建構(gòu)主義下“三個二次”關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì)

吳越

【摘 要】 ?學(xué)生已經(jīng)對二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)以及應(yīng)用有所掌握，也積累了一定的方法與經(jīng)驗(yàn)，所以在本章學(xué)習(xí)過程中，滲透、歸納函數(shù)的研究方法，適時與“三個一次”關(guān)系的探究進(jìn)行比較，尋找二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式這“三個二次”之間的聯(lián)系與區(qū)別，甚至站在函數(shù)、方程、不等式這三個數(shù)學(xué)模型更高的領(lǐng)域去看.

【關(guān)鍵詞】 ?二次函數(shù)；一元二次方程；一元二次不等式

內(nèi)容分析

設(shè)計(jì)一節(jié)“二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式”的總結(jié)提升課，我們要解決三個問題：為什么要學(xué)？學(xué)什么？怎么學(xué)？函數(shù)、方程、不等式是數(shù)學(xué)中重要的三大代數(shù)模型，它們之間有著緊密的聯(lián)系，但三者的地位又不同，函數(shù)具有統(tǒng)領(lǐng)的地位，因此，我們有必要對這些知識重新構(gòu)架整合，同時滲透思想、方法，這樣有助于對知識進(jìn)一步認(rèn)識、理解、深化和運(yùn)用.

教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者之間的關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)：會用函數(shù)圖象法求解方程、不等式，體會利用函數(shù)圖象求解方程、不等式的必要性.

教學(xué)過程

活動1 問題情境

x ?3 -7x+6=0.

師 ??函數(shù)、方程、不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，同時它們之間又存在著密切的聯(lián)系.下面首先看一個方程問題：你會解x ?3 -7x+6=0這個方程嗎？如果會，請你解出方程的解，如果不會，你有怎樣的疑惑呢？

生 ??不會，這里有一個三次方.

師 ??我們有沒有解一元三次方程的經(jīng)驗(yàn)？

生 ??沒有.

師 ??問題出在三次上，那么我們把三次改成二次，x ?2 -7x+6=0，這個方程你會解嗎？

生1 ??利用因式分解法，將方程變形為（x-1）（x-6）=0，從而得到方程的解為x ?1 =1，x ?2 =6.

生2 ??可以利用公式法.

師 ??這些方法都是從代數(shù)的角度解決問題，那么這個方程的解又有怎樣的幾何意義呢？

生 ??將該方程轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)y= x ?2 -7x+6，這個方程的解就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

學(xué)生活動 ??學(xué)生閱讀并獨(dú)立思考回答問題.

教師活動 ??請學(xué)生回答每個問題，并在黑板上寫出解答過程.

設(shè)計(jì)意圖 ??通過給出求解一元三次方程問題，讓學(xué)生提出疑惑，發(fā)現(xiàn)問題出在三次上，然后將問題中的三次改為二次，轉(zhuǎn)化為學(xué)生知識能力能夠解決的問題，并回顧從代數(shù)和幾何兩個角度來解決問題的方法.

活動2 知識準(zhǔn)備

y=x ?2 -7x+6.

師 ??教師將該二次函數(shù)的圖象畫出來，結(jié)合圖象，你能得到哪些信息呢？

請同學(xué)們帶著以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式在形式上如何轉(zhuǎn)化？（2）一元二次方程的解、一元二次不等式的解集與函數(shù)圖象的聯(lián)系？獨(dú)立思考并將想法寫在活動單上，然后進(jìn)行小組討論.學(xué)生代表展示學(xué)習(xí)成果.

生1 ??二次函數(shù)y= ax ?2 +bx+c，令y=m，就轉(zhuǎn)化為方程ax ?2 +bx+c=m，即令y為定值時，就能將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程.將一元二次方程中的等號改成不等號就能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式.

生2 ??二次函數(shù)的圖象是完整的拋物線，一元二次方程的解是圖象上的一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式的幾何意義是對應(yīng)拋物線上的一段圖象.

（總結(jié)）師 ??三者在形式上可以互相轉(zhuǎn)化，且形式不唯一；三者在幾何意義上既有聯(lián)系又有區(qū)別：二次函數(shù)的圖象是完整的拋物線，一元二次方程的幾何意義是圖象上的點(diǎn)，而方程的解就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式對應(yīng)部分圖象，不等式的解集就是符合條件圖象上點(diǎn)對應(yīng)的自變量的范圍.

師 ??剛才我們令y=0，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為 x ?2 -7x +6=0這樣的一元二次方程，這里y不僅可以等于0，任意的常數(shù)都可以，即x ?2 -7x+6=m，對于這個方程你又有怎樣的想法？

生1 ??這個方程不一定有解，可以利用根的判別式來判定.

生2 ??利用圖象法，畫出二次函數(shù)y= x ?2 - 7x+6 和y=m的圖象，根據(jù)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)也可以判定方程解的情況.

師 ??不管是令y=0，還是y=m，對應(yīng)的圖象都是水平的直線，那么能否是斜線呢？還有其他的方式將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程嗎？

生 ???可以令y=kx+b，即得到ax ?2 +bx+ c= kx+b這樣的方程.

