高中數(shù)學(xué)建模校本課程的開(kāi)發(fā)與實(shí)踐*

唐 秦 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

1 課程目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱“課標(biāo)”)對(duì)數(shù)學(xué)建模的描述為“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)”[1]5．通過(guò)數(shù)學(xué)建模教學(xué),學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián);學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題,積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn);認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模在解決科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)等問(wèn)題中的作用[1]6;加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解;學(xué)會(huì)交流與合作;提升應(yīng)用能力,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神．

由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)建模強(qiáng)大的教育功能及在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要意義.為積極落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)理念,促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展,本校開(kāi)發(fā)了數(shù)學(xué)建模校本課程,旨在讓學(xué)生積累解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維與想象力,讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的邏輯演繹與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力、交流表達(dá)能力,增強(qiáng)毅力和信心．

2 課程實(shí)施

基于課程目標(biāo)及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知現(xiàn)狀,課題組將課程分為三個(gè)階段開(kāi)展(圖1):

圖1 課程實(shí)施的三個(gè)階段

第一階段,指導(dǎo)學(xué)生“入門”,使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵、完整流程、基本模型的求解等的初步認(rèn)知．

第二階段,通過(guò)讓學(xué)生研究和分享優(yōu)秀建模論文,感受常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”,發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,并能夠嘗試套用或調(diào)整現(xiàn)有模型解決問(wèn)題,逐步讓學(xué)生從局部走向整體、從模仿走向自主,不斷地“打開(kāi)思路”．

第三階段為“實(shí)戰(zhàn)”階段,學(xué)生能夠獨(dú)立發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題,構(gòu)建模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題,能夠?qū)δＰ瓦M(jìn)行反思與評(píng)價(jià),并能參加各類建模競(jìng)賽,提升創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力．

2.1 入門階段

本階段課程以理論教學(xué)和專家講座為主,理論教學(xué)分為兩部分:

(1)利用問(wèn)題示例使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵及一般步驟

讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)建模與文字應(yīng)用題的本質(zhì)區(qū)別,需特別說(shuō)明的是本課題組基于課標(biāo)及Blum和Lei[2]提出的建模七循環(huán)過(guò)程,將數(shù)學(xué)建模分為模型的簡(jiǎn)化與構(gòu)建、模型的求解以及模型的解釋與評(píng)價(jià)三個(gè)子過(guò)程,并以此開(kāi)展建模教學(xué)．

(2)介紹經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型

包括社會(huì)經(jīng)濟(jì)模型(如怎樣選擇存貸款方式、如何安排投資、如何計(jì)算折舊、如何控制庫(kù)存)、估算擬合模型(如身高與課桌椅高度、身高與鞋的尺碼)、概率統(tǒng)計(jì)模型(如風(fēng)險(xiǎn)決策)、最優(yōu)化模型(如最短路模型、最大流問(wèn)題、工程網(wǎng)絡(luò)圖問(wèn)題)等,案例的選擇主要參考了各版本高中教材、《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》《張思明與中學(xué)數(shù)學(xué)建模》等資料．

除教師的理論教學(xué)外,課題組還與大學(xué)緊密合作,邀請(qǐng)大學(xué)教授給學(xué)生開(kāi)設(shè)相關(guān)講座．講座主要以介紹創(chuàng)新建模案例為主,如不可召回的秘書(shū)招聘、眼科病床的合理安排、氣象觀測(cè)站調(diào)整、生活中的最優(yōu)化等問(wèn)題,案例源于現(xiàn)實(shí)生活,建模過(guò)程綜合性強(qiáng),富有挑戰(zhàn)性．大學(xué)教授們高屋建瓴的講解激發(fā)了學(xué)生的求知欲,拓寬了學(xué)生的視野,并加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解,提升了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．

2.2 打開(kāi)思路階段

本階段以學(xué)生沙龍的形式開(kāi)展建模教學(xué),教學(xué)內(nèi)容主要是從中國(guó)知網(wǎng)(CNKI)、萬(wàn)方數(shù)據(jù)資源系統(tǒng)、維普中文科技期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù)、Springer、Eric等網(wǎng)站中下載的適合高中生的一些建模類論文．學(xué)生自由分組,任意選擇一篇小論文進(jìn)行探究,并從以下幾個(gè)角度進(jìn)行思考與討論:

(1)作者想要解決什么問(wèn)題,研究有何實(shí)際意義?(2)作者是如何構(gòu)建模型的?(3)作者是如何求解模型的?(4)模型是否可以遷移到其他問(wèn)題中?

表1為某組學(xué)生分享的案例．學(xué)生通過(guò)課題的匯報(bào)與分享,增強(qiáng)了團(tuán)隊(duì)合作能力及數(shù)學(xué)建模能力,同時(shí)打開(kāi)了思路,提出了很多新問(wèn)題．

表1 學(xué)生分享的案例

2.3 實(shí)戰(zhàn)階段

本階段課程以小組合作的形式展開(kāi),4人一組,經(jīng)歷“選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題”四個(gè)環(huán)節(jié),最終將研究成果以研究報(bào)告或論文形式呈現(xiàn)．

學(xué)生的選題有的是對(duì)沙龍過(guò)程中某些建模案例的再思考(如由哥尼斯堡七橋問(wèn)題聯(lián)想到郵遞員配送線路設(shè)計(jì)、由新能源汽車保有量問(wèn)題聯(lián)想到如何燒開(kāi)水最省燃?xì)獾?,有的則源自對(duì)生活中某一問(wèn)題的思考(如紅綠燈的時(shí)間設(shè)置問(wèn)題、如何實(shí)現(xiàn)自動(dòng)泊車等)．

