引導(dǎo)深度學(xué)習(xí) 探尋素養(yǎng)培育
——例談圓錐曲線定值定點(diǎn)問題

王永山 (江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

在高三數(shù)學(xué)的專題復(fù)習(xí)中,如何能真正做到精講精練、講究實(shí)效,是高三數(shù)學(xué)教師面對的一個(gè)重要課題．從典型的問題入手,提煉和優(yōu)化方法,通過一題多解觸類旁通,或一題多變舉一反三,可使學(xué)生在遇到某類問題時(shí)能在頭腦里形成知識網(wǎng)絡(luò)圖,通過快速搜索鎖定思路,從而達(dá)到解題時(shí)有如“一覽眾山小”般的掌控全局的程度,高效解決問題．

平面解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題一直是高考考查的熱點(diǎn)．研究高考真題可以明確復(fù)習(xí)方向,一輪復(fù)習(xí)中也可以適當(dāng)改編高考題,讓老題發(fā)新芽,讓高考題在復(fù)習(xí)中奏出華美的樂章．近年來的高考試題強(qiáng)化概念、注重基礎(chǔ)、著意思維,對深化“立德樹人”的教育理念起到了一定的導(dǎo)向作用,體現(xiàn)了“以人為本”命題理念．

圖1

(1)求證:直線MN必過一定點(diǎn).

(2)過點(diǎn)B作直線MN的垂線,垂足為Q.

①求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

②是否存在定點(diǎn)H,使QH為定值?若存在,求出定點(diǎn)H及定值QH;若不存在,請說明理由．

1 問題分析,使思維得以明朗

1.1 瞄準(zhǔn)圖象“對稱”的特征,讓視角從客觀走進(jìn)微觀

本題先思考動(dòng)直線過的定點(diǎn)是否有什么特征．從題目已知條件m>0可知點(diǎn)T在x軸的上方,為什么會(huì)有這樣的條件?如果將點(diǎn)T對稱到x軸的下方呢?經(jīng)分析不難看出,也有同樣的M,N的對稱點(diǎn)M1,N1,這樣MN與M1N1的交點(diǎn)必在x軸上．因此,我們認(rèn)定直線MN過的定點(diǎn)必在x軸上,這一宏觀認(rèn)識的重要性不言而喻,它能使我們的運(yùn)算有的放矢．

1.2 抓住“點(diǎn)在直線上”的特點(diǎn),讓問題從發(fā)現(xiàn)走向解決

通過分析知道定點(diǎn)在x軸上,大多數(shù)學(xué)生是通過直線和橢圓方程聯(lián)立求解的．

思路1 通過兩次聯(lián)立分別求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo),求出直線斜率,再代入點(diǎn)斜式方程得直線MN的方程

令y=0,解得x=1,最終確定點(diǎn)S(1,0)．其實(shí)這步化簡有點(diǎn)突兀,缺乏邏輯性,為什么會(huì)直接令y=0?所以還是要盯住直線特征——定點(diǎn)必在x軸上,進(jìn)一步將直線往y=k(x-t)這一形式上化簡:

點(diǎn)評此法是通法,雖運(yùn)算量相對較大,但還是要熟練掌握運(yùn)算過程,因?yàn)橛袝r(shí)必須通過求兩點(diǎn)進(jìn)一步求直線方程．

思路2 設(shè)直線MN的方程,這里有一個(gè)設(shè)法的選擇,設(shè)lMN:y=kx+t還是lMN:ty=x+n?顯然,第一種設(shè)法最后得出的是k,t的關(guān)系式t2-10kt+9k2=0,而第二種設(shè)法能得出n=-1,運(yùn)算量上有差別.所以根據(jù)圖形特征從宏觀上認(rèn)識定點(diǎn)的位置很重要．

點(diǎn)評這種方法雖然很常規(guī),但許多學(xué)生還是運(yùn)算不下去,如何突破是關(guān)鍵．

探究1 不對稱式ty1y2-2(n+3)y1+(n-3)y2=0如何處理?

