素養(yǎng)導(dǎo)向下2023年新高考Ⅰ卷試題特點(diǎn)及教學(xué)啟示

王思儉 (江蘇省蘇州中學(xué) 215007)

《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出了核心素養(yǎng)的總體框架和基本內(nèi)涵,高考評(píng)價(jià)體系確立了高考學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo),標(biāo)志著高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變[1]．

1 素養(yǎng)導(dǎo)向與能力立意命題的甄別

能力立意命題側(cè)重知識(shí)、智力、能力和技能的考查,追求知識(shí)覆蓋面,試題結(jié)構(gòu)完整,考查目標(biāo)明確,重視解題的熟練度．而素養(yǎng)導(dǎo)向命題不但強(qiáng)調(diào)知識(shí)和智力,更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移和后繼的學(xué)習(xí)．試題的特點(diǎn)是不追求知識(shí)覆蓋面,重要知識(shí)重點(diǎn)考,不追求試題結(jié)構(gòu)完整,而追求試題的探索性和開放性,重視學(xué)生的臨場(chǎng)思考發(fā)揮,目的在于更清晰、更精準(zhǔn)、更科學(xué)地考查學(xué)生的“智力水平、思維深度、思維習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度”[1]．

從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變,重在“反套路、反機(jī)械刷題”,更突出地表現(xiàn)為:從關(guān)注知識(shí)到關(guān)注人;從解決常規(guī)性問(wèn)題的技能到創(chuàng)造性的探索能力;從學(xué)科的知識(shí)化到真實(shí)的情境化;從結(jié)構(gòu)良好到條件開放;從單一因素到復(fù)合因素;從局部到整體．

素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,從而更好地“為國(guó)家培養(yǎng)全面而有個(gè)性的社會(huì)主義建設(shè)人才”[1]．

2 試題特點(diǎn)

2.1 關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀理解能力的考查

高考數(shù)學(xué)試卷對(duì)數(shù)學(xué)閱讀理解能力的考查是全方位的．文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、表格語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提．

第10題通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和表格語(yǔ)言建立了幾個(gè)聲壓級(jí)的對(duì)數(shù)不等式,第21(3)題利用概率和數(shù)學(xué)期望的符號(hào)語(yǔ)言對(duì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行考查．對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和轉(zhuǎn)譯能力決定著學(xué)生是否能夠順利抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型并能快速求解．第21題數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)抽象性給學(xué)生理解題意帶來(lái)一定的麻煩,它既是對(duì)學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言閱讀理解能力的考查,也是對(duì)邏輯思維水平的檢測(cè)．

2.2 加大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查力度

2023年新高考Ⅰ卷加大對(duì)直觀想象素養(yǎng)的考查力度,重視對(duì)數(shù)學(xué)邏輯思維和直覺思維能力的考查．尤其體現(xiàn)在對(duì)立體幾何章節(jié)主干知識(shí)的考查上:第14題側(cè)重臺(tái)體體積計(jì)算(連續(xù)四年考查棱臺(tái)體積);第12題涉及正方體內(nèi)能否放置球、正四面體、圓柱等幾何體的問(wèn)題,考查問(wèn)題探究能力;第18題在正四棱柱中考查直線平行和空間向量計(jì)算二面角,測(cè)試學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)表述能力,其中第(1)題有多種證法,但有些學(xué)生因數(shù)學(xué)表述能力欠缺,錯(cuò)誤地將平面幾何性質(zhì)類比到空間了,即由四條邊相等推得四邊形為菱形,痛失4分．

今年立體幾何的命題打破了思維的慣性,特別是第12題,要求學(xué)生能夠從各類題型、解題套路中脫離出來(lái),打開思路,發(fā)揮聯(lián)想,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題．這種命題方式的變化增強(qiáng)了試題靈活性,增強(qiáng)了對(duì)直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的考查,對(duì)防止題型固化、引導(dǎo)立體幾何教學(xué)起到了良好作用．

2.3 重視數(shù)學(xué)基本思想方法的考查

2023年新高考Ⅰ卷從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度、寬度與深度立意,著力檢測(cè)和考查學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．突出了對(duì)解析幾何部分的考查,共有4道試題考查解析幾何主干知識(shí):第5題考查學(xué)生對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解,突出對(duì)定義法和方程思想的考查;第6題考查學(xué)生對(duì)直線與圓相切的幾何性質(zhì)的理解,突出對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的寬度立意的考查;第16題考查學(xué)生對(duì)雙曲線的定義和離心率等幾何概念的理解,突出對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化、方程思想、整體思想、定義法、待定系數(shù)法等思想方法的高度立意的考查;第22題考查學(xué)生對(duì)拋物線的定義、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的理解與應(yīng)用,突出對(duì)定義法、待定系數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法、放縮法、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的深度立意的考查．將考查的重點(diǎn)放在對(duì)圓錐曲線定義、性質(zhì)的理解和探究解析幾何的基本思想方法上,這也反映出高考評(píng)價(jià)重視思想方法,重視應(yīng)用與創(chuàng)新,淡化“秒殺”、二級(jí)結(jié)論、機(jī)械刷題的導(dǎo)向．

