基于理性精神的數學教學實踐研究
——以“利用空間向量求夾角”為例

華子謙 (江蘇省太倉高級中學 215411)

1 問題的提出

在數學教學活動中,尤其是在講授公式、定理的規律課中,教師往往注重學生對公式的應用,為此自己板書定理的推導過程,再訓練學生熟練解題,而常常忽視了學生數學理性精神的培育．理性精神能夠給學生探尋真知的動力、認識世界的信念,培養他們求真務實的態度[1]．

因此,高中數學的課堂需要改變教師在課堂中一講到底的局面,充分讓學生去探究,領悟新知識并內化于心．每節課至少要選取一個知識點或知識板塊,在精心預設的基礎上,交給學生自主學習,通過合作探究、交流展示、大膽質疑等方式生成新的知識,追尋事物的本質、規律及內部聯系．

2 理性精神視角下的教學設計思考

對于學生數學理性精神的培育,本文結合“利用空間向量研究夾角問題”課例,從以下三個方面進行思考與設計．

2.1 選點預設,追尋理性精神的晨曦

利用空間向量研究線線角、線面角、面面角的內容及其教育價值是什么?在歷年的全國卷中,空間角的求法與計算是常考內容,空間向量的作用是通過建立空間直角坐標系來研究立體幾何問題,它是一種有效的工具．事實上,運用綜合幾何方法完全可以解決相關問題,并且有些問題也不能借助空間向量來求解,如2020年全國二卷理科數學解答題第20題,所以教學目標不能僅僅體現在知識點上,還要體現在思維發展和科學探究精神與方法的培養上,教師應把怎樣研究問題放在核心地位．從教學過程中我們可以看出,重點是讓學生掌握學習知識的方法,這才是本節課真正的教學意義．

基于以上認識,在本課教學設計中,只將探究線線角作為示例,板演異面直線之間的夾角,梳理探究過程中需要注意的點,如角的位置及范圍、直線的夾角與向量夾角之間的關系、結論的統一,讓學生在課堂中感受并領悟其探究的過程,使線面角及面面角的探索有理可依、有據可循,并鼓勵學生嘗試完成線面角及面面角的探索．

2.2 溫故知新,追逐理性精神的曙光

利用空間向量研究線線角、線面角、面面角的內容與其他數學內容的聯系是什么?我們知道,空間向量的運用是在“平面向量及其應用”和“立體幾何初步”的基礎之上進行教學的,向量的坐標化使解決平面幾何的距離(長度)和角度問題更為有效．類比平面向量解決平面幾何度量角的問題的方法,使用空間向量可以更方便地研究立體幾何長度和角度等度量問題.基于這樣的認識,空間向量的知識結構就清晰了,向量方法的發現根源就明了了．

因此,本節課先復習引入,深化知識,幫助學生找到源頭,讓學生感受到既然利用平面向量數量積找到向量夾角就可以解決平面幾何度量角度的問題,那么立體幾何有關度量角度的問題也可以利用空間向量進行解決,這正是弗賴登塔爾所指出的“數學化”再認識．

2.3 類比探究,沐浴理性精神的春光

幫助學生學習空間向量的教學策略可采取四步走的方法:一是啟發,通過復習發現可以利用向量來研究平行與垂直關系,由此提出問題;二是示范,以空間向量求線線角問題為例,展示問題探究的方法與過程;三是運用,讓學生自己解決問題;四是升華,進行課后思考,用這個方法能發現更多的問題嗎?現實生活中有空間向量的應用嗎?

3 教學過程設計

3.1 復習回顧向量有關知識(預備知識)

師:在學習本節課之前我們一起來回顧一下我們已經學過的向量夾角有關的公式．

生:學過的有關向量夾角的公式包括兩向量數量積的定義、兩向量夾角公式和夾角公式的坐標表示．

3.2 新課講授

師:接下來我們提出一個設想,能否利用方向向量與法向量來研究空間向量的夾角問題呢?我們來做一番探究．

設計意圖用思維導圖方式,加深學生對知識的理解,為接下來利用方向向量與法向量來研究空間向量夾角問題做鋪墊．

·小試牛刀:線線角

定義:過空間任意一點O分別作異面直線a與b的平行線a′與b′,那么直線a′與b′所成的銳角或直角,叫作異面直線a與b所成的角(圖1)．

圖1

問題1當a與b的夾角不大于90°時(圖2),異面直線a,b所成的角θ與a和b的夾角的關系是什么?

圖2

生:θ=〈a,b〉時,得cos〈a,b〉=cosθ．

師:當兩個向量的夾角不是銳角的時候,我們又能得到什么結論呢?

