基于GeoGebra軟件探究平面曲線
——以“卡西尼卵形線”教學設計為例*

徐 文 祁 杰 (江蘇省鹽城中學 224002)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020修訂)》在必修課程部分指出,要將數學建模活動、數學探究活動和數學文化融入課程內容[1].這要求高中數學教學不僅要有落實立德樹人、挖掘育人價值、發展學生核心素養的教學意識,而且應將教學活動的重心放在促進學生學會學習,積極探索講授與練習、獨立思考、動手實踐、合作交流等多樣化的教學方式.高三教學時間緊、任務重,不可對知識機械重復而大量刷題,故教學須以信息技術為載體,探究新知、觸類旁通、培養創新,達到師生互動,提高課堂效率.

GeoGebra軟件(下稱GGB)的使用,體現“互聯網+”時代的特點,實現人機交流,為學生探索規律、啟發思路、解決問題提供直觀圖象,其動態效果有助于提升學生的“四能”.下文以2023年廣州高三一模試卷中一道多項選擇題為例,就如何開展數學建模、數學探究活動和數學文化的教學進行探索.

題目(2023年廣州一模)平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標系xOy中,M(-2,0),N(2,0),動點P滿足PM·PN=5,則下列結論正確的是( ).

B.OP的取值范圍是[1,3]

設計意圖該題考查數學文化背景——以卡西尼卵形線為載體,要求學生自行探索卡西尼卵形線的性質.以解析幾何的數形結合方法,借助GGB,讓知識活起來.

1 問題提出

生1:該軌跡是橢圓.

生2:該軌跡是雙曲線.

問題3已知平面內兩定點A,B的坐標分別為A(-2,0)和B(2,0),點P為該平面上的一個動點,且PA·PB=5,則點P的軌跡是什么圖形?

師:請大家對比這3個問題,想一想,它們之間的表述有何區別和聯系?

生3:它們分別是探究平面上一動點到兩定點的距離之和、差、積為常數的軌跡問題.

設計意圖對比教材中的知識點,從簡單問題入手提出問題,引發學生思考,學會知識遷移,體現“情境與問題”核心素養.

2 操作模擬

活動1 請利用GGB模擬其軌跡圖象.

課堂操作得到圖1.

圖1 PA·PB=5圖象

活動2 已知平面內兩定點A,B的坐標分別為A(-2,0)和B(2,0),點P為該平面上的一個動點,且PA·PB=4,則點P的軌跡是什么圖形?請利用GGB模擬其軌跡圖象.

生5:同剛才操作,只需在軟件中輸入新的表達式即可.

課堂操作得到圖2.

圖2 PA·PB=4圖象

活動3 已知平面內兩定點A,B的坐標分別為A(-2,0)和B(2,0),點P為該平面上的一個動點,且PA·PB=3,則點P的軌跡是什么圖形?請利用GGB模擬其軌跡圖象.

生6:同剛才操作,只需在軟件中輸入新的表達式即可.

課堂操作得到圖3.

圖3 PA·PB=3圖象

師:不錯.由這3次圖象模擬可發現,該軌跡的圖形與和差積型的數據有關.

設計意圖將復雜的幾何關系通過代數的建構轉化為信息技術模擬,培養了學生的數學思考能力,并和以前研究的定點定值問題做對比,產生思維突破,體現自主實踐的重要性,激發了學生的學習興趣,同時在建模過程中將具體問題簡單化,體現“知識與技能”核心素養.

3 實驗探究

師:現在我們來探究一下,該動點的軌跡和乘積有怎樣的關系.

活動4 已知平面內兩定點A,B的坐標分別為A(-2,0)和B(2,0),點P為該平面上的一個動點,且PA·PB=a2,則點P的軌跡是什么圖形?請利用GGB模擬其軌跡圖象.

生7:同剛才操作,只需在軟件中輸入新的表達式即可.

課堂操作得到圖4.

設計意圖通過對具體數字抽象為字母的變化研究,用GGB模擬,體現圖形變化差異,對橢圓、雙曲線等知識進行了復習,激發學生的好奇心,為發展他們今后學習工作中所需的創造力打下基礎,以此踐行新課標的教學理念,體現“交流與反思”核心素養.