總之,素養(yǎng)導(dǎo)向下高考命題遵循教育部“反套路、反機(jī)械刷題”的命題思想．試題分步設(shè)問(wèn),逐步推進(jìn),測(cè)試由淺入深,很好地達(dá)到了測(cè)試目的,使理性思維深度、知識(shí)掌握的牢固程度、運(yùn)算求解的熟練度、書寫表達(dá)的清晰度不同的學(xué)生都能得到充分展示,較好地測(cè)試了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能和后繼學(xué)習(xí)能力,具有較好的區(qū)分度．試題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔明了,不偏不怪,注重對(duì)通性通法的考查,對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和深度探究都具有較好的導(dǎo)向作用,較好體現(xiàn)了“高考引導(dǎo)高中教學(xué)而不是高考適應(yīng)高中教學(xué)”[1]．

3 教學(xué)啟示

教材是眾多數(shù)學(xué)家、教育學(xué)和心理學(xué)專家、數(shù)學(xué)教育專家和一線教育名家集體智慧的結(jié)晶,無(wú)論是教材的文本還是例題、習(xí)題,都立足于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),符合教育規(guī)律．高考命題唯一的依據(jù)就是新課標(biāo)和新教材,因此我們要利用好教材,挖掘教材的潛在育人功能．

3.1 教學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)理解

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,著重在思辨交流中教會(huì)學(xué)生怎樣學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)理解．理解概念、熟練技能和準(zhǔn)確表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“三要素”,囫圇吞棗、貪多求快的做法會(huì)給后繼學(xué)習(xí)埋下隱患,做好這些的訣竅就是遵循學(xué)習(xí)規(guī)律,學(xué)會(huì)交流與思考．概念是數(shù)學(xué)的精髓所在,必須深刻理解、牢固掌握,因此概念學(xué)習(xí)要“慢慢來(lái)”．仔細(xì)閱讀教科書,用心揣摩每一句話,搞懂每道例題,在探究、質(zhì)疑、反思中逐漸領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法,并能用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括出來(lái),從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的升華．

案例1以“概率的相互獨(dú)立性”為例(2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷第8題):有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則( )．

A．甲與丙相互獨(dú)立

B．甲與丁相互獨(dú)立

C．乙與丙相互獨(dú)立

D．丙與丁相互獨(dú)立

本題難度不大,但得分率較低,平均分1.65分．學(xué)生對(duì)判斷題的求解策略匱乏,對(duì)相互獨(dú)立事件的定義理解不深刻,不能靈活利用列表法列舉出所有事件和發(fā)生事件．

為此教師提出:蘇教版高中數(shù)學(xué)必修二第247頁(yè)指出“對(duì)于n個(gè)相互獨(dú)立事件A1,A2,…,An,則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)”,如果兩兩獨(dú)立,這公式成立嗎?引導(dǎo)學(xué)生大討論．

學(xué)生認(rèn)為相互獨(dú)立,一定有兩兩獨(dú)立．反過(guò)來(lái)也應(yīng)該成立．至此教師設(shè)置如下問(wèn)題:

(1)集合Ω={1,2,3,4},集合A={1,2},B={1,3},C={1,4},請(qǐng)判斷:A,B,C是否相互獨(dú)立?概率乘法公式是否成立?(人教版教材必修二第249頁(yè)第2題改編)

(2)集合Ω={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={1,3,4},C={1,2,4},請(qǐng)驗(yàn)證:P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立?

(4)類比兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義,現(xiàn)有兩種方法定義三個(gè)事件相互獨(dú)立:

方式1 對(duì)任意的三個(gè)事件A,B,C,如果P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ①成立,則稱事件A,B,C相互獨(dú)立．

方式2 如果事件A,B,C兩兩獨(dú)立,則三 個(gè)事件A,B,C相互獨(dú)立,即有P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C) ②．

你們認(rèn)為這兩種定義方式可以嗎?

事實(shí)上,已經(jīng)舉出②式成立但①式不成立的例子;同樣地,也可以舉出①式成立但②式不成立的例子．這兩種定義的方式都不合理．實(shí)際上,將方式1和方式2相結(jié)合,可以得到三個(gè)事件相互獨(dú)立的定義:對(duì)任意三個(gè)事件A,B,C,如果①式和②式同時(shí)成立,則稱事件A,B,C相互獨(dú)立．

(6)對(duì)于n(n>3)個(gè)事件的獨(dú)立性定義及性質(zhì),可以由3個(gè)事件的獨(dú)立性直接推廣得到蘇教版第278頁(yè)的結(jié)論嗎?

