浸潤學科核心素養，凸顯本真教學

蔣金寧

六個方面的數學核心素養一直貫穿于義務教育、大學教育等不同階段。研究性學習的綜合實踐活動課程是培養數學學科素養的重要途徑。數學素養是現代社會每一個人都應該具備的基本素養，素養不是知識，知識的積累并不必然造成素養的發展，但素養離不開知識，如果沒有知識，素養就是無源之水、無本之木。首先，將知識變成研究和應用的對象，然后把專業知識點上升為專業概念性知識，更加注重專業知識在與現實生活交往中所形成的個人思維火花或經驗積淀，但總的來說，個人知識在培育學生核心素養中起到了關鍵作用。最后，逐步改變知識教學的方式方法，以做到倡導深度學習與合作學習。

高中數學核心素養包含：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面。這六個核心素養休戚與共，但又各有不同，它們需要認真研究，準確把握，并實際地滲透到學科的教學活動中。以下以高中教材中《數列的概念》的教學設計為例，詳細描述了核心素養在教學設計過程中滲透的具體實例。

1 核心素養與數列概念教學的關系

1.1 重視概念生成，培養學生建模能力

在教學中，首先可從生活中的情境出發，從實際生活問題抽象概括出數列模型，讓學生觀察數列模型的共性，提煉出數列的定義、數學表達式及特點，抽象出數列的概念，使學生體會在現實生活中可以汲取到解決數學問題的智慧，讓學生對后續內容的學習產生期待，培養學生數學建模的能力。

1.2 重視問題引導，促進學生思維發展

基于問題引導的探究式學習應當以“情景導入—自學探究—精講點撥—課堂訓練—總結”為主要教學環節。本文以提出問題、分析問題、解決問題為線索貫穿整個教學環節，問題引導應當基于實際教學內容，以合理巧妙設計問題串的形式幫助學生對知識理解與掌握。

1.3 重視過程滲透，提升學生數學素養

首先從實際生活情境觀察提煉數學模型，讓學生了解數列概念的形成過程，從而得出數列的概念，發展學生數學抽象、數學建模與直觀想象的核心素養。其次，通過自主辨析判斷數列的概念，發展學生數學抽象的核心素養。再次，通過解決數列求通項的例題與數學著作中的生活實際問題深化對數列的理解，發展學生數學建模與數學運算的核心素養。最后，總結數學方法的運用，整個教學環節應深入挖掘數列的知識所承載的數學核心素養，落實培養學生數學核心素養的目標。基于核心素養的數學概念教學，應當堅持以學生為主體、教師為主導的原則，將課堂真正還給學生，給予充分的時間讓學生進行自主探究與合作學習，這就需要精心設計教學環節，讓學生經歷通過生活實例建構數學模型的過程，從而理解數學概念的本質特征，充分激發學生學習興趣，發展學生數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象與數學運算的核心素養。

2 教材分析

數列是高中數學教材的主要內容，它是一類特殊函數，并在其他復雜函數運算中發揮著重要的作用。本節課為人教版高中數學新課程必修五第二章數列的第二學時，作為基本概念，數列的教學有利于學生掌握其基本應用和本質概念，為學生后期學習等差數列、等比數列提供扎實的理論基礎。它在生活中也具有很廣闊的實踐用途，它也是一些高中數學知識點的重要匯合點，常常與方程問題、不等式問題、三角問題、函數問題、幾何問題結合，進而綜合進行教學。數列內容在高考中有著非常高的地位，在試卷分值中占據很大的比重，同時又是有效實施學生數學核心素養的重要切入點，所以在教學中需要受到充分的關注。

3 學情分析

本節課是高二上學期的一堂課，學生已經在高一時學過函數的概念、表示、性質，基本初等函數，函數的應用等知識，所以對數列的理解有一定的基礎。高中二年級學生在數學思維方面表現得相對較好，他們具備獨立思考的能力，能夠根據各種現象總結歸納出事物的本質，并且通過自主或合作的探究來發現不同概念之間的關系。建議在學習過程中引入獨立思考、自行探索以及小組合作等學習方式，以期能夠更加深入地掌握相關概念。

