基于CS-MVDR的多目標方位估計新方法

劉 尚,蔣金華,段海洋,杜飛飛

(1.江南機電設計研究所,貴陽 550009;2.西北工業大學,西安 710072)

0 引 言

傳統的多目標方位估計(Direction of Arrival,DOA)方法采用波束形成和最小方差無畸變響應(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)方法以及一系列如MUSIC和ESPRIT等高分辨率估計方法。這些方法利用均勻線性陣列進行多目標方位估計,難以解決因空時欠采樣帶來的陣元間相位差模糊的問題,部分信號方位角估計效果不理想。

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論是現代信息科學領域中一個全新的研究方向[1-2],對雷達信號處理、聲納成像[3]、模式識別、地質勘探、信道估計等都有重要意義,它提供了一種新的信號采集和參數估計方法,能夠以遠少于經典奈奎斯特(Nyquist)采樣理論所需的測量數據精確恢復滿足稀疏性的信號或估計其相應的參數[4]。信號在時域和空域的稀疏性特征滿足信號稀疏重建理論的基本條件,利用隨機采樣矩陣可以實現用較低采樣率的時域和空域數據恢復及估計信號的效果。相關學者從信號處理方法和陣元幾何設計方面開展了研究:文獻[5]提出基于時延、FFT和ESPRIT算法的高頻段空間2D到達方向無模糊估計方法,但該方法估計信號數目受陣元數目限制;文獻[6]基于窄帶信號設計非均勻陣列,且陣元布放在均勻劃分的以半波長為單位的網格點上,沒有解決陣元間距小于半波長的問題;文獻[7]提出利用CS理論對導向向量泰勒分解后,使用交替下降的最小二乘法實現信號重建,但此法利用混合范數的約束條件,重建過程中計算量較大,算法精度也受限。

為了解決上述空時欠采樣條件下多目標DOA存在的問題,本文基于CS理論,采用空間網格角度劃分形式實現信號在空間域的稀疏性表示,在此稀疏域下將實現信號與其空間位置的一一對應,對陣元接收信號在測量矩陣上進行壓縮投影采樣,通過改進MVDR空間功率譜估計中的壓縮測量陣列接收信號的空間自相關矩陣和陣列流行向量的稀疏值,實現多目標方位角估計,最后通過仿真驗證了本文方法的有效性。

1 多目標信號方位估計模型

信號方位估計是根據信號來波估計信號方位角的信號處理技術,是在空域濾波和空間譜估計基礎上發展起來的[8]。空域濾波及空間譜估計理論框架如圖1、圖2所示。

用ωi表示加權系數,則相應的濾波器輸出可表示為

(1)

圖3給出了K個遠場信號入射到某空間的均勻線列陣模型,其中陣元數為M。

圖3 均勻線列陣模型

以均勻線列陣為例,陣列所接收信號的時延差為

(2)

兩個陣元間的相位差為

(3)

式中,d為兩個陣元間距;c為信號在空氣中的傳播速度;θ為遠場信號的入射角度;λ為信號波長。

可以看出,只要知道信號的相位延遲,就可以得到信號的來波方向,進而實現信號方位估計。

2 信號空域稀疏表示

均勻線列陣在某時刻t的接收信號的數學模型為

x(t)=As(t)+n(t)

(4)

式中,A為M×K維陣列流形矩陣,且

A=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θK)]

(5)

陣列流形向量為

(6)

式中,θi為第i個信號的入射方位角。

目標源的輸入信號矢量為

(7)

因此陣元接收信號可以表示為

=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θk)]S(t)+N(t)

=AS(t)+N(t)

(8)

由式(8)可知,陣列流行矩陣的每一列a(θi)都對應一個目標信號源的空間位置,即矩陣A包含了目標的方位信息。陣列流行矩陣的構建也決定了信號在空間域的稀疏化表示方式。

