智能晾衣機托架的理論力學建模及優化設計

周 亮

（廣東好太太科技集團股份有限公司 廣州 511434）

引言

隨著我國經濟的快速發展，人們對于生活水平的要求也越來越高，電動晾衣機作為一種新型的、便利的物品也逐漸進入人們的生活當中。這種集遙控升降、LED照明功能為一體的產品正改變人們的日常生活，成為陽臺上的一件必備品[1]。

托架作為晾衣機的重要組成部分承擔著承重和防止擺動、防偏差的功能。托架的主要結構分為托架主體及折疊結構。托架主體作為受力主體承載著晾桿上豎直方向的力并保持不變形，同時托架的折疊結構能在晾曬的桿子上升到頂部時，收攏成緊湊的結構方式，而在晾曬的桿子下降到合適晾衣時，其折疊結構需要既能保證晾曬的桿子的受力平衡，又能保證左右穩定性[2]，見圖1。

圖1 帶托架折疊結構的晾衣機

由于設計的不合理和材料應用的不恰當，托架的使用存在性能缺陷或者材料過剩的情況。而折疊結構作為托架的重要組成部分，目前對其進行的研究，多數集中在其作為舉升機構或者作為機械執行部件上，如張威[3]等對剪刀架托舉升機構的內力場建模研究，胡小舟[4]等對剪叉式舉升機構建模及關鍵參數的研究，羅寧[5]對剪叉式液壓升降臺速度控制方法和仿真分析，王汝貴[6]等對新型剪叉折展機構的運動性能研究，馬驪溟[7]等對剪叉機構鉸鏈耦合模型的分析。目前尚未有相關公開論文針對晾衣機托架進行結構強度方面的研究。隨著晾衣機行業的發展，為使晾衣機在滿足安全性、可靠性的基礎上，優化產品設計以節省產品成本，創造效益，對晾衣機托架進行結構強度理論研究和設計優化變得非常重要。

1 力學分析

1.1 托架整體力學分析

晾衣機具備上升和下降的功能，所以其折疊結構托架折疊部分為運動部件，我們需要研究其所受的力和力學性能在運動中的關系，計算其相關的物理量，從中分析出最優的狀況來確定結構參數。

表1 為托架在其運動過程中以及靜止狀況下各種所需要求輸入，其中，材料的尺寸參數與材質等為最初設計參數，我們將進行各項分析后來對其進行優化；

表1 折疊結構托架各項輸入參數（初）

根據托架的各項輸入參數繪制受力圖，如圖2、3。

圖2 托架折疊結構（平衡受力分析圖）

圖3 托架折疊結構（單邊受力分析圖）

晾衣機工作時，作用于托架系統上各種力構成平面力平衡[8]。

式中：

F0—鋼絲繩拉力；

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

F3—掛于托架右端的衣物重力；

Fn—托架折疊片軸線拉力；

Fm—托架折疊片軸線推力；

l1—托架主體的長度；

l—折疊片的長度；

α—折疊片的傾斜角度；

β—托架的傾斜角度。

1.2 關鍵零件的受力方程推導

實驗表明，托架失效多出現在托架單邊受力不均的情況下，托架失效模式集中表現為三種：鋼絲繩斷裂失效，折疊片的鉚釘受剪失效，折疊片彎曲失穩失效[9]。下面將通過工程力學理論，建立托架單邊受力不均時鋼絲繩，折疊片鉚釘，折疊片的力學方程，研究此三種失效模式。

1.2.1 鋼絲繩受力方程

由公式（1）得：

由公式（2）得：

將公式（4）代入公式（5），得到鋼絲繩所受拉力F0：

式中：

F0—鋼絲繩拉力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

F3—掛于托架右端的衣物重力；

l1—托架主體長度；

l—折疊片長度；

α—折疊片斜度；

β—托架最大斜度。

使用Matlab 軟件，繪制出鋼絲繩所受拉力F0與折疊片傾斜角度α，托架傾斜角度β 的函數曲線，見圖4。

圖4 鋼絲繩受力與托架折疊片傾斜角度函數曲線

圖5 托架收攏狀態受力分析

其中，Fk為箱體固定件施加于托架折疊片，使其保持平衡的壓力。取B 點為質心：

將（7）式代入（8）可以得出：

式中：

F0—鋼絲繩拉力；

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

F3—掛于托架右端的衣物重力；

l1—托架主體長度；

l—折疊片長度。

考慮最極端的受力不均情況，取0，此時得到：

式中：

F0—鋼絲繩拉力；

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

l1—托架主體長度；

l—折疊片長度。

鋼絲繩目前采用7*7 規格，直徑1.5 mm。通過查表2 得，此規格鋼絲繩最小破斷拉力為1.67 kN。將鋼絲繩最小破斷拉力代入式（10）的F0，求鋼絲繩所能承受的施加于托架的最大不平衡力F2：

