立足新課標 打造讓學生會說理的數學課堂

林玉芬

（福建省泉州市豐澤區豐盛實驗小學）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下通稱“新課標”）指出，教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發現題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。立足新課標要求，教師要關注學生在教學活動中的發展，打造讓學生會說理的數學課堂。

一、讓學生有理有據地表達

在教學中，教師要引導學生把自己能看到的、能想到的問題、思路和方法，借助文字或語言，有理有據地表達出來。教師應要求學生“對自己表達的話負責任”，每位學生在表達之前要有問題，并把問題思考清楚，不要把自己不清楚或一知半解的問題、知識和想法講給其他同學聽；應要求學生表達時“要說大家聽得懂的話”，不僅要準確說出自己的結論、觀點，而且要圍繞所探究的核心問題，把握要點和本質，說出自己對問題和相關觀點的思考，并且讓別人也能聽懂，同時關注別人的問題、想法。如教師提出問題：0為什么不能做除數？有的學生從除法的意義來說理。第一種是平均除：把一個數平均分成幾份，每份是幾。假設把10 個蘋果平均分給5 個人，每個人可以分2 個，而把10 個蘋果分給0 個人是沒辦法分的，所以10÷0 算式不存在。第二種是包含除：一個數里面有幾個幾。指被除數里面有幾個除數，就是問這個數里面有幾個0，如5÷0 就是問5 里面有幾個0。但是，不管5里面有幾個0，其相加還是等于0，而不可能等于5，所以不存在5÷0這個算式。第三種是倍數除：一個數是另一個數的幾倍。倍數除是指被除數里面有幾個除數，如20 除以4等于5，表示20是4 的5 倍，但是20 除以0，0 是表示什么都沒有，無法比較出20 是0 的幾倍，所以20÷0 算式不存在。也有的學生用反證法來分析第一種情況：假設除數可以為0，如被除數÷0=？6÷0=？→6=0×？根據被除數等于除數乘商得到6=0×？因為0乘任何數都等于0，不可能等于6，所以此時的商不存在。第二種情況：0÷0=？→0=0×？根據被除數等于除數乘商得到的是0=0×？因為0 乘任何數都得0，如0×1=0，0×15=0，0×180=0，0×3500=0……此時的商有無數個，也就是說，0÷0的商不是唯一的。

學生利用除法的三種意義來講理，還運用反證法，推算假設除數為零的兩種情況，要么商不存在，要么商有無數個，都視為無意義。通過說理，學生得出：這些就是0 不能做除數的道理。學生通過這樣有條理、有理有據地講理，可以明理，并養成究理的習慣。

二、讓學生富有思辨地論證

學習是為理解而學，為思維而學，為發展而學。說理課堂中，學生的學習是理解性的學習，意在通過對問題、知識、思想方法的深度理解來建構良好的認知方式，注重批判理解，強調信息整合，面向遷移應用和問題解決。這就要求學生能將眾多學習內容聯系起來，對新學的問題、知識和思想方法進行批判性思考，多維度地理解知識內涵，形成富有思辨性的個人理解。

例如，北師大版數學教材四年級上冊乘法分配律的等式是（a+b）×c=a×c+b×c，那么，乘法分配律等式為什么成立？用什么方法來說明呢？有的學生用學過的列豎式計算來說明。

豎式計算時，先用第二個乘數82 的個位2 去乘87 得到174，再用80 去乘87 得到6960，最后用174+6960=7134。通過觀察，學生發現這個豎式計算其實就是先將82 分為80 加2，分別與87 相乘，然后再把它們的積相加，這就可以證明（a+b）×c=a×c+b×c乘法分配律等式是成立的。有的學生用畫圖法來證明，如求長方形的面積，已經知道長方形面積等于長×寬，當長方形的長為a，寬為c，長方形的面積等于a×c。當把這個長方形的長增加b，寬不變時，怎樣求大長方形的面積？學生有兩種方法來解決問題：第一種是先求出大長方形的長是a+b，再來計算大長方形的面積，也就是大長方形的面積=長×寬=（a+b）×c。第二種是用長方形1 的面積+長方形2 的面積來計算大長方形的面積，這樣可以得出大長方形的面積=a×c+b×c。由于這兩種計算方式都是求同一個大長方形的面積，因其結果是一樣的，這也就可以證明（a+b）×c=a×c+b×c，說明乘法分配律等式是成立的。有的學生用推理法來驗證，在等式（a+b）×c中，當c等于具體數值為0，1，2，3……時，可以得到下列等式：

以此類推，學生發現：當（a+b）×c=（a+b）+（a+b）+（a+b）+……=a×c+b×c，再次可以證明（a+b）×c=a×c+b×c，說明乘法分配律等式是成立的。

通過這樣富有思辨的論證方式，能夠促進學生深度思維，提升數學學習能力。

三、讓學生層層深入地證明

東北師范大學史寧中教授認為，課不要反復講，而要把握數學的本質，應該把理給講出來。這里的數學本質就是數學道理，也就是指數學學習不僅要讓學生知道是什么，而且還要知道為什么。為此，說理課堂不僅要使學生明曉道理，還應通過講理，激發學生自覺學習的愿望，促進其更具深度、廣度地進行思考與學習體驗。

