素養(yǎng)導向的高中數(shù)學作業(yè)設(shè)計策略研究*
——以“復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義”為例

福建師范大學附屬福清德旺中學(350319) 周寧

福清市教師進修學校(350300) 林新建

1 問題提出

作業(yè)是學生鞏固所學數(shù)學知識、技能和思想方法的必要途徑,也是評價教師教學質(zhì)量、學生學習效益的重要手段[1].高質(zhì)量的作業(yè)能夠提升學生的數(shù)學素養(yǎng),更能讓學生獲得積極的情感體驗,充分發(fā)揮數(shù)學教育的引導作用. 不能體現(xiàn)課標、教材及學情“三位一體”的作業(yè),無論是對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)還是教師的專業(yè)成長都是不利的.

“復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義”是2019 人教A 版必修第二冊(以下簡稱“教材”)第七章“復數(shù)”第三節(jié)“復數(shù)的三角表示”的第二個內(nèi)容,其中“復數(shù)的三角表示”為新增內(nèi)容,也是標注“*”的選學內(nèi)容. 雖然作為選學內(nèi)容,但是蘊含深刻的思想性. 通過本節(jié)內(nèi)容的學習,不僅可以認識復數(shù)乘、除運算的三角表示的幾何意義是平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,可以將復數(shù)、三角和平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題去解決,體會幾何與代數(shù)之間的密切關(guān)系,也為今后在大學期間學習復數(shù)的指數(shù)形式、復變函數(shù)論等高等數(shù)學知識奠定基礎(chǔ),具有承前啟后的作用.

因此,本文以核心素養(yǎng)為導向,立足生情,以“復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義”為載體,提出作業(yè)設(shè)計的實踐策略,增強學生對數(shù)學整體性的認識,促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2 設(shè)計策略

2.1 理解教材習題,制定素養(yǎng)作業(yè)目標

習題(包含例題、練習、習題)是教材的重要組成部分,可以在幫助學生實踐運用新知識的同時獲得能力和學科核心素養(yǎng)的提升,也是教師開展教學評價的重要資源. 對教材習題進行研究,能更好地在作業(yè)設(shè)計中落實核心素養(yǎng). 喻平教授在文中指出對教材習題分析時應(yīng)重點關(guān)注習題所體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)類型及相應(yīng)素養(yǎng)所處的水平[2].

通過對教材P89～P92 的習題分析,可以將習題的設(shè)計意圖歸結(jié)為以下幾類: (1)以復數(shù)的三角形式或代數(shù)形式為載體,考查復數(shù)乘、除運算的三角表示的掌握程度,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng),其中對邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)的考查處于水平一;(2)能夠利用復數(shù)乘法運算的三角表示解決一些代數(shù)問題,考查邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng),其中對邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)的考查都處于水平二;(3)考查利用復數(shù)乘、除運算三角表示的幾何意義解決復數(shù)、平面幾何問題,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng),相應(yīng)的素養(yǎng)的考查處于水平二.

因此,確定本課時作業(yè)目標為: (1)能應(yīng)用復數(shù)乘、除運算的三角表示進行簡單的運算和證明,培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng);(2)能利用復數(shù)乘、除運算三角表示的幾何意義解決與復數(shù)、三角或平面向量有關(guān)的問題,培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算及直觀想象素養(yǎng).

2.2 設(shè)計層次作業(yè),實現(xiàn)素養(yǎng)不同發(fā)展

作業(yè)結(jié)構(gòu)遵循教材習題欄目(“復習鞏固”、“綜合應(yīng)用”、“拓廣探索”)的設(shè)計,同時做了個創(chuàng)新,增加新的欄目“數(shù)學思考”. 這四個欄目突出基礎(chǔ)性和發(fā)展性,既有對基礎(chǔ)知識和基本能力的檢測,又重視基本思想、基本活動經(jīng)驗的考查,更關(guān)注學生思維能力的發(fā)展. 其中“復習鞏固”主要體現(xiàn)基礎(chǔ)性,考查學生對基本知識、基本技能的掌握,考查學生是否達到核心素養(yǎng)水平一;“綜合應(yīng)用”主要體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,考查學生是否能夠運用不同知識、思想方法,多角度觀察、思考、分析和解決問題,考查學生是否達到核心素養(yǎng)水平一、水平二;“拓廣探索”主要體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,考查學生是否具有創(chuàng)新性思維,是否能夠靈活運用知識分析和解決問題,考查學生是否達到核心素養(yǎng)水平二、水平三;“數(shù)學思考”主要體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,以問題情境激發(fā)學生的數(shù)學思考,讓學生明白思考什么、如何思考,深化對核心知識和思想方法的理解,考查學生是否達到核心素養(yǎng)水平二、水平三.

例如考查復數(shù)乘、除運算的三角表示的掌握程度,設(shè)計如下的作業(yè)習題:

例1(復習鞏固)復數(shù)的一個平方根是____.

例2(綜合運用) 由復數(shù)乘法的三角表示可以得到(cosθ+i sinθ)2=cos 2θ+i sin 2θ,又

所以cos 2θ= cos2θ-sin2θ,sin 2θ= 2 sinθcosθ,即二倍角公式.

你能仿照以上方法推導正弦、余弦的三倍角公式,并用sinθ表示sin 3θ,cosθ表示cos 3θ嗎?

例3(拓廣探索)求方程x3= 1 的三個復數(shù)根,并說明它們之間的幾何關(guān)系.