4 教學目標

（1）通過具體實例的觀察，抽象與概括，從特殊到一般推出數列的概念（直觀想象、數學抽象）；

（2）通過回憶集合、函數的概念，進而分析函數和數列之間的關系（邏輯推理）；

（3）觀察類比、發現規律、推導通項公式，并根據通項公式求出數列各項，也可以通過數列項的歸納與總結推出通項公式（邏輯推理、數據分析）；

（4）通過數學史和生活中的實例，我們可以深刻感受到數學的抽象之美以及數學探索帶來的愉悅，并且體會到數學在文化領域中的重要價值（數學建模）。

5 教學過程

5.1 創設情境，引出新課（從直觀想象中合理轉化加以邏輯推理）

師：“生物學中有一種細胞，每次分裂兩個，每次分裂以后的個數分別是多少？”

生：“1，2，4，8，16…”

師：“‘一去二三里，煙村四五家，亭臺六七座，八九十枝花。從這首詩中，你能發現什么規律？”

生：“可以發現一列數。1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10…”

師：“我們學過的四邊形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形、九邊形，以此類推，它們邊的數量依次是多少呢？”

生：“4，5，6，7，8，9…”

師：“假如某體育館內一共二十排座位，最前面的座位十個，后面每排都比前面第一排多出了四個位置，那么后面各排的座位數分別為多少呢？”

生：“10，14，18，22，26…”

師：“有句古語，‘一尺之棰，日取其半，萬世不竭。如果‘一尺為1，則每次取半以后，所剩為多少？”

生：“1，，，，，…”

師：“王云從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數據（單位：厘米）依次排成一列數：

75，87，96，103，110，116，120，128，138，145， 153，158，160，162，163，165，168…①

記王云第i歲的身高為hi，那么h1=75，h2=87，h17=168。我們發現hi中反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置，即h1=75是排在第1位的數，h2=87是排在第2位的數，……h17=168是排在第17位的數，它們之間不能交換位置，所以①是具有確定順序的一列數。”

師：“古語云，‘勤學如春起之苗，不見其增，日有所長，如果對‘春起之苗每日用精密儀器度量，則每日的高度值按日期排在一起，可組成一個數列嗎？”

那么什么叫數列呢？

設計意圖：通過創設實際生活的教學情景，引導學生可以通過直觀想象掌握數學概念，內容簡明清晰，新鮮感十足，并逐步提高邏輯推理能力，進而使學生的直觀想象核心素養得以培養。

問題1：這些例子有無異同？按照之前分好的小組，學生展開討論。

生：“它們的結果都是數。”

師：“將這些數對調順序可以嗎？”

生：“不可以。如果相應的順序改變了，原來的意思就變了。”

師：“通過以上的例子可以得出，它們都是按照一定的順序組成的數，也就是數列。”

問題2：以上學習的基礎上，請簡述數列的定義。

在學生的回答中，引導并強化數列的順序。

設計意圖：在教學設計中，問題應該成為出發點，因為問題能夠引發學生的學習興趣。同時，老師應該在恰當的時間給予正確的指導和提示，尊重學生的主體意識。通過共同探索、合作學習等形式，學生們將能夠解決數列定義等數學問題，提高他們的邏輯推理及數學核心素養。

5.2 自主探究，引入新知（從邏輯推理中歸納總結加以數學抽象）

問題3：對以下問題進行思考。

（1）把數列1，3，5，7，9調整為9，7，5，3，1。兩個數列是同一個數列嗎？

（2）-2，2，-2，2，-2，2，…是否可稱為數列呢？如果寫成2，-2，2，-2，2，-2，…以上兩組屬于同一數列嗎？

（3）9，99，999，9999，…有什么規律呢？

問題4：從這些例題中可以發現，它們都有相應的次序，之前學到的知識點有考慮到次序的嗎？兩者之間有什么差異呢？小組討論，教師巡視指導。

生：“以前學過的集合涉及次序。”

生：“在數列中，數都是有一定次序的，而且數可以相等，但集合中的數并不存在一定次序，且集合中的數也不可以相等。”

師：“集合能夠被分為有限集、無限集，那數列可以怎么分類呢？”

