尋根究底 正本清源
——有理數運算再教學*

王遠敏 劉詩亮(四川省成都市蒲江縣壽安初級中學 611633)

1 問題呈現,引發思考

有理數運算教學過程中,筆者時常遇到這樣的錯誤:-1+2=-1,-2+(-3)=5,-2×(-3)= -6,2-1×(-3)=1×(-3),….為什么如此簡單的有理數運算卻頻繁出錯?筆者認為很簡單的有理數運算對這些學生而言并不簡單．有理數運算教學儼然成了困擾筆者的噩夢,產生了教學挫敗感．

運算能力是初中階段核心素養的主要表現之一．有理數運算是發展學生運算能力的基礎,是后續學習整式運算、方程、不等式、函數等的前提,貫穿于整個初中數學學習的始終,是每個學生必備的基本能力．因此,新課教學后,有必要根據學生出現的問題,認真分析有理數運算為何讓這些學生感到焦頭爛額、混淆不清,甚至越學越糊涂,揭示問題本質,從根源上解決問題．

2 尋根究底,剖析問題

隨著負數的引入,數的運算范圍也得到了相應的擴張,小學階段數的運算則成為有理數運算的一種特例．有理數運算與小學運算的主要區別在于一是負數出現并參與所有運算;二是減法運算中較小數可以減較大數;三是絕對值和新運算(有理數乘方)的加入．對負數及有理數概念和性質的深刻理解是進行有理數運算的基礎．學生在小學階段雖然已經接觸過負數,對負數有了初步認識,但并未涉及運算,學生符號意識淡薄,對有理數運算中出現的諸多性質符號和運算符號(部分符號還具有雙重身份,既是性質符號又是運算符號)不能依據相關運算法則靈活處理．

有理數運算包括“加、減、乘、除、乘方”5種,實質上由符號運算和數值(絕對值)運算兩部分構成．有理數運算種類較多,導致部分學生在法則記憶和應用時產生混淆,尤其是確定計算結果的正負時,出錯率較高．比如,學了有理數乘法法則后,學生在做有理數加法時就出現了-2+(-3)=5(同號得正)和-1+2=-1(異號得負)的負遷移情況．又如,當學生忘記用乘法法則如何判定符號時,就出現了-2×(-3)=-6這樣用加法法則(同號兩數相加,取相同符號)確定符號的做法．而2-1×(-3)=1×(-3)則是運算順序出了問題．

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:“運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力．能夠明晰運算的對象和意義,理解算法與算理之間的關系;能夠理解運算的問題,選擇合理簡潔的運算策略解決問題．”[1]綜合以上分析可知,導致有理數運算出錯的根本原因是學生對運算法則、運算順序和運算律的理解不深刻、不透徹．法則應用中的錯誤主要集中在符號運算上;運算順序出錯的主要表現為先算加減后算乘除、先化簡雙重符號后算乘方等;運算律方面的問題是學生不擅長用運算律簡化運算．

3 正本清源,解決問題

運算能力的培養非一朝一夕,是一個不斷矯正、不斷適應、不斷完善、長期堅持的過程．要解決有理數運算中存在的問題,提升運算能力,教師必須重新審視與有理數運算相關的概念和法則,厘清知識的來龍去脈和各知識之間的關聯與區別,結合學情,通過有層次、有深度的問題串教學,引發學生新的思考,構建知識體系,彌補新課教學中的缺陷,糾正學生的錯誤認知．

3.1 理解符號,強化意識

有理數本質上可視為由性質符號和絕對值兩部分組成,而小學階段數的運算不涉及數的性質符號．要讓學生接納有理數、充分理解有理數,必須培養學生的符號意識．數系擴張到有理數后,“+”“-”不僅是運算符號,還是性質符號,具有雙重身份．在加減運算中,“+”“-”是運算符號,讀作“加”“減”,不能省略;在正負數表示中,“+”“-”是性質符號,讀作“正”“負”,“+”通常省略不寫．

問題1根據有理數和相反數的知識化簡:

(1)+(+5);(2)+(-5);(3)-(+5); (4)-(-5);(5)(-1)-(-2)+(-3)-(+4)．

問題2判斷下列說法是否正確,并說明理由:(1)帶“-”號的數是負數;(2)一個數的相反數一定比它本身小;(3)絕對值越大,這個數越大;(4)一個數的絕對值等于它的相反數,這個數一定是負數．

教學說明 有理數的概念、相反數、絕對值、雙重符號化簡是有理數運算的知識基礎.通過兩個問題讓學生對相關知識有更清晰、更深入的認識,增強符號意識,培養學生的分類思想、推理能力和應用意識．問題1的第(5)小題化簡結果為-1+2-3-4,將“+”“-”視為運算符號時,讀作“負一加二減三減四”;視為性質符號時,讀作“負一、正二、負三、負四的和”．應讓學生通過具體問題充分體會“+”“-”在有理數運算中的雙重身份．實際運算中,通常將“+”“-”視為性質符號,運算會更簡潔．問題1的解決為學生回答問題2搭建了“腳手架”,兩個問題從具體到抽象,逐層遞進,促使思維自然生長．

3.2 辨析法則,建構體系

學生的學習是在原有知識和經驗基礎上自我建構的過程．在學習新知時,如果學生缺乏對知識間整體關聯的認識,就會導致知識建構失敗或不完整,引起認知混亂．這就需要針對學生的具體問題,讓學生經歷知識再建構過程．有理數運算法則的新課教學一般按照加、減、乘、除、乘方的順序進行,知識之間的聯系主要體現為順序性,而缺少跳躍性和整體性,知識碎片化、割裂化、淺表化在所難免．對有理數運算進行綜合梳理、深度剖析時,應打破教學先后順序的禁錮,從整體關聯的視角向學生揭示各種運算之間的內在聯系,排除法則之間的相互干擾,使知識體系化、結構化、深度化,讓學生對有理數運算“見木又見林”．學生在練習、思考、總結的同時,自然而然地經歷了有理數運算再建構的整個過程,積累了數學活動經驗,改正了錯誤認知．