評析例1 需要學生通過逆向思維發(fā)現(xiàn)復數(shù)的一個平方根就是其輻角的一半;例2 以二倍角公式為背景將復數(shù)乘法的三角表示與三角恒等變換有機結(jié)合, 是一個創(chuàng)新與亮點,能夠提升學生對復數(shù)乘、除三角表示的理解,也為例3 做好鋪墊;例3 是教材“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的改編,以水平二的層次考查學生的邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng),考查學生是否能夠靈活運用復數(shù)乘法三角表示的特征解決問題,深化對復數(shù)乘法三角表示的理解. 這三個例題都體現(xiàn)對本節(jié)核心知識的考查,突出對概念理解與知識的聯(lián)系,但對關(guān)鍵能力的考查提出不同的要求. 從這些例題的作答教師可以了解學生核心素養(yǎng)的發(fā)展層次,以便在后續(xù)教學中調(diào)整、優(yōu)化教學策略,進一步提升學生的素養(yǎng)層次.

2.3 設(shè)計關(guān)聯(lián)習題,增強建構(gòu)知識能力

零散孤立的習題不利于學生建構(gòu)數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系.因此設(shè)計習題要注重前后之間的關(guān)聯(lián),讓學生能夠進行合理整合,將思維從“離散”轉(zhuǎn)向“聚合”,有助于提升核心素養(yǎng)的水平. 復數(shù)乘、除運算的三角表示的幾何意義是平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,同時三角表示也與三角函數(shù)有關(guān),因此設(shè)計習題要充分體現(xiàn)復數(shù)、向量與三角函數(shù)之間的關(guān)系,讓學生充分體會數(shù)學知識的整體性,建構(gòu)起知識的框架,從而實現(xiàn)知識方法以及學科思想的感悟與內(nèi)化.

例4(1)如圖1,復平面內(nèi)的ΔABC是等邊三角形,它的兩個頂點A,B的坐標分別為(1,0),(2,1),求點C的坐標.

(2)已知對任意平面向量-→AB= (x,y),若將-→AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量-→AP,求-→AP的坐標.

例5如圖2,已知平面內(nèi)并列的三個全等的正方形.

圖2 例5

(2)你能用其他的方法證明(1)中的結(jié)論嗎?

例6(數(shù)學思考)我們知道,復數(shù)就是向量,向量就是復數(shù). 但是向量a滿足a2= |a|2,復數(shù)z不滿足z2= |z|2. 你能解釋上述問題的原因嗎?

評析例4 與例5 都是在教材原題的基礎(chǔ)上多設(shè)計一問,其中例4 的第二問是第六章“平面向量及其應(yīng)用”習題6.4 題11 的背景知識(沒有給出推導),例5 的第二問希望學生能夠從三角及平面幾何的角度再予以證明. 例6“數(shù)學思考”是通過比較復數(shù)與平面向量及其運算的異同,使學生能夠理解數(shù)學對象及運算的本質(zhì). 以上例題側(cè)重考查對知識本質(zhì)的理解,對學生的邏輯推理、直觀想象以及綜合應(yīng)用所學知識分析問題、解決問題等數(shù)學學科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力都提出較高的要求.通過這些例題的作答,學生對復數(shù)三角表示的乘、除法及幾何意義的理解會達到一個更高的水平,對復數(shù)與三角、平面向量聯(lián)系性的認識會更為深刻.

2.4 優(yōu)化作業(yè)評價,提升學生成就感

課標指出日常評價與考試要根據(jù)學生的學習規(guī)律,對于重要的概念、結(jié)論和應(yīng)用的評價, 要循序漸進, 不要一步到位[3]. 因此在評價學生核心素養(yǎng)的發(fā)展程度時,不是簡單看完成的對錯,而是以完成的過程來進行評價. 通過分析學生的解題思路,可以評價是否達成相應(yīng)的素養(yǎng),不同的解題方法對素養(yǎng)的要求是可以不同的; 通過分析學生的完成程度,可以評價是否達成相應(yīng)素養(yǎng)的水平. 因此,在作業(yè)要求中,要明確提出客觀題也需要寫出必要的解題步驟,否則只看客觀題的結(jié)果是無法準確評價學生素養(yǎng)是否達成以及達成的水平.

例7已知請寫出一個使得z1z2運算結(jié)果是純虛數(shù)的復數(shù)z2:____.

參考解析

解法一: 不妨令z2=i,則

解法二: 同上得

解法三:z1的模為2,一個輻角,故要使得z1z2的結(jié)果為純虛數(shù),根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義可知,只需要z2的輻角為故z2可以是及其倍數(shù)均可.

評價學生若能用復數(shù)除法的代數(shù)形式求解,說明達到數(shù)學運算素養(yǎng)水平一的要求;若能用復數(shù)除法的三角表示求解,說明達到直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng)水平一的要求;若能通過輻角的關(guān)系完成本題,說明達到邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)水平二的要求.

3 結(jié)語

新修訂的課程方案要求“堅持素養(yǎng)導向”,以培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)為方向、為目標. 作業(yè)是保證課程改革成功的關(guān)鍵領(lǐng)域,是促進核心素養(yǎng)發(fā)展的重要手段. 高中一線數(shù)學教師應(yīng)深入作業(yè)設(shè)計研究, 把作業(yè)設(shè)計能力作為教師的基本功,在學習、實踐、反思中設(shè)計出高質(zhì)量的作業(yè),讓作業(yè)真正發(fā)揮其育人的功能.