例如，針對“三角形任意兩邊之和為什么總會大于第三邊”這個問題，有的學生用畫圖法進行說明，先根據三角形的定義，隨意在紙上畫幾個三角形，并測量出各個三角形每條邊的長度。接著，用表格來比較三邊關系，如一號三角形三邊分別長3，4，5厘米，3+4大于5，3+5大于4，4+5大于3。學生通過比較說明了一號三角形任意兩邊之和大于第三邊，其他三角形也是如此。所以，三角形任意兩邊之和總會大于第三邊。有的學生運用推理法來說明：在圖上隨意點上三個點，并設為點A、點B、點C，再連接這三個點。由“兩點之間線段最短”的數學理論可以得到，點A和點C之間線段AC最短，所以AB+CB＞AC。換成點A和點B 來看，點A 和點B 之間線段AB 最短，所以AC+BC＞AB。從點B 和點C 來看，點B 和點C 之間線段BC 最短，所以AC+AB＞BC。經過剛才的推理，學生可以顯而易見地知道“三角形任意兩邊之和一定大于第三邊”的說法是正確的。有的學生用反證法進行論證，將這個三角形的邊長分別設為a，b，c。假設三角形的兩邊之和小于或等于第三邊，可以得到：a+b≤c，a+c≤b，b+c≤a（由于a，b，c是三角形的邊長，所以a，b，c＞0；將兩邊相加得到：2（a+b+c）的和≤a+b+c；將兩邊都除以a+b+c得到2≤1。這是不存在的，即假設不成立，所以三角形任意兩邊之和一定大于第三邊。

教師通過這樣促進學生深度學習，使他們學會認知、學會表達、學會與他人共處，以及學會思考、學會創新，實現數學教學從知識向經驗、思想、能力的深度轉化。學生層層深入地理解三角形任意兩邊大于第三邊的道理，做到知其然也知其所以然。

四、讓學生獨到見解的表述

教師構建說理課堂，既可以幫助學生打通知識的前后聯系，建立完善的知識體系，也能發展學生的數學思維，培養學生的數學表達能力。教師要引導學生在說理課堂上多說、多想、多實踐，讓其對數學知識形成深度認知，形成一個動態的、體現個性思維的課堂。

北師大版數學教材四年級下冊第一單元，學生已經學習了小數加減法，知道列豎式計算小數加減法時，小數點要對齊，相同數位要對齊，因為計數單位相同才能直接相加減。那么，筆算小數乘法時，為何小數點不對齊，而是像整數乘法一樣末位對齊呢？

教師先引導學生筆算小數乘法，看看能否把小數點對齊和相同數位對齊進行計算，如2.4×0.85，學生先把小數點對齊和相同數位對齊后進行計算。再把第二個乘數百分位上的5×2.4，用0.05乘十分位上的4，0.05×0.4=0.02。最后，用0.05 乘個位上的2，0.05×2=0.1，把它們加起來就是0.05×2.4=0.12。

教師引導學生用同樣的方法計算十分位的8×2.4，先用0.8 乘十分位上的4，0.8×0.4=0.32，再用0.8乘個位上的2，0.8×2=1.6，并把它們加起來，結果是1.92。0×2.4這步可以省略，因為0乘任何數都得0。

學生把各個數位的得數加起來，得到結果2.04，這是經過四次乘、三次加得到的計算結果，說明小數點對齊的計算方法也是可以的。此時，教師提出核心問題：為什么不選擇把小數點對齊進行計算呢？

教師引導學生觀察小數點不對齊情況，如2.4×0.85 可以把2.4 擴大10 倍變成24，把0.85 擴大100 倍變成85，這樣兩個乘數一共擴大了1000倍，把小數乘法轉化成整數乘法24×85，再按照整數乘法的計算方法來算，最后把乘積縮小到原來的一千分之一，也就是把小數點向左移動三位，得到2.04。如此，經過兩次乘、一次加、一次轉化，在計算時無需用到小數點。教師引導學生對比這兩種方法，學生總結出：小數點對齊方法用了四次乘法運算、三次加法運算；而小數點不對齊，末位對齊的方法，進行了兩次乘法運算、一次加法運算。因此，乘法豎式計算不是不能小數點對齊，只是如此一來，簡單的問題過程復雜化了，而且對于多位小數相乘，相應的過程會更加復雜。

通過上面的例子，學生可以觀察到，筆算小數乘法小數點對齊的方法過程比較復雜，而末位對齊的計算方法過程更簡單。所以在筆算小數乘法時，小數點一般不對齊，而是像整數乘法一樣遵循末位對齊。

總之，隨著新課改的不斷深入，說理教學手段逐漸涌現，由于數學具有特殊性，說理教學手段的科學運用對學生核心素養的發展具有重要作用。在小學數學教學中，教師可以借助說理教學手段，幫助學生加深數學內容本質以及內涵的認識和理解，并熟練掌握數學語言，進而條理清晰地闡述數學道理，強化學生的綜合能力，從而促進學生的持續發展，為學生未來奠定基礎。