嚴格按照尺規作圖,使得畫出來的圖形不美觀;第二,學生們總喜歡將三幅圖放在一條線上,因此很難做到“長對正,高平齊,寬相等”;第三,學生們不理解“投影”的概念,因而不知道哪條線該畫實線,哪條線該畫虛線. 在學生實踐環節教師根據學生在作圖過程中出現的這些問題予以糾正,學生也從自己的實際操作過程中,深刻理解了簡單組合體三視圖的概念,和掌握了簡單組合體三視圖的畫法. 對于簡單組合體三視圖的繪制不僅需要學生能夠畫出組成這個簡單組合體的基本幾何體的三視圖,而且需要學生確定它們的位置,按照主、左、俯視圖的位置規范作圖,對學生做圖能力提出了更高要求的同時提高學生的空間想象能力.

圖5

2.3 變式教學,發散思維

在學習了簡單組合體的三視圖之后,學生習慣了看到實物圖去聯想三視圖這種定向思維. 為了避免學生的思維定勢,進一步提高學生的空間想象能力,可以讓學生通過簡單組合體的三視圖反推實物圖, 不僅有利于學生逆向思維的養成,鍛煉了學生的作圖能力,也能發展學生的空間想象能力. 因此本節課設計了由三視圖還原實物圖的例題,如例2.

例2根據三視圖,想象物體原型,并畫出物體的實物草圖.

教師引導學生分析: 由圖6 主視圖和左視圖可以看出這是兩個柱體的組合, 再由俯視圖可以確定上面是一個圓柱,下面是一個正四棱柱,如圖7 所示.

圖6

圖7

學生通過簡單組合體三視圖還原實物圖的學習,再一次體會空間事物的形狀以及位置關系,在更深層次上鍛煉了學生的空間想象能力,培養學生的創新能力.

2.4 布置作業,鞏固提升

培養學生的空間想象力并非全靠課堂教學,學生課后獨立思考同樣重要,這就需要教師合理地布置課后作業. 對于本節課作業的設計, 要起到培養學生空間想象能力的作用,應由易到難、層層遞進. 因此設計如下作業題[6]:

1. 畫出下列幾何體的三視圖;

2. 由下圖(1)中的三個幾何體可組成不同的組合體,如(2)(3)(4). 請分別畫出它們的三視圖;

3. 根據以下三視圖想象物體原形,并分別畫出物體的實物圖;

4. 畫出你家的一個家具的三視圖.

作業題的第一題是畫出簡單組合體的三視圖. 本題中第一個幾何體是由一個正方體削去一個頂點形成的簡單組合體,第二個幾何體是由一個正四棱柱和一個圓錐拼接而成的簡單組合體,這兩個簡單組合體的三視圖都能較容易的畫出來. 布置此題的主要目的: 一是鞏固學生的空間想象力;二是強調簡單組合體形成的兩種方法“在一個基本幾何體中切掉或挖掉一部分”和“由兩個基本幾何體拼接而成”. 第二題同樣是要求學生畫出簡單組合體的三視圖,但相比于作業題的第一題,此題在空間想象和作圖技能難度都有所提升. 第三題是考察學生有三視圖還原實物圖的能力,對學生的空間想象力提出了更高的要求. 第四題是一個開放型的問題,目的是讓學生將數學與現實生活聯系起來,理解學習數學不僅僅是為了數學而學習,更是為現實生活服務.

3 小結

“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”,簡單組合體的三視圖這節內容要求學生學會從不同的角度觀察物體,這需要一定的空間想象能力, 同時也能夠培養學生空間想象能力.數學課堂上如何培養學生的空間想象能力? 第一,教師要設計良好的導入. 好的開始等于成功一半,如在新課之前給學生觀看一些現實生活中的立體幾何,將學生的思維引入教學情境中,為一節內容做好鋪墊. 第二,教師要把握好內容的邏輯結構. 培養空間想象力在高中涉及到的內容有“線面、面面位置關系”“圓錐曲線”以及“二面角與線面角的運算”等等,在接觸到培養學生空間想象力的內容時要兼顧學生的認知規律,課程內容要循序漸進,由易入難、由淺到深. 第三,教師在教學過程中使用變式教學,引導學生發散思維,培養學生創新能力. 在培養學生空間想象力時,學生通常都是正向思維,如看到實物圖去聯想它的三視圖. 但學生需要在學會了畫三視圖的基礎上,學生要形成由三視圖還原實物圖的思維轉變,由原來的正向思維跨越到逆向思維,使得思維更加發散、靈活. 第四,教師要巧妙地設計課后作業. 根據學生課堂表現,合理地設計作業題,鞏固學生新學的知識和技能,發展學生空間想象力.