問題3觀察運算類型并計算:

(1)(-3)+(-4),(-3)×(-4);(2)3+(-4),3×(-4);(3)(-3)+4,(-3)×4;(4)0+(-4),0×(-4)．

問題4根據問題3思考有理數加法與乘法法則的區別．

問題5觀察運算類型并計算:

(1)(-3)-(-4),(-3)-4;(2)(-3)÷(-4),(-3)÷4;(3)34,(-3)4,-34．

問題6根據以上運算,說一說有理數各種運算法則之間的聯系．

教學說明 加法與乘法是有理數運算中最基本的兩種運算,也最易引發運算結果符號的混淆．乘法是加法的繼承與發展,減法可以轉化為加法,除法和乘方可以轉化為乘法．問題3和4旨在通過加法與乘法的對比,讓學生明晰二者運算結果符號確定方法的差異;通過各類加法(乘法)運算的對比,讓學生對加法(乘法)法則有更深刻的理解,從而糾正學生的認知混亂．問題5是減法、除法、乘方運算,多數情況下,這三種運算都是涉及兩種運算法則的二次運算,比如減法運算涉及減法和加法法則,運算難度比問題3提升了一個檔次．乘方運算中,學生易將 -34當作(-3)4來算,可設計如下問題加以引導:(-3)4與-34哪里不同?(一個有括號,一個沒有);括號在乘方運算的什么部分?(底數部分);說明什么?(說明二者底數不同)．乘方和乘法混淆時,可讓學生將問題5中(-3)4與問題3中(-3)×4的算法進行對比,發現二者的區別．讓學生“先觀察運算類型再計算”的意圖是提醒學生選對運算法則,在計算過程中深入理解各種運算法則之間的區別與聯系．問題6旨在讓學生通過練習,歸納總結、自我建構,對有理數運算有更深刻的認識,促進知識結構化(圖1)．實際教學中,還應設計有關分數(小數)的運算,使有理數的類型更全面．特別需要指出的是,用小學階段運算方法能解決的就按小學方法算,例如15-9,按有理數減法法則轉化為15+(-9)反而使運算復雜化．

圖1

3.3 混合運算,有條不紊

運算順序也是導致學生有理數運算出錯的原因之一．教材中明確地給出了運算順序的文字描述,規范地呈現了例題解答過程,可學生仍然錯誤頻出,說明學生對運算順序的理解和重視程度不夠,計算時存在隨心所欲的現象．為提升學生運算順序意識,做題前應要求學生總覽全題,找出題目中包含的所有運算類型,并在運算過程的每一步用“下劃線”或類似記號標記需要計算的部分,外顯運算順序,從直觀上提醒學生每一步應該算哪里．

問題7觀察運算類型并計算:2+(-2)2×

3.4 規范草稿,減少失誤

有理數運算中,部分運算過程不要求呈現出來,導致學生容易忽視認真、規范地在題目旁邊或草稿本上書寫這些運算過程,取而代之的是口算、心算,或者快速且潦草地演算．許多學生所說的“粗心大意”導致計算失誤,很大程度上就是因為沒有寫草稿或寫草稿不認真、不規范．比如學生(包括成績較好的學生)在做含有分數的運算時,用口算或心算就很容易出錯．因此,應從初中階段的起始運算(有理數運算)開始,對學生的草稿提出嚴格要求,規范學生的草稿書寫,特別是易錯題計算過程的認真書寫,將內隱的運算過程顯性化,力求手到、眼到、心到,避免看錯、寫錯、算錯,從而有效地減少過失性失誤．

3.5 簡化運算,提升能力

運算律是通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規律,包括加法交換律和結合律、乘法交換律和結合律、乘法對加法的分配律等．運算律的教學,有助于加深學生對運算本質的理解,提升運算能力,感受抽象、推理、轉化與化歸等基本數學思想．教學中,應讓學生理解運算律,經歷按運算順序依次計算和使用運算律簡化運算的過程,使學生體會運算律的重要性,養成用運算律簡化運算的好習慣．

4 三省吾身,教學反思

紀伯倫說:“不要因為走得太遠而忘記為何而出發．”教師不但要思考學生“在哪里?”讓學生“到哪去?”學生應該“怎么去?”而且要關注每個學生“到了嗎?”．日常教學中,總有一些學生因跟不上教師的腳步而掉隊,對這些學生而言,學習目標并沒有達成．教師應經常“三省吾身”,從學生起點、學習目標、教學方式、目標達成情況等方面來思考我們的教學．

初中學習階段,每個學生都處于發展過程中,但學生個體間總是存在或多或少的差異,導致發展并不均衡．教學中應充分尊重學生之間的差異,關注每個學生學習目標的達成情況,根據學習中存在的問題,有針對性地設計和實施接下來的教學活動,以學定教,因材施教,不放棄每一個學生,讓每個學生都得到應有的發展．

學習過程中,學生難免會出現各式各樣的問題,這些問題正是學生對某些知識掌握情況的體現,也是寶貴的教學素材．解決問題的教學不是單純地告訴學生應該怎么做,而應透過問題發現本質,從根源上加以解決,使學生的認知從“知其然”逐漸向“知其所以然”及“何由以知其所以然”發展．通過對舊知的梳理、辨析、整合、應用,糾正學生的錯誤認知,讓零散、雜亂和瑣碎的知識點形成知識鏈、結成知識網,重新構建相關知識體系,促進知識結構化,使核心素養真正在教學中落地生根．