一道2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解析幾何題的研究

李崇榆 (華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

在2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(預(yù)賽)暨2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試(A1)卷中,解析幾何題第10題以直線與拋物線、雙曲線的位置關(guān)系為命題背景,考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本文從不同角度研究其解法并將其推廣,與讀者分享．

1 試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)一條動(dòng)直線l與拋物線Γ:y2=4x相切,且與雙曲線Ω:x2-y2=1的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B．求△AOB面積的最小值(圖1)．

圖1

2 問(wèn)題剖析

綜上,本題作為高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答題的第二題,難度中等,綜合性較強(qiáng),除高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽外,也適用于高考解析幾何的復(fù)習(xí)中,既能鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),訓(xùn)練基本的解題策略與技巧,又能在一題多解與推廣中提高思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)主動(dòng)探究精神[1]．

3 解法探究

①展開(kāi)S△AOB,利用基本不等式求最值:

②展開(kāi)S△AOB后進(jìn)行配方與換元,求二次函數(shù)的最值:

③展開(kāi)S△AOB,利用導(dǎo)數(shù)法求最值:

最值問(wèn)題是圓錐曲線的重點(diǎn)專(zhuān)題,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．對(duì)于此類(lèi)分式型函數(shù)求最值,關(guān)鍵是抓住分式型函數(shù)的特征,通過(guò)等價(jià)變形或換元簡(jiǎn)化式子結(jié)構(gòu),從而利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求最值．其中導(dǎo)數(shù)法是求最值的通法,但不一定是最簡(jiǎn)便的方法．

評(píng)注2在解法1中,若記直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)所得式子為Ax2+Bx+C=0(A≠0),則可利用下式簡(jiǎn)化運(yùn)算:

評(píng)注3在解法1中,切點(diǎn)的設(shè)法還有很多,如P(n2,2n)(n>0)或P(4m2,4m)(m>0)等,但解答與解法1是一致的,只需用n2或4m2替換解法1中的t即可．

4 問(wèn)題推廣

將拋物線與雙曲線進(jìn)行一般化推廣可以得到:

圓錐曲線總是在某些方面體現(xiàn)出驚人的一致,這正是圓錐曲線的魅力所在[2]．因此,筆者嘗試將雙曲線變成橢圓來(lái)推廣該結(jié)論,得到:

圖2

評(píng)注6由于直線和橢圓聯(lián)立得到的結(jié)果與直線和雙曲線的類(lèi)似,故對(duì)于焦點(diǎn)在x軸的橢圓,只要把b2換成-b2即可,得

此處要小心符號(hào)的正負(fù)．

評(píng)注7由命題2還可得以下結(jié)論:

①S△AOB的最大值只由a,b決定．

圖3