3.2 教學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,往往存在著大量“機(jī)械刷題”的現(xiàn)象,有的要求學(xué)生死記硬背幾十條“二級(jí)結(jié)論”,認(rèn)為這樣能夠迅速“秒殺”高考題,提高學(xué)生的解題能力．其實(shí)不然,盲目刷題、背“數(shù)學(xué)結(jié)論”,時(shí)間越久,效果越差,甚至適得其反．因此,在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,要為學(xué)生增加“悟”的機(jī)會(huì)和時(shí)間,通過(guò)適當(dāng)留白、適當(dāng)停頓,讓學(xué)生多一些感悟、多一些醒悟、多一些頓悟．只有這樣才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)思維能力．我們可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)真題進(jìn)行深入探究——一題多變,讓學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的韻味．

案例2以“集合”為例(2022年新高考Ⅱ卷第1題):已知集合A={-1,1,2,4},B={x| |x-1|≤1},則A∩B=( )．

A．{-1,2} B．{1,2}

C．{1,4} D．{-1,4}

師生對(duì)這道簡(jiǎn)單的高考題共同進(jìn)行不斷的改編,得到12道不同類型的高考熱點(diǎn)題型．

策略1更換集合中元素特征的表述方式,使得兩邊都含有未知量的絕對(duì)值不等式,利用平方或者分類討論化簡(jiǎn)集合．如已知集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0},B={x||x-1|<2x-3},則A∩B=( )．

A．(2,3] B．{0,1,2}

C．{2,3} D．{3}

策略2更換兩個(gè)集合中的元素特征表示方式,旨在訓(xùn)練學(xué)生的審題意識(shí)．

策略3集合中的元素改為無(wú)理不等式或?qū)?shù)(指數(shù))不等式的解,同時(shí)題型改為多選題,旨在復(fù)習(xí)集合的運(yùn)算(交、并、補(bǔ)集)．例如:(多選)已知集合M={x|x2-5x+4<0},N={x| |log2x-1|<1},則( )．

A．M∩N=M

B．M∪N=(1,4)

C．M∪(RN)=R

D．M∩(RN)=?

策略4在兩個(gè)集合的不等式中設(shè)置參數(shù)(即含有參數(shù)的不等式解集),變更為熱點(diǎn)題型——多選題,同時(shí)在選項(xiàng)中設(shè)置子集、補(bǔ)集、交集、并集等．例如:(多選)已知集合

N={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0},則( )．

A．若M為單元素集合,則N=[2,4]

B．若N為單元素集合,則M=[-2,2]

C．若M?N,則a的取值范圍為[1,3]∪{-1}

D．若M∩N=?,則a的取值范圍為(0,1)

通過(guò)這一系列的改編,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注真題演變,關(guān)注教材文本,關(guān)注命題思路．

高考數(shù)學(xué)試題對(duì)學(xué)生的閱讀能力、作圖能力和運(yùn)算求解能力提出了較高的要求,這些能力提升的空間應(yīng)該花在課堂上．在課堂上,學(xué)生不光是聽講,還要?jiǎng)幽X思考、動(dòng)手實(shí)踐、動(dòng)嘴交流;教師要給學(xué)生提供充分的時(shí)間進(jìn)行閱讀、作圖、計(jì)算,要讓審題和思考形成一種規(guī)范,要讓作圖成為學(xué)生的習(xí)慣,要讓數(shù)學(xué)運(yùn)算能夠進(jìn)行到底,要讓聯(lián)想能夠插上翅膀自由飛翔,進(jìn)而逐步激活學(xué)生的思維,提高解決問(wèn)題的能力．例如對(duì)于真題的求解,可以鼓勵(lì)學(xué)生從多角度去思考、去聯(lián)想,就能得到不同的求解策略．

案例3一題多解——以基本不等式為例(2022年新高考Ⅱ卷第12題):若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )．

A．x+y≤1

B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2

D．x2+y2≥1

在教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生利用恒等變形、變量代換、基本不等式及其變形形式等各種方法和技能求得答案．

策略2消元法和方程思想:令x+y=t,得3x2-3tx+t2-1=0,利用判別式即可．

以上從四個(gè)不同角度求解此題,這些都是通性通法,不能僅僅停留在完成的層面上,而應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)去思考:還有沒有其他的解法?已知條件和未知目標(biāo)還能進(jìn)行哪些變形?認(rèn)知不同,就可能有不同的解題策略．

方法1 分離變量法:

方法2 反求法(解不等式法):