為使鋼絲繩不失效，施加于托架的不平衡力F2應小于582.8 N。

1.2.2 折疊片鉚釘受力方程

取單根折疊桿為研究對象，由式（3）得：

結合公式（4）：

考慮最極端的受力不均情況，F3取0。結合公式（4）公式（12）得：

式中：

Fn—托架折疊片軸向拉力；

Fm—托架折疊片軸向推力；

F0—鋼絲繩拉力；

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

α—折疊片傾斜角度；

β—托架傾斜角度。

使用Matlab 軟件，繪制鉚釘所受剪力Fn與折疊片傾斜角度α，托架傾斜角度β 的函數曲線，見圖6。

圖7 鉚釘剪切力

圖8 單條折疊桿受力分析

根據約束條件：托架最大斜度β ≤15 °，折疊片最小斜度α ≤110 °，利用Matlab 軟件邊界條件函數工具解得鉚釘剪力函數Fn在最大值時，β=2.87 °，α=97.45 °。

從鉚釘的受力情況來分析，認為其僅受到純剪切應力的作用，折疊桿所使用為圓鉚釘，設鉚釘截面直徑為d，則鉚釘的剪切面的面積為：

式中：

A—鉚釘剪切面的面積；

d—鉚釘截面直徑。

根據剪切應力計算公式：

式中：

τ—鉚釘剪切面所受到的剪應力；

Q—鉚釘剪切面所受到的剪切力；

A—鉚釘剪切面的面積。

鉚釘在n 點所受到的剪力：

將公式（6）取0 得：

將公式（18）代入公式（19）得：

式中：

τn—鉚釘所受到的剪應力；

d—鉚釘截面直徑。

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

11—托架主體長度；

l—折疊片長度。

α—折疊片傾斜角度；

β—托架傾斜角度。

根據材料力學理論，判斷材料正常工作容許采用的最高應力，一般都按以下公式來確定[11]：

式中：

[σ]—材料的許用拉應力；

σs—材料的屈服強度；

ns—安全系數。

鉚釘的材質采用12Cr17Mn6Ni5N 不銹鋼【SUS201】，[σ]為許用拉應力，[σ]=σs/n，n 為安全系數取1.7，σs取值275 MPa[12]。計算出：

將代入即

代入表1 參數，計算得：

F2＜551.29 N

為了使鉚釘不受折疊片剪力失效，施加于托架單邊的不平衡力應小于551.29。

1.2.3 折疊桿受力公式推導

從折疊桿的受力分析可知，當托架受到單邊不平衡力時，單條折疊桿兩頭受擠壓力而產生形變位移，從而導致折疊桿塑性變形失穩。

取單條折疊片進行受力分析，根據歐拉公式，折疊片失穩臨界力Fcr[13]：

式中：

Fcr—折疊片的失穩臨界力；

E—折疊片的抗彎剛度;

I—折疊片的慣性矩；

l—折疊片的長度。

折疊片的臨界應力：

式中：

бcr—折疊片失穩的臨界應力；

Fcr—折疊片的失穩臨界力；

A—折疊片的截面積。

設折疊片的厚度及折疊片厚度和寬度分別為a，b，則折疊片的慣性矩：

式中：

I—折疊片的慣性矩；

a—折疊片的厚度；

b—折疊片的寬度。

折疊片失穩臨界力：

為確保折疊片穩定，折疊片所受壓力 Fn應小于臨界壓力Fcr，即：

Fn＜Fcr

代入公式（14）與公式（26），得到：

公式變換得到：

式中：

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

l1—托架主體長度；

l—折疊片長度。

α—折疊片傾斜角度；

β—托架傾斜角度。

E—折疊片抗彎剛度;

