基于輪對系統的激變及多穩態動力學研究

張凱旋　樂源

摘要：以兩自由度鐵道機車輪對自治系統為研究對象，得到行進過程中隨速度參數變化的橫移分岔圖進行數值模擬。基于Floquent乘子刻畫周期解穩定性，利用Lyapunov指數刻畫混沌運動。將滯后環與多穩態現象聯系起來，在滯后環內部，系統存在多穩態共存；在滯后環外部，多穩態共存消失，滯后環邊界處產生邊界激變現象，邊界激變是由于不穩定周期軌道與穩定周期軌道相接觸導致分岔圖產生的跳躍現象。基于吸引域圖，對滯后環內外多穩態共存現象的出現和消失進一步解釋并求解了邊界處的Floquent乘子和混沌區域的最大Lyapunov指數。

關鍵詞：輪對系統；滯后分岔；激變；多穩態；Floquent乘子

中圖分類號：O322；U27?????????????????????????? 文獻標志碼：A????????????????? doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.08.001

文章編號：1006-0316 （2023） 08-0001-07

Crisis and Multistability of Railway Wheelset System

ZHANG Kaixuan，YUE Yuan

（ Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province， School of Mechanics and Aerospace Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China ）

Abstract：Taking a two-degree-of-freedom railway wheelset autonomous system as the research object， the transverse bifurcation diagram varying with the speed parameter during the traveling process is obtained for numerical simulation. The stability of periodic solution is described based on Floquet multipliers， and chaotic motion is described by Lyapunov exponents. The hysteresis loop is connected with the phenomenon of multistability. Inside the hysteresis loop， there is the coexistence of multistability in the system; outside the hysteresis loop， the coexistence of multistability disappears， and the boundary crisis phenomenon occurs at the boundary of the hysteresis loop. The boundary crisis is the jumping phenomenon resulted from the bifurcation diagram， which is caused by the contact between the unstable periodic trajectory and the stable periodic trajectory. Based on the basin of attraction， the appearance and disappearance of the multistability coexistence phenomenon inside and outside the hysteresis loop are further explained. The Floquet multipliers at the boundary and the largest Lyapunov exponents of the chaotic region are solved.

Key words：wheelset system；hysteresis bifurcation；crisis；multistability；Floquet multiplier

列車行進過程中時常會有蛇行運動現象，蛇行運動會導致列車輪對與軌道之間出現碰撞接觸，長期的碰撞接觸會使輪對和軌道產生磨損消耗，極易發生脫軌、傾覆等安全問題，并且這種不規律的往復橫移會極大影響乘坐舒適性。蛇行運動的橫移幅值和頻率受到很多參數的影響，因此需要對輪對系統進行動力學研究，使在列車設計和安全檢測的過程中，有理論根據地進行參數優化，避免很多安全隱患。

在國外研究中，Huilgol^[1]對鐵道車輛動力學進行了分岔分析，并發現了系統中的非對稱運動，但沒有進行更加深入的分析和解釋。其后，Isaksen^[2]在機車動力學系統中發現了混沌，Meijaard等^[3]通過對正弦軌道上滾動輪對的研究，得出混沌是由于受迫振動產生的結論。近代對動力學的研究中，Knudsen等^[4]用延續算法求解了非線性車輛系統的分岔問題。Hoffman^[5]數值模擬出歐洲雙軸客車的周期解和混沌吸引子共存的動力學現象。Zboinski等^[6]研究了車輛系統中的不同參數對列車在曲線軌道上運動的穩定性的影響。在國內研究中，高學軍等^[7]提出合成分岔圖，將系統在升速和降速時繪制的分岔圖合成在一張圖中，發現車輛系統在經過擬周期運動后進入混沌。董浩^[8]采用范式法證明了高速動車組在簡單輪軌接觸關系下均存在亞臨界和超臨界Hopf分岔。楊紹普等^[9]考慮非線性滯后彈簧對轉向架系統的Hopf分岔現象的影響，表明轉向架系統蛇行運動的本質是一種Hopf分岔現象。繆鵬程^[10]對含干摩擦阻尼的輪對系統進行全局動力學分析，發現輪對系統存在大量多穩態現象。