教師指導學生分析出數列可能被劃分為無窮數列和有窮數列。

師：“如果數列中的每一個項是相對確定的，即在數列中的每一個同項數都存在著一定的相對關系，這與之前學習的內容有相同的嗎？”

生：“函數。”

師：“說得好！那數列與函數有什么聯系？”

學生之間交流，討論。

生：“數列就是函數。”

師：“數列的定義域是什么？”

生：“正整數集或它的有限子集{1，2，…n}，它們所有的項組的集，就是數列的定義域。”

師：“那么數列可以被認為是一種特殊的函數，根據函數自變量、因變量的關系及其定義，an是關于n的函數。”

教師讓學生總結數列的概念。

生：“數列，是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。數列中的每個數都稱為數列的項。這個數列的第1項叫作首項，第2項叫作第2項，后面的每一項依次順延，排在第n位的數稱為這個數列的第n項，通常用an表示。”

點睛：（1）數列是按一定的“順序”排列的一列數，有序性是數列的基本屬性。數相同而順序不同的兩個數列是不相同的數列，例如1，2，3，…與3，2，1…就是不同的數列。

（2）符號{an}和an是不同的概念，{an}表示一個數列，而an表示數列中的第n項。

設計意圖：將數列概念與函數相關聯，但對于學習者來說可能會有一定難度。那么在引入數列概念之后，如何讓學習者更容易地理解數列與函數之間的關聯呢？通過逐步設置適當難度的“問題串”，引導學生進行漸進式思考、自主探究和交流研討，逐漸理解數列概念，并增進函數含義的理解。這樣一來，學生的邏輯推理、數學抽象等核心素養也得以加強。

5.3 聚焦數列，靈活應用概念（數學抽象概括加以數學運算）

問題5：有一個數列的前五項分別為2.5，3.5，4.5， 5.5，6.5，你能歸納出它的第6項嗎？

問題6：給出以下數列的通項公式，你能分別寫出它們的前三項嗎？

（1）an=4-2n；（2）an=n2+n。

設計意圖：通過對數學概念的掌握，要學會對具體的實際應用問題加以處理。以上兩個實例中，都反映了對數列通項公式的運用，從而培養了學生的數學運算的基本核心素養。

問題7：給出以下數列的前四項，你能寫出它們的通項公式嗎？

（1）2，4，6，8；

（2）0，4，0，4；

（3）5，55，555，5555；

（4），，，。

問題8：數列的分類有哪些？

類別 含義

按項的個數 有窮數列 項數有限的數列

無窮數列 項數無限的數列

按項的變化趨勢 遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列

遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列

常數列 各項相等的數列

擺動數列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列

設計意圖：學生通過觀察和探索，來加深對數列特點和規律的理解，同時培養他們總結和猜想能力，以此提高他們對于一般學習規律的把握，從而提高數學抽象、數學運算等核心素質。

5.4 當堂反饋，及時鞏固概念

問題9：觀察下列一組數，試著總結通項公式。

（1），，，；

（2）1，5，9，13。

問題10：（1）給出數列的通項公式an=- ，它的第3項、第5項分別是多少？

（2）有數列的通項公式an=，寫出它的第6項、第10項。

問題11：下列敘述正確的是（? ）。

A.所有數列可分為遞增數列和遞減數列兩類

B.數列中的數由它的位置序號唯一確定

C.數列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}

D.同一個數在數列中不可能重復出現

解析：按項的變化趨勢，數列可分為遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列等數列，A錯誤；數列1，3，5，7與由實數1，3，5，7組成的集合{1，3，5，7}是兩個不同的概念，C錯誤；同一個數在數列中可能重復出現，如2 ，2，2，…表示由實數2構成的常數列，D錯誤；對于給定的數列，數列中的數由它的位置序號唯一確定，B正確。

答案：B

設計意圖：通過在課堂上進行實踐，我們可以評估學生是否能夠理解和掌握新知識，同時還可以培養學生的遷移能力、提升學生的邏輯推理和數學運算能力等核心素養。

5.5 歸納總結，積累經驗

問題11：在本節課的學習中，通過聯系舊知，探索新知，數列與集合，數列與函數之間關系，根據數列的前幾項寫通項公式的具體思路是什么呢？常見的數列有哪些呢？從中你學到了哪些數學核心素養？