將空間域劃分為{θ1,θ2,…,θNs},并假設每一個可能的位置θi,i=1,2,…,Ns都對應一個潛在的目標源信號si,如圖4所示,其中“·”表示空間中實際存在的信號,○表示實際不存在的信號,矩陣A的每一列對應一個潛在目標信號源的方位信息。為了體現目標信號源的稀疏性,潛在的信號源個數比實際要多得多,即Ns?K,這樣就構造了一個Ns×N維的稀疏信號s=[s1,s2,…,sNs]Τ,N表示快拍數。在目標源信號s中只有實際存在目標的K個位置有非零元素,而Ns-K個位置均為零。

圖4 信號空間稀疏化過程

對于給定的空間域稀疏化方式{θ1,θ2,…,θNs},式(5)中的陣列流行矩陣A得以確定,基于CS理論的DOA估計問題就轉化為利用已知陣列接收數據x和陣列流行矩陣A來重構空間稀疏信號s=[s1,s2,…,sNs]T,該重構過程將一個凸優化問題轉化為簡單的線性規劃問題來求解[9],其中前K個最大的重構分量就是空間上實際存在的信號源的重構信號。根據{θ1,θ2,…,θNs}與s=[s1,s2,…,sNs]Τ的一一對應關系就能得到信號的DOA估計。

3 CS-MVDR方法

MVDR[10]方法使一些自由度在期望觀測方向形成波束,并利用剩余的自由度在干擾方向形成零陷,使非期望干擾最小,同時使增益在觀察方向上保持為常數1,在減小非期望干擾的同時構建一個約束最優化問題:

(9)

利用拉格朗日乘數法求解式(9),令目標函數

(10)

對目標函數中的w求導,令導函數為零,得到最優的權矢量為

w=λR-1a(θ0)

(11)

再利用wHa(θ0)=1可以求得常數

(12)

將式(12)代入式(11),得到最優的權矢量表達式為

(13)

陣列輸出功率用空間譜描述為

(14)

根據壓縮感知信號空域稀疏表示理論,陣列流行矩陣A相當于壓縮感知理論中的稀疏矩陣Ψ,因此為了保證能夠精確重構信號源,并得到方位角的準確估計,A必須滿足一定的稀疏重構條件[11]。對于Ψ,當陣元數M小于稀疏系數矢量的長度Ns時,A相當于一個過完備基,即A是空域稀疏基。

設Φ為m×M,m

由于隨機稀疏測量矩陣滿足RIP準則[12],因此利用壓縮測量數據y和感知矩陣Θ即可大概率重構出陣列輸入信號s=[s1,s2,…,sNs]Τ[13-14]。DOA估計問題就是求解Ns×N維的稀疏信號s,其中的非零元素及其在向量中的位置信息分別表征目標的幅度信息和角度信息,方位角估計就是在保證s在信號源真實方向相關的角度形成很明顯的峰值,而在其他區域是近似為零的低電平,尖峰數量代表信號源數量。

因此,根據式(14),基于壓縮感知改進的CS-MVDR陣列輸出功率為

式中,b(θ)=Φa(θ)為壓縮測量陣列流行向量;Ry為壓縮測量陣列接收信號的空間自相關矩陣;a(θ)為傳統陣列流行向量。

4 仿真及分析

對非均勻線列陣進行空時域欠采樣,利用Matlab仿真比較MVDR和CS-MVDR在低信噪比、低陣元個數情況下的多目標方位角估計精度。

(1)仿真1:時域欠采樣下的空間譜圖

對傳統陣列進行時域欠采樣、空域正常采樣。假設信號源個數為3,信號方位角分別為-60°、40°、50°,陣元間距選擇半波長d=λ/2,采樣頻率選擇小于3個信號源中心頻率中最大頻率的2倍(fs<2*fmax(1、2、3)),傳統線列陣的陣元個數分別為8、16、32,壓縮感知陣列陣元數為6、8,利用32陣列隨機抽取得到。3個目標信號方位角的角度掃描范圍為[-90°,90°],即在角度網格劃分為N1=181。