選題完成后,研究小組搜集相關(guān)文獻(xiàn),初步確定研究方法及研究工具,并完成開(kāi)題報(bào)告．開(kāi)題環(huán)節(jié)集中課題組教師和所有小組成員智慧,大家共同出謀劃策,完善研究思路．

接著就是做題環(huán)節(jié),過(guò)程中團(tuán)隊(duì)成員分工明確,有的學(xué)生負(fù)責(zé)文獻(xiàn)的搜集與整理,有的學(xué)生負(fù)責(zé)編程完成模型求解,也有學(xué)生專門負(fù)責(zé)論文撰寫(xiě)．

完成論文后即進(jìn)行結(jié)題,教師給出修改意見(jiàn),最終完成整個(gè)建模環(huán)節(jié)．

除團(tuán)隊(duì)合作建模外,課題組還組織學(xué)生參加各類高中生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,如美國(guó)高中生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(HiMCM)、北師大數(shù)學(xué)建模能力展示活動(dòng)等,以賽促訓(xùn),激發(fā)興趣,提高實(shí)戰(zhàn)水平．

3 小結(jié)與反思

數(shù)學(xué)建模校本課程開(kāi)發(fā)3年多來(lái),共有兩屆學(xué)生參與了相關(guān)課程,學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力得到了極大的提升,一百余人次在北師大數(shù)學(xué)建模能力展示活動(dòng)中獲一、二等獎(jiǎng),五個(gè)團(tuán)隊(duì)在HiMCM中獲獎(jiǎng),其中一組獲國(guó)際一等獎(jiǎng),學(xué)生的所有研究成果都被整合到數(shù)學(xué)建模校本教材中,供后續(xù)教學(xué)使用．整個(gè)課程開(kāi)發(fā)及實(shí)踐過(guò)程中,課題組不斷探索與優(yōu)化教學(xué)方式,積累了以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)．

3.1 精選教學(xué)案例

在課程實(shí)施過(guò)程中,學(xué)生受“郵遞員配送線路”問(wèn)題啟發(fā),設(shè)計(jì)了“學(xué)校高峰微專線”,方案被市交通局所采納并應(yīng)用到1006路公交新線路的安排中,該路線發(fā)車時(shí)間相對(duì)固定、頻率較高,大大方便了周邊家長(zhǎng)和學(xué)生的出行,優(yōu)化了本校周邊上下學(xué)交通擁堵的問(wèn)題．由此可見(jiàn),經(jīng)典的建模案例容易打開(kāi)學(xué)生的思路,讓學(xué)生對(duì)建模實(shí)踐產(chǎn)生極大的熱情．因此教師要在選材上動(dòng)腦筋,設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題應(yīng)貼近學(xué)生的認(rèn)知水平,是學(xué)生在生活中熟悉的、富有趣味的問(wèn)題,構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型盡可能經(jīng)典易推廣．

3.2 轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)觀念

高中建模問(wèn)題來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活,具有一定的開(kāi)放性且涉及范圍較廣,所用的知識(shí)可能也不僅局限于數(shù)學(xué)．教師需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念和教育理念,要學(xué)會(huì)肯定不同的觀念與見(jiàn)解,要把自己看成學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的引導(dǎo)者、參與者與合作者,而不是建模活動(dòng)的裁判．正如Blum所說(shuō),“對(duì)于高質(zhì)量的教學(xué),教師應(yīng)該支持學(xué)生的個(gè)人建模思路,并鼓勵(lì)多種解決方案”[3]．現(xiàn)在的學(xué)生思維 敏捷,接觸面較寬,想象力豐富,常常會(huì)發(fā)生學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考和解決問(wèn)題所用的方法超出教師的想象的情況,教師需放低自己的心態(tài),和學(xué)生一起學(xué)習(xí),在與學(xué)生討論、探索的過(guò)程中提升自身的能力．

3.3 引導(dǎo)團(tuán)隊(duì)合作

數(shù)學(xué)建模面對(duì)的實(shí)際問(wèn)題往往是未進(jìn)行加工的“原胚”形問(wèn)題,綜合性強(qiáng),需要同學(xué)之間密切配合,發(fā)揮各自所長(zhǎng)．課題組通過(guò)學(xué)生沙龍讓每位學(xué)生參與進(jìn)來(lái),吸取別人好的想法,并對(duì)最終的解決方案進(jìn)行評(píng)價(jià),不斷提升自身的建模水平;實(shí)戰(zhàn)階段采用小組合作形式,各有分工,取長(zhǎng)補(bǔ)短、相互配合,通過(guò)思維的碰撞產(chǎn)生創(chuàng)意的火花,不斷提升建模能力．

4 結(jié)語(yǔ)

不論從新課程落地的需要還是從學(xué)生終身發(fā)展的需要看,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力都應(yīng)該是學(xué)校教育需要重點(diǎn)關(guān)注的,本校高中數(shù)學(xué)建模校本課程為學(xué)生的自主發(fā)展提供了一個(gè)良好的平臺(tái)．當(dāng)然,這一校本課程的開(kāi)發(fā)研究是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程,課程的推進(jìn)和進(jìn)一步完善還需要不懈的堅(jiān)持和努力,本課題組也將繼續(xù)堅(jiān)持課程開(kāi)發(fā)與實(shí)踐,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．