因?yàn)橛蓛蓚€(gè)三點(diǎn)共線,可知點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)滿足關(guān)系式

消去x1,x2后得到不對稱式

ty1y2-2(n+3)y1+(n-3)y2=0．

做到這里,有學(xué)生停滯不前了．這個(gè)關(guān)卡有點(diǎn)難度,由

之間的關(guān)系可得

通過消元的方法把y1y2用y1和y2替換,降成一次式

(3+3n)[-y1(n+3)+(n-3)y2]=0,

從而得出n=-1．

探究2 是否可以構(gòu)造出對稱式,直接用韋達(dá)定理呢?

點(diǎn)M,N在橢圓上,一定滿足橢圓方程,如果將(*)式兩邊平方,則有

x1x2-5(x1+x2)+9=0(將不對稱式轉(zhuǎn)化成對稱式)?t2y1y2-t(n+5)(y1+y2)+n2+10n+9=0?n2+10n+9=0,解得n=-1或-9(舍)．

探究3 為什么探究2中有個(gè)-9?

這是因?yàn)槲覀儗?*)式平方后不再與前面的關(guān)系式等價(jià),從而產(chǎn)生了增根．

以上兩種做法是學(xué)生在解題中常使用的方法,但運(yùn)算量都很大,對學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)是很大的考驗(yàn)．

1.3 善于“溯本求源”,讓問題從解決走向貫通

①為什么kBNkBM為定值時(shí),直線MN能過定點(diǎn)?

②kBN+kBM為定值時(shí)直線MN是否能過定點(diǎn)?

③如果點(diǎn)B在其他位置,kBNkBM為定值或kBN+kBM為定值時(shí),直線MN是否能過定點(diǎn)?

從以上解題過程可以看出:過圓錐曲線上一點(diǎn)A(x0,y0)作兩條斜率和或積是定值的弦AM,AN時(shí),總將圓錐曲線方程化簡成齊二次方程f(x-x0,y-y0)=0的形式,進(jìn)一步構(gòu)造出二次方程Ak2+Bk+C=0．當(dāng)kANkAM或kAN+kAM為定值時(shí)得出直線方程中兩個(gè)參數(shù)的線性關(guān)系,所以一定過定點(diǎn)或斜率為定值(當(dāng)kAN+kAM=0時(shí))．同理,我們可以思考點(diǎn)A(x0,y0)不在圓錐曲線上的情形．其實(shí),只要抓住問題的本質(zhì)——過定點(diǎn)就是直線方程中兩個(gè)參數(shù)存在線性關(guān)系,如果構(gòu)造出的齊二次方程f(x-x0,y-y0)=0,利用韋達(dá)定理得出了兩個(gè)參數(shù)的一次關(guān)系式,就是過定點(diǎn)或斜率為定值,若是二次關(guān)系式,則直線不過定點(diǎn)．這樣通過對這類問題的“本源”的探究,讓我們不但會(huì)求定點(diǎn),更能理解為什么過定點(diǎn)及何時(shí)就不再有這一特性了．

2 問題延伸,使思維得以深入

下面以試題為例,體會(huì)通過變形二次曲線方程構(gòu)造齊次式求解的方法．

(1)求l的斜率;

例2如圖2,已知拋物線C:y2=4px(p>0)的焦點(diǎn)為F,且點(diǎn)M(1,2)到點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大p．

圖2

(1)求拋物線C的方程．

解法1拋物線方程為C:y2=4x,與直線l:x-m(y+2)-5=0聯(lián)立,得y2-4my-8m- 20=0．因?yàn)棣?0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得

而MA2=(1-x1)2+(2-y1)2

同理,

化簡代入可得

解得m=1或-3．

點(diǎn)評本題中直線l:x-m(y+2)-5=0過定點(diǎn)N(5,-2),也就是說,從拋物線C:y2=4x上一定點(diǎn)M(1,2)出發(fā)的兩條弦與拋物線相交的另兩個(gè)交點(diǎn)A,B的連線過定點(diǎn),我們可以推測出MA,MB的斜率之積(或和)為定值,詳解如下．

(1+4n)k2+(4t-4n)k-4t=0,

-3.