師 ??我們回到之前的問題中，將方程具體化為： x ?2 -7x+6=x+1，這個方程的解的幾何意義是什么？

生 ??y=x ?2 -7x+6的圖象與y= x+1的圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師追問 ??該方程的解還可以看成哪兩個函數(shù)圖象公共點(diǎn)的問題呢？

生1 ???兩邊同時減6，該方程可以轉(zhuǎn)化為x ?2 -7x=x-5，因此還可以看成函數(shù)y=x ?2 -7x的圖象與y= x-5的圖象公共點(diǎn)的問題.

生2 ??兩邊同時除以x，該方程可以轉(zhuǎn)化為x－7=1－ 5 x ，因此還可以看成函數(shù)y=x-7的圖象與y=1－ 5 x 的圖象公共點(diǎn)的問題.

（這里生2的回答是在教師的提示下得到：兩邊同時減6是解方程的移項(xiàng)的步驟，還有哪些步驟可以保證等號不變，學(xué)生想到了兩邊同時除以x.）

師 ??y=1－ 5 x 這個函數(shù)不是我們熟悉的函數(shù)，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=x-8與反比例函數(shù)y=－ 5 x ，這兩個是我們學(xué)過的函數(shù).

師 ??同樣的不等式也有類似的結(jié)論，不再一一列舉.

學(xué)生活動 ??小組內(nèi)交流，并請小組代表上臺展示自主探究的成果.

教師活動 ??認(rèn)真傾聽每個小組的交流成果并做出點(diǎn)評.

設(shè)計(jì)意圖 ??學(xué)生自主探究，小組合作，全班交流加深了對二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯(lián)系的認(rèn)識和理解，并重新整合，構(gòu)建自己的知識體系.

活動3 問題解決

x ?3 -7x+6=0.

師 ??你現(xiàn)在會解x ?3 -7x+6=0這個方程嗎？

生 ??移項(xiàng)得：x ?3 -7x=-6，兩邊再同時除以x，x 2－7=－ 6 x ，然后畫出函數(shù)y=x ?2 -7， y= － 6 x ?的函數(shù)圖象，找到它們的公共點(diǎn).

師 ??請同學(xué)們畫出這兩個函數(shù)的圖象，并求出方程的解.

學(xué)生展示畫出的圖象，發(fā)現(xiàn)有三個公共點(diǎn)（-3，2），（1，-6），（2，-3），因此方程的解為x ?1 =-3， x ?2 =1， ?x ?3 =2.

師 ??這些答案是否是準(zhǔn)確值？我們可以代入方程檢驗(yàn)一下.

追問 ??在剛才解決問題的過程中，你是否有疑問？

生 ??變形后的方程x不能等于0，而原方程x可以等于0.

師 ??說明該變形過程是非同解變形，我們有沒有類似的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？

生 ??在解分式方程中，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程會出現(xiàn)增根，而這里是將整式方程轉(zhuǎn)化為分式方程會少根.

師 ??說明該解決方法并不是完美的，我們有沒有更加完美的方法？

生 ??可以直接畫出三次函數(shù)y=x ?3 -7x+6的圖象，找到它與x軸的公共點(diǎn)，問題是無法畫出該函數(shù)圖象.

師 ??我們雖不會畫這個函數(shù)圖象，但可以借助計(jì)算機(jī)幫助我們畫出圖象，也可以得到方程的解.這里我們是利用函數(shù)圖象幫助我們解決方程解的問題，同樣還能解決不等式的問題.

學(xué)生活動 ??每個同學(xué)獨(dú)立思考，之后小組內(nèi)交流，經(jīng)小組討論后，推選一種變形方式，寫在大紙條上，并拍照展示.

教師活動 ??展示學(xué)生的例子，并詢問其他同學(xué)該小組設(shè)計(jì)的對不對，有沒有疑惑.

設(shè)計(jì)意圖 ??利用二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的公共點(diǎn)來解決一元三次方程的根的問題，體現(xiàn)了將未知問題轉(zhuǎn)化為已知知識的思想方法.

活動4 小結(jié)展望

師 ??這節(jié)課我們探究了二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者的關(guān)系，在形式上可以互相轉(zhuǎn)化，且形式不唯一，在作用上，可以互相利用，同時我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式也存在相同的關(guān)系，其中函數(shù)具有統(tǒng)領(lǐng)作用，在解決問題時，以函數(shù)為核心，利用函數(shù)圖象解決方程的解與不等式解集的問題，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.我們學(xué)習(xí)知識的過程是一個由“薄”到“厚”，最終還要讓知識由“厚”變“薄”，所以我們要善于發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，抓住核心，這樣才能站在制高點(diǎn)解決問題.

教學(xué)反思

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，不僅要求學(xué)生由外部刺激的被動接受者和知識的灌輸對象轉(zhuǎn)變?yōu)樾畔⒓庸さ闹黧w、知識意義的主動建構(gòu)者，而且要求教師要由知識的傳授者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動建構(gòu)意義的幫助者、促進(jìn)者.以探索為主線，幫助學(xué)生完成本章內(nèi)容的整體建構(gòu)，知道為什么要學(xué)？學(xué)什么？怎么學(xué)？從實(shí)際出發(fā)，并讓學(xué)生舉出生活中例子，多次感受反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中是普遍存在的，引起學(xué)習(xí)興趣，明確為什么要學(xué).通過問題前置，提出解決問題的整體思路，明確學(xué)什么？通過自學(xué)學(xué)習(xí)，小組合作交流等多種方式讓學(xué)生體會探究過程，體會成功的喜悅，正是本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路.