關于勾股定理在折疊問題中的應用探究

張浩

【摘? 要】? 勾股定理廣泛應用于折疊問題中，求解時根據題干信息題理解折疊過程，提取或構建直角三角形，利用勾股定理來推導其中的線段長.本文結合實例探究三種類型問題，剖析解題過程，總結方法策略.

【關鍵詞】? 勾股定理；折疊；最值

折疊問題是初中數學重點問題，該類問題求解時需要理解折疊過程，利用折疊特性解析.同時勾股定理也常用于線段長推導中，思路構建時，需要提取其中的直角三角形，再結合勾股定理來開展線段推導或構建線段方程求解.下面結合實例探究，分情形進行應用探究.

類型一? 圖形翻折求最值

例1? 如圖1-（a），在邊長為4的菱形ABCD中，，M是AD邊上的一點，且，N是AB邊上的一動點，將沿MN所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___________.

解析? 過點M作交CD延長線于點H，連接CM，

菱形ABCD中，，.

已知，

則AM=1，MD=3.

由于，

則，

可推知，

則，

所以，

.

在Rt△MCH中，由勾股定理可得.

由題干可知將沿MN所在直線翻折得到，

所以，

則點在以M為圓心，AM為半徑的圓上，

分析可知：當點在線段MC上時，長度有最小值，

可求得最小值為.

評析? 上述為圖形折疊求線段最值問題，求解時提取其中的Rt△MCH，利用勾股定理求解線段MC.后續確定動點的運動軌跡，結合圓性質和共線定理求解.其中勾股定理應用時，有兩個關鍵點：一是作輔助線構建直角三角形；二是確定線段對應長度.

類型2? 雙折疊求面積

例2? 如圖2所示，將梯形ABCD（紙片）折疊，使點B與AD邊上的點G重合，直線AE為折痕；點C也與AD邊上的點G重合，直線DF為折痕.已知，，CF=4，則的面積是__________.

解析? 根據折疊的性質可得BE=GE，，

，，

所以，.

過G作于H，如圖2所示.

由于，

則是等腰直角三角形

，結合勾股定理可得.

由于，

則，

從而可求得的面積.

評析? 上述為雙折疊求面積問題，涉及兩個三角形折疊，需要分別理解其中的折疊過程，再結合特性求解.而使用勾股定理時，涉及了特殊情形，即對于等腰直角三角形，可靈活運用勾股定理直接獲得線段關系，即三角形的腰長為斜邊的.

類型三? 折疊中的多情形討論

例3? 如圖3，將長為4，寬為3的矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，點A，B的對應點分別為E，F，當點E為CD三等分點時，MN的長為______.

解析? 如圖3所示，過點M作于H，

則四邊形ABHM，CDMH均為矩形，

設EF，BC交于T，

則.

由折疊的性質可知，

.

情形1? 當點E是CD靠近點D的三等分點時，

，.

設，

則.

在中，，

由勾股定理得，

則，解得，

所以，.

角度推導可得，

，

所以.

設，

則，

已知，，

則，則有，

所以，

可解得，則，，

由勾股定理可得；

情形2? 同理：可知當E為CD靠近點C的三等分點時，；

綜上所述，或.

評析? 上述為圖形折疊中的多情形討論問題，討論的關鍵是根據點E的位置分兩種情形.而在使用勾股定理時，需要注意兩點：一是根據矩形及折疊性質提取其中的直角三角形；二是合理設定參數，結合勾股定理構建關于參數的方程.

結語

綜上可知，上述對勾股定理在折疊問題中的應用進行了具體探究，分為了三種情形，涉及了折疊求最值、雙折疊求面積、折疊中的多情形討論.問題的綜合性較強，探究解析需要理解折疊過程，提取其中的直角三角形，靈活運用勾股定理或變形式直接求線段或Q構建關于線段參數方程.