這樣做運(yùn)算明顯簡單了．所以磨刀不誤砍柴工,解決解析幾何的定點(diǎn)定值問題優(yōu)化方法很重要．

點(diǎn)評本題解法2對學(xué)生的思維要求很高,學(xué)生要對從一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦的斜率和(或積)為定值時(shí)直線過定點(diǎn)的問題理解透徹,不僅能求出定點(diǎn)是什么,還要清楚為什么過定點(diǎn)．題目如何改編會(huì)變成直線斜率為定值?解決此類問題從算理的角度講就是方程思想統(tǒng)領(lǐng)全局,從算法的角度上講就是精于預(yù)算、敢于硬算、勇于巧算、樂于不算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算既要有對全局的戰(zhàn)略把控,也要有細(xì)節(jié)的戰(zhàn)術(shù)拿捏．

3 問題總結(jié),使思維得到凝練

對問題1第(2)問,學(xué)生讀題后束手無策,此時(shí)點(diǎn)撥的重要性就體現(xiàn)出來了:前面我們分析了“動(dòng)”和“定”的源頭,現(xiàn)在讓我們找定點(diǎn),使之與動(dòng)點(diǎn)垂足Q連線的線段長度為定值,相當(dāng)于“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值”,引導(dǎo)學(xué)生回到圓的定義．雖然圓心、半徑都沒有,但知道垂足Q在圓上．當(dāng)意識到一個(gè)直角頂點(diǎn)在圓上時(shí)會(huì)去尋求直徑,當(dāng)意識到定圓的這條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是定點(diǎn),那么聯(lián)系第(1)問的定點(diǎn)B,S,直徑的兩個(gè)端點(diǎn)順理成章浮出水面,圓心、半徑呈現(xiàn)出來了．這種分析需要直觀想象素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生有“軌跡”的意識,順藤摸瓜,培養(yǎng)和提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).這種方式直接碾壓“告知式”的題目講解．

4 問題反思,使思維得到升華

數(shù)學(xué)試題往往存在一題多解、計(jì)算量相差懸殊的現(xiàn)象,運(yùn)算的熟練性不完全是熟能生巧的問題,它是運(yùn)算方法與相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合的產(chǎn)物,所以要引導(dǎo)學(xué)生思考問題的來龍去脈,促進(jìn)他們構(gòu)建并完善基礎(chǔ)知識體系,使基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化,讓他們體會(huì)到可以綜合不同的知識進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換,使運(yùn)算化繁為簡,提高運(yùn)算的簡捷性．在解析幾何的教學(xué)中要特別注意把數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài),多讓學(xué)生去思考、去感悟,設(shè)置路標(biāo),導(dǎo)航引路,幫助學(xué)生構(gòu)建思維鏈,逐步培養(yǎng)學(xué)生的類比聯(lián)想能力.實(shí)踐表明,這是化難為易、化繁為簡、有效提高學(xué)生解題能力的重要法寶．

緊扣課程標(biāo)準(zhǔn),立足教材,選準(zhǔn)具有示范性、發(fā)散性、重點(diǎn)突出的典型問題,充分體現(xiàn)知識的形成過程,通過一題多解、類比方法,進(jìn)行總結(jié)優(yōu)化,乃至進(jìn)行一題多變．問題進(jìn)行變式后,能引導(dǎo)學(xué)生有意識地從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探尋規(guī)律,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力．讓學(xué)生擁有更多的思考空間,去體會(huì)數(shù)學(xué)中的定義、定理．提出“什么是”“為什么是”“具有什么特性”“如何應(yīng)用”等問題串,讓學(xué)生通過觀察形成直覺思維,再通過邏輯思維的運(yùn)算、推理產(chǎn)生頓悟,經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)和方法的形成過程,以問題貫穿整個(gè)知識體系,把學(xué)生的思維引向一定的高度和深度,提高學(xué)生的思維素養(yǎng).如此,學(xué)生才會(huì)真正愛上數(shù)學(xué),才能真正從中受益．