策略6代數(shù)換元:令x=u+v,y=u-v,轉(zhuǎn)化為橢圓u2+3v2=1問(wèn)題．

策略7函數(shù)與方程思想:從x2+y2-xy=1中解出y,并求出x的取值范圍,將x+y和x2+y2都表示為x的函數(shù),再用導(dǎo)數(shù)法求解．

策略8“1”的代換——齊次化:

通過(guò)再一次的深度思考,又給出四種策略,其中策略5有4種不同解法,這些解法覆蓋了高中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、基本不等式和解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),涵蓋了求函數(shù)值域的常用策略和數(shù)學(xué)思想方法．因此,我們?cè)诟呖紓淇紡?fù)習(xí)中不僅要正確對(duì)待教材,也要認(rèn)真演練高考真題,從高考真題中感悟出數(shù)學(xué)的本質(zhì),體悟思維上存在的問(wèn)題,領(lǐng)悟思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式．

3.3 教學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)

教學(xué)生解題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),教師的板書示范作用是唯一有效的途徑．對(duì)于參加高考的學(xué)生而言,解題是高考數(shù)學(xué)的唯一形式,得分是高考的重要目標(biāo),因此教師要教會(huì)學(xué)生如何表述自己的想法、如何將想法進(jìn)行規(guī)范書寫,這是解題教學(xué)過(guò)程中刻不容緩的任務(wù)．

由于高考閱卷依據(jù)評(píng)卷細(xì)則,根據(jù)考生答卷紙上的白紙黑字進(jìn)行評(píng)判賦分,因此秉承了公平公正、公開透明、規(guī)則面前人人平等的原則．我們常常說(shuō)高考閱卷是“踩點(diǎn)得分”,準(zhǔn)確地講就是根據(jù)邏輯段給分．邏輯段是由條件、結(jié)論以及可以由條件推出結(jié)論的依據(jù)(如定義、公式、定理、公理、基本事實(shí)等)構(gòu)成,若干邏輯段組成的邏輯鏈構(gòu)成完整的解題過(guò)程．因此,數(shù)學(xué)表達(dá)(書寫)必須強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn),要步步有據(jù)、環(huán)環(huán)相扣、銜接自然、書寫規(guī)范．

鑒于此,我們?cè)诮忸}教學(xué)時(shí),務(wù)必要讓學(xué)生想得明明白白,務(wù)必要讓學(xué)生寫得清清楚楚,詳略得當(dāng),只有這樣才能真正做到“會(huì)而對(duì),對(duì)而全”．

案例4以“導(dǎo)數(shù)”為例(2022年9月清華大學(xué)中學(xué)生學(xué)術(shù)能力測(cè)試題第21題):已知函數(shù)f(x)=ex-ex,g(x)=2ax-a-1,其中a∈R,e=2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)求f(x)的最小值;

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f′(x)-g(x)(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),如果函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

·教學(xué)片段

生1:令f′(x)=ex-e=0,得f(x)有極小值為f(1)=0．

生2:不規(guī)范,應(yīng)該列表討論．

師:正確!解題過(guò)程要規(guī)范,盡管f(x)是“單谷”(或“單峰”)函數(shù),也要列表討論,或者指出各單調(diào)區(qū)間及其單調(diào)性,最后才能給出結(jié)論．

生3:因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為h′(x)=ex-2a．令h′(x)=0,得x=ln(2a).列表討論,當(dāng)x=ln(2a)時(shí),h(x)有極小值,也是最小值,h(ln 2a)=3a-2aln(2a)-e+1．

師:請(qǐng)你再審題,在哪個(gè)區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)?

生6:題目要求f(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn),所以還需要分極值點(diǎn)在區(qū)間左側(cè)、右側(cè)和中間三種情況．經(jīng)討論可知ln(2a)≤0,ln(2a)≥1都不合適,只要考慮當(dāng)00且h(1)>0即可,解之得e-2

師:很好!你們聯(lián)想二次函數(shù)在指定開區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)情況,這屬于方法遷移．

生7:這僅是充分條件,是否為必要條件呢?還要證明當(dāng)e-2

師:對(duì)于不等式h(ln 2a)<0確實(shí)無(wú)法求解,但可以證明它在(e-2,1)內(nèi)恒成立,于是就得出結(jié)果．從你們的交流過(guò)程中可以看出——在求解含有參數(shù)的函數(shù)綜合問(wèn)題(如函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式恒成立等)時(shí),首先要審清題意,真正弄清楚已知條件和要求的結(jié)論．其次要尋求解題路徑,什么方法可以完成求解任務(wù),實(shí)現(xiàn)目標(biāo)?最后要進(jìn)行解題回顧,你的結(jié)果是題目的最終結(jié)論嗎?過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)嗎?還有其他解法嗎?哪種方法較好?問(wèn)題能否推廣?等等．