圖5、圖6分別為信噪比0 dB、10 dB下利用壓縮感知的6陣元和8陣元進行波達方向估計結果,采用隨機稀疏測量矩陣,分別與8、16、32陣元下的MVDR估計結果作比較。

圖5 時域欠采樣下SNR=0 dB時的空間譜圖

可以看出,8陣元MVDR估計在0 dB和10 dB下幾乎都不能分辨臨近的40°和50°目標,而6、8陣元CS-MVDR和16、32陣元MVDR均能正確估計出3個方位角度數。CS-MVDR方法在保證正確估計方位角精度的前提下減少了陣元數目,大大降低了計算量。相較于6陣元CS-MVDR,8陣元旁瓣起伏較小,方位估計穩健性更強。

(2)仿真2:空時欠采樣下的空間譜圖

對傳統陣列進行時域、空域欠采樣。信號源個數為3,信號方位角分別為-60°、40°、50°,陣元間距選擇為半波長的1.2倍即d=1.2×λ/2,采樣頻率選擇小于3個信號源中心頻率中最大頻率的2倍。信噪比為0 dB和10 dB時的仿真結果分別如圖7、圖8所示。

圖7 空時欠采樣下SNR=0 dB時的空間譜圖

圖8 空時欠采樣下SNR=10 dB時的空間譜圖

可以看出,8、16、32陣元MVDR估計在0 dB和10 dB下都不能正確估計3個目標方位角,而10 dB下基于壓縮感知的6、8陣元陣列能正確估計出3個方位角度數,但是在0 dB下6陣元CS-MVDR法旁瓣起伏較大,甚至超過主瓣高度,8陣元的旁瓣起伏相對較小。

(3)仿真3:CS-MVDR法同時估計多個不同方位角

依然對3個目標信號源進行空時欠采樣,信號方位角為45°、55°、65°。陣元間距選擇為半波長的1.2倍即d=1.2×λ/2。信噪比從-20 dB步進到10 dB,步進長度為2 dB,快拍數為300,蒙特卡洛仿真次數為500,統計分析不同信噪比下多目標方位角估計的檢測概率(當估計均值的絕對誤差小于1°時,該次檢測有效),結果如圖9～11所示。

圖9 信噪比與檢測概率關系曲線

圖10 信噪比與信號方位估計均值關系曲線

圖11 信噪比與信號方位估計均方差關系曲線

可以看出,在低信噪比條件下,由于噪聲對空時欠采樣CS-MVDR算法的影響,檢測概率相對較低,估計的信號方位角和真實值誤差較大。不過,當SNR≥12 dB時,檢測概率都能達到100%;當SNR≥-14 dB時,估值接近真實值,且估計的均方誤差為零。在空時欠采樣下,當同時估計多個信號方位角時,在誤差收斂前不同角度間誤差相差較大,這與目標入射角度來向和陣列流型矩陣A中對應的目標信號源方位信息有關,將在后續研究中進行深入分析。

5 結束語

針對傳統MVDR方法在空域上采集測量數據量有限及對噪聲背景相對敏感等問題,本文提出一種優化改進的CS-MVDR多目標估計方法,通過將空間角度網格劃分形式實現信號在空時域的稀疏性表示,利用稀疏重構空間稀疏向量方法實現空間上多信號入射角的方位估計。仿真結果表明:在低信噪比條件下該方法對多目標方位估計精度更高,偏差更小,而且在不損失估計精度的前提下,可以在一定程度上減少雷達陣面的陣元數,降低復雜系統的運算量。

壓縮感知理論為工程實踐中信號稀疏化采樣提供了一種新思路,把壓縮感知理論運用到多目標方位估計中,可以解決部分工程應用中空時欠采樣下的雷達目標回波探測和識別問題,不但降低了數據采用率、傳輸量、存儲量,還減少了雷達陣面的總陣元數和T/R組件工程設計及結構減重等問題,同時提高了參數估計的準確性,克服了傳統DOA估計算法的不足。