4 實驗推廣

師:拖動a的滑動條,仔細觀察,圖象的確隨著a的變化而變化,但是由于無法確定a是如何影響動點運動的,故再進一步對其推廣.

定義1 已知平面內兩定點A,B,且AB=2c(c>0),點P為該平面上的一個動點,且PA·PB=a2(其中a>0),則點P的軌跡稱為卡西尼卵形線.

活動5 請利用GGB模擬其一般情形下的軌跡圖象.

生8:同剛才操作,只需在軟件中輸入新的表達式即可.

課堂操作得到圖5.

圖5 c=2,a=2.2圖象

師:分別拖動a和c的滑動條,可發現什么關系?

生9:當a=c時,可發現軌跡是一個倒“8字形”的圖形.

師:我們稱此時的圖象為雙紐線.還有其他關系嗎?

生10:當a

生11:當c=2,2

生12:當c=2,a>2.8時,其圖形變化為一個上凸圖形.

師:從下凹變到上凸,應該有一個平緩的過程,請猜測一下,此時c與a應該滿足一個怎樣的關系?

師:我們現在將上述5種情況的圖形用GGB匯總出來.

課堂操作得到圖6.

圖6 a,c取不同值時的圖象

師:由圖6,我們可以得到圖象的哪些性質?

生14:其圖象關于x軸、y軸和原點對稱.

生15:PA+PB≥2c.

生16:當點P運動到左、右兩端點時,OP最長.

設計意圖通過對雙字母的變化研究,用GGB模擬,體現復雜與簡單的辯證關系,并能從中得到定量與定性的結果,激發學生的創造力,摒棄高三數學“為復習而復習,無新知識可學”這一論調,體現“思維與表達”的核心素養.

5 實驗總結

師:由圖象可以得到以下幾個性質.

性質1 卡西尼卵形線關于x軸、y軸和原點對稱.

性質2PA+PB≥2c.

設計意圖通過對加、減、乘不同的數學運算,建立起數學模型變化;又通過對上面“a,c的滑動條變化”的數據分析,將原本一道較為抽象的多項選擇題,運用GGB模擬,轉化為易于直觀想象且生動形象的圖象來解讀,內含“特殊與一般”的邏輯推理關系,實質體現了“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”這六大數學核心素養.

6 練習升華

不少學生的學習停留在只會做基礎的套路題和簡單的變式題的層面上,對考試中的把關題、創新題型有恐懼感,此外新高考數學文化題的閱讀量的提升讓學生望而生畏,為此設計了如下的思考題.

練習 已知平面內兩定點A,B,且AB=2c(c>0),點P為該平面上的一個動點,且PA·PB=a2(其中a>0),求S△PAB的最大值.

師:由此,我們可以得到性質4.

定義2 若點P滿足PA⊥PB,我們稱這樣的點P為卡西尼卵形線的穩定點.

師:現在我們請同學根據圖1對原題進行解答.

生18:對于選項A,有兩種方法可以求解.

法二:直接取y=0,此時解得x=±3,結合 圖1可知-3≤x≤3,所以選項A不正確.

生19:對于選項B,同樣有兩種方法可以求解.

法二:取x=0,得y=±1,取y=0,得x= ±3,結合圖1,可得OP∈[1,3],所以選項B正確.

師:本題答案為BC.如果知道卡西尼卵形 線的相關圖象及其性質結論,這道題就能迎刃而解.

設計意圖前后呼應使問題得到解決,避免了空洞講解或不得要領,讓學生真懂、真會,拓寬視野,既解決了本節課一開始提出的問題,又體現了對數學文化題的研究模式.

7 課后作業

師:請用本節課探究問題的方案,探索平面內一動點到兩定點的距離之比為常數的點的軌跡圖形(阿波羅尼斯圓).

8 啟發思考

數學探究活動是新課程中必不可少的一部分,它是一個將抽象問題具體化、復雜問題簡單化的辯證思維過程.本次教學通過學生手動操作GGB,直觀地、多角度地對數學難題進行深度探究,有效提升了學生的學習興趣,拓展了學生的數學思維,為新知識的探究理解提供了有效途徑,也呈現了新課程的教學思路.