a—折疊片的厚度；

b—折疊片的寬度。

折疊桿采用Q235 材料，通過查表得[14]，Q235 抗彎剛度E=200 GPa，安全系數ns取1.7，代入表1參數運算得：

F2＜790.9

1.3 失效模式對比分析

綜上計算結果

1）考慮鋼絲繩斷裂失效模式，施加于托架單邊的不平衡力：

F2(繩)＜582.84 N

2）考慮折疊桿鉚釘受剪力失效，施加于托架單邊的不平衡力：

F2(鉚)＜551.39 N

3）考慮折疊桿受擠壓力失穩失效，施加于托架單邊的不平衡力：

F2(桿)＜790.9 N

對比：

由式（30）可知，隨著施加于托架單邊的不平衡力逐步增大，最先出現的失效模式為鉚釘受剪力失效，然后出現鋼絲繩斷裂失效，最后出現折疊桿受擠壓力失穩失效。

1.4 托架設計可靠性提升方案

綜上計算分析結論，提升托架設計可靠性提升，應首先提高折疊桿鉚釘的抗剪強度，鉚釘受剪力公式為：

式中：

τn—鉚釘所受到的剪應力；

d—鉚釘的截面直徑。

F1—托架和晾桿自身的重力；

F2—掛于托架左端的衣物重力；

l1—托架主體長度；

l—折疊片長度。

α—折疊片傾斜角度；

β—托架傾斜角度。

因折疊片長度，托架長度受到晾衣機實際使用條件制約，調整空間不大。由上述公式可知，在負載不變的情況下，加大鉚釘的直徑，可大大提高鉚釘的抗剪強度，進而提升托架的設計強度。

提高鋼絲繩的破斷拉力，也是提升托架設計可靠性的重要手段，參考國標GB 8918-2006《重要用途鋼絲繩》[10]，選用大直徑鋼絲繩，提升鋼絲繩的材質，均為提高鋼絲繩破斷拉力的有效方法。

提升折疊桿的受壓穩定性也是提高托架的設計可靠性的必要條件，折疊桿的失穩臨界力公式：

式中：

Fcr—折疊片失穩臨界力；

E—折疊片抗彎剛度;

a—折疊片的厚度；

b—折疊片的寬度；

l—折疊片長度。

由上公式可知，提高折疊桿的寬度和厚度和減少折疊桿的長度，均可有效提高折疊桿的耐受壓力。因折疊片的寬度和長度受到晾衣機實際使用條件制約，提高折疊桿穩定性最有效的方案為提高折疊片的厚度。當然，選用抗彎剛度E 更高的材料，也可提高折疊桿穩定性，但考慮到經濟性和提升幅度，選用抗彎剛度E 更高的材料為次優方案。

2 托架的經濟性最優設計

因晾衣機有額定承重要求，實際使用中施加于托架的力不可能無限增大，本篇以市場上主流額定承載45 kg的晾衣機為例，根據前面建立的力學模型，反推出鋼絲繩，鉚釘，折疊桿的理論設計最小值，以供后期設計參考。

2.1 初始條件

假設掛于晾衣機的負載為45 kg，且按最極限狀態，45 kg 負載全部掛于一側晾桿，因單臺晾衣機托架為兩個，故單個托架單邊所受力：

2.2 鋼絲繩受載計算

將F2=220.5 N 代入公式（33）：

代入表1 參數求得 F0=694.9 N，鋼絲繩需承載質量：

查表2 鋼絲繩規格選用表得，7*7 規格，直徑1.2 mm 鋼絲繩最大承載質量為122.4 kg。故鋼絲繩理論最低規格可選用7*7，直徑1.2 mm。

2.3 鉚釘受載計算

將F2=220.5 N 代入公式（23）：

τ0=129 MPa，代入表1 參數，求得：

d＞3.59 mm

由計算可得，鉚釘的最小規格，可選用φ4 規格。

2.4 折疊桿受載計算

將F2=220.5 N 代入公式（29）：

代入表1 參數，求得：

a＞2.1 mm

由計算可得，折疊片最小厚度可選用2.1 mm。

2.5 對比總結

因晾衣機有耐用性要求（一般為使用運行壽命大于6 000 次）[15]，考慮到長期運行中鋼絲繩磨損，鉚釘，折疊桿受應力沖擊產生金屬疲勞，金屬長期暴露在外受環境腐蝕等因素[16]，實際使用選型應比理論最小值高一等級，以確保晾衣機在長期使用中的可靠性。依據以上的分析計算，推薦3 個關鍵零件選型見表3。

表3 各零件理論與推薦選用規格對比

3 結束語

本文通過對晾衣機托架折疊結構進行理論力學建模，研究晾衣機負載工作時，托架組件的受力和運動情況，推導托架上易損零件鋼絲繩，鉚釘，折疊桿的受力方程。分析托架在承受單邊不平衡負載的情況下，各個部件的拉伸、剪切、彎曲等不同狀況，并借助matlab 軟件結合強度理論計算出各種失效模式下托架所承受的單邊極限負載值，通過對比單邊極限負載值，得出各種失效模式的發生順序，分析發生原因，提出解決托架失效的措施，為托架設計的可靠性安全性提升提供理論指導。

根據前面所建立的負載及失效的理論模型，通過晾衣機額定負載值的約束，結合材料力學相關理論，反推出各零件的理論設計最小值，為托架設計的經濟性提供理論指導，為企業創造客觀的效益。