問題2a與b的夾角大于90°時(圖3),異面直線a,b所成的角θ與a和b的夾角的關系又是什么?

圖3

生:θ與〈a,b〉互補時,即θ=π-〈a,b〉,得 cosθ=cos(π-〈a,b〉)=-cos〈a,b〉．

師:那這里有正有負,我們能否將結果統一起來?

設計意圖通過教師展示線線角推導過程,讓學生感受理性之美,提高其嚴謹的邏輯推理能力．在探究過程中,教師要首先強調直線所成角θ的范圍;其次直線上方向向量的選擇會影響向量夾角〈a,b〉與直線夾角θ之間的關系;最后根據直線夾角的范圍確定cosθ與cos〈a,b〉的聯系．

師:請同學們根據剛剛線線角的推導過程,完成線面角與面面角的推導．

·趁熱打鐵:線面角、面面角

圖4 圖5

師:那么法向量一定朝上嗎?如果法向量反向,那這個時候又會對結論有什么影響呢?

師:那么我們能總結一下線面角與線線角之間的異同點嗎?

生:線線角與線面角的推理過程類似,都是作出法向量與方向向量,尋找法向量與方向向量之間的夾角,都有兩種情況,并且線線角與線面角最后都要加上絕對值．不同的地方在于線線角是用余弦來表示,而線面角是用正弦來表示．

生眾(總結):據圖分析可得

設計意圖學生展示線面角推導過程,在數學實踐中探索,進一步提高他們的直觀想象與邏輯推理能力,接受理性精神的熏陶,加強理性精神的培養．在探究過程中,教師要首先預設出學生可能存在的問題:(1)直線與平面所成角的范圍不清晰;(2)受線線角cosθ影響形成思維慣性導致sinθ不敢用;(3)結論無絕對值．

知識點3 二面角(范圍θ∈[0,π])

師:那我們繼續沿用課堂開始所提到的想法及類比思想來研究如何用空間向量求二面角．

生:首先將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量,由圖6得θ與〈n1,n2〉相等,由此得θ=〈n1,n2〉,故cos〈n1,n2〉=cosθ．

圖6 圖7

師:還有沒有其他情況?你能繼續完成推導嗎?

師:那這個時候面面角還能像線線角和線面角一樣加上絕對值嗎?

生:不可以,因為現在夾角范圍變成了0°到180°,余弦值有正有負,所以不可以加絕對值．

師:那我們一起來觀察一下圖象特點,如何判斷什么時候取正數呢?

師生(共同歸納):當法向量的方向一進一出時,二面角等于法向量夾角;同進同出時,二面角等于法向量夾角的補角．

設計意圖學生完成面面角的推導,教師引導學生觀察比較線線角、線面角、面面角之間的異同點,不斷發現規律,嘗試總結規律．這不僅培養了學生的歸納總結能力,同時滋養了其求真務實、追求真理的理性精神．

4 教學反思

4.1 豐富教學手段,培育學生理性精神

立體幾何需要學生具備空間想象能力,因此在課堂中有必要引入像幾何畫板等數學教學工具,使學生在該部分內容的學習過程中有更形象化、全面化的理解,以便提升他們的學習興趣,提高學習效率．使其在形成新的學習方式中慢慢養成學習習慣,培育創新為主的探索精神．

4.2 鼓勵質疑,提升理性批判精神

在課堂教學中,教師要給學生提供機會來展示自己,鼓勵他們提出自己的困惑,營造寬松的教學氛圍,豐富他們的學習方式,這樣一方面能夠幫助學生提高學習興趣并更好地理解數學知識,另一方面能夠讓學生形成批判性的理性精神．

4.3 重視思維過程,用類比推導使學生形成理性精神

數學公式都是由數學家以直覺為基礎,并在此基礎之上大膽猜想并推理證明而來,因此教師在教學過程中可以先提出解題的中心思想,讓學生親身感受推理的過程,領會課堂中所需要的數學思想方法并“再創造”．在本節課中,教師只展示線線角的過程,讓學生觀察解題過程,類比推導線面角及面面角的公式,讓他們有充分的空間進行數學探究,從中發現問題,如夾角范圍問題、夾角何時用正弦何時用余弦、為什么要引入絕對值,等等,在獨立思考的過程中對問題進行猜測和大膽的假設,最后檢驗所得的結果,以形成基本的數學認知,樹立嚴謹務實的科學態度,形成理性精神,為日后的數學探究奠定良好的基礎．

學生的理性精神需要在這樣一個追求真理的氛圍中慢慢滲透．通過不唯書、不唯師、只唯實的大膽探究,去感知、領悟新知,養成獨立思考的學習習慣,逐步培養數學核心素養及理性精神．