師生一起總結。

（1）根據數列的前幾項寫通項公式的具體思路為：

①先統一項的結構，如都化成分數、根式等。

②分析這一結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的關系。

③對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用（-1）k處理符號。

④對于周期出現的數列，考慮利用周期函數的知識解答。

（2）常見數列的通項公式

①數列-1，1，-1，1，…的一個通項公式是an=（-1）n，數列1，-1，1，-1，…的一個通項公式是an=（-1）n+1或（-1）n-1。

②數列1，2，3，4，…的一個通項公式是an=n。

③數列1，3，5，7，…的一個通項公式是an=2n-1。

④數列2，4，6，8，…的一個通項公式是an=2n。

⑤數列1，2，4，8，…的一個通項公式是an=2n-1。

⑥數列1，4，9，16，…的一個通項公式是an=n2。

⑦數列1，3，6，10，…的一個通項公式是an=。

⑧數列1，，，，…的一個通項公式是an=。

設計意圖：培養學生良好的學習習慣和元認知能力，即能夠自覺總結反省，注重達成教學目標。采用以問題為驅動的教學方式，讓學生完成自我總結和歸納，從而幫助梳理課堂復習的重點，認識核心素養的重要性。

5.6 布置作業，分層落實

（1）練習本節課后練習基礎題1，2；提升題11，26題。

（2）閱讀課本課后思考，了解斐波那契數列知識背景。

6 教后評析

教師應當以學生的核心素養發展為中心，系統構思和設計多樣化的課堂情境，引導學生獨立思考思維模式，培養合作精神，最終達到領悟數學概念的深層意義的目的。在這樣的教學設計中，我們將問題引導作為貫穿始終的核心策略，從而實現各方面的數學教學目標。

6.1 合理設計情境，凸顯本真教學

本節課通過設計生活實例、設計生物學和古詩名句，將其融入數學，并通過聯系新舊知識的方式引導學習者在現實問題情景創設的基礎上理解數學知識結構，以此彰顯現實問題和數學知識之間的關聯，同時也幫助學習者在已有的“舊知識”基礎上理解并掌握“新知識”。通過對集合和函數知識的復習，對原有的知識點進行總結，間接地提供了新的知識。考慮到新問題的提出清晰有序、逐步深入，展現了“真實教學”的理念，整個教學過程相對自然流暢。通過從生活實例中抽象數列概念的本質和構成要素，滲透了數學抽象的核心素養，應用列表法和圖像法探究數列和函數的區別與聯系，觀察數列的前幾項探究發現數列通項公式，提升直觀想象和數學運算核心素養。

6.2 通過問題導學，促進意義建構

本課程采用“問題探究式”的教學方法進行教學，在數學領域中，針對數列問題，可以在學生的發展區內設置相關問題，讓學生分階段、分梯度地掌握知識點，通過自由探究、合作互動等方式在數列上展開活動，激發學生對數列概念的認識，從而掌握以簡單生動的方式表達抽象數學活動的數學思想方法，實現內容過程反映和意義建構，促進學生認知結構的形成。

6.3 滲透數學文化，提升數學素養

通過創造文化氛圍、引入名句和詩歌，將人文價值和精神融入數學教學，以此激發學生的興趣，提高學習者的核心素養。教師可以通過安排學生閱讀教材中的斐波那契數列，讓學生了解數學史，認識數學家探究數學概念所運用的基本方法和思考方法，不斷提高學生的數學素養，高中數學課程標準已把“體現數學的文化價值”作為基本理念之一，并進一步指出：“通過在高中階段對數學文化的學習，學生將初步了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值、人文價值。”由此可見，數學的文化價值是其他課程無法代替或難以達到的，這要求我們在教學中注意挖掘數學文化資源，拓展學生的學習空間，帶領學生一起去欣賞古今中外的數學史料和故事，感受數學的發展歷程，不僅能夠增強學生學習數學的信心，而且還能夠讓學生了解到不同文化背景下的數學思想，理解數學的多元文化，數學文化應有的人文價值真正得到體現。

（作者單位：喀什大學數學與統計學院）