多穩態共存現象是指，一個參數作為變量、其他參數固定的情況下，賦予動力學微分方程不同初值，會得到不同穩態解。歐陽茹荃等^[11]利用胞映射方法觀察到船舶系統的吸引子共存和周期倍化等非線性特性，黃羽等^[12]觀察到一個單自由度自治系統在時滯反饋控制的影響下產生多吸引子共存等現象，穩態不同，系統的求解結果會有很大差異，這對研究系統的運動穩定性有很大影響。Erazo等^[13]為計算Filippov系統的吸引域，提出一種改進胞映射算法。吳鑫等^[14]使用胞映射方法尋找懸臂梁振動系統的吸引子和吸引域，揭示了系統由周期運動到混沌的過程，同時發現分岔圖中出現激變現象。

激變現象是指分岔圖中穩態解在很小的參數范圍內發生激烈變化。分岔圖中混沌區域突然變大的現象稱為內部激變，對應吸引域圖形中混沌吸引子突然變大；混沌區域突然消失的現象稱為邊界激變，樂源等^[15]在一類碰撞振動系統中發現兩個共軛的混沌吸引子與對稱不動點接觸，導致激變的發生和陣發性。張惠等^[16]在一類分段光滑碰撞系統中發現，吸引子的消失與混沌吸引子和吸引域邊界碰撞產生的內部激變有關，一般情況都是由混沌運動突然變為周期運動，對應吸引域圖形中混沌吸引子突然消失，有時邊界激變會伴隨著滯后分岔現象。

滯后分岔是平衡點的一種基本分岔，常出現在非線性系統中，在很小的參數范圍內，穩定解發生很大改變，在分岔圖中表現為跳躍現象，分岔曲線在發生滯后分岔的位置不連續，且會有上下兩支，兩個滯后分岔點之間會有一條不穩定的周期軌道，兩支分岔曲線組成一個類似平行四邊形的圖形，稱為滯后環^[17]。

1 單輪對模型運動微分方程

2 融合激變與多穩態

由Floquent乘子的理論可知，在四維系統中，發生音叉分岔的點的乘子應該為兩個1，其中一個1是自治系統本身具有的特征乘子，其余的乘子模長應不大于1，與表中A₁的乘子對應較好，進一步驗證A₁點的音叉分岔性質。發生周期倍化分岔的點的乘子應該為一個1，一個-1，同樣的，1是自治系統本身具有的特征乘子，其余的乘子模長也不大于1，與表中B₁、D₁的乘子對應較好，進一步驗證B₁點和D₁點的周期倍化分岔性質。

對于圖2的C₁點，采用Lyapunov指數^[20]進行驗證。Lyapunov指數是表征狀態空間中相鄰軌道的平均指數發散率或收斂率，是數值識別混沌運動的有力工具。計算出C₁點的Lyapunov指數如圖3所示。可以看出，C₁點的最大Lyapunov指數大于0，對應于此時分岔圖中系統的混沌運動。

由圖2可以看出，系統此時具有多穩態現象，為進一步說明此時系統的全局動力學特性，對取不同參數時的吸引域進行分析，分岔參數v如果取在A₁C₁范圍內，系統存在多穩態共存現象，如果取在A₁C₁范圍外，系統多穩態現象消失。在A₁C₁范圍內時，系統的吸引域和吸引子如圖4所示。

由圖4可以看出，當取v＝75 m/s時，系統為兩個周期一吸引子共存，其中紅色周期一吸引子對應的吸引域為藍色區域，藍色吸引子對應的為黃色區域，黃色吸引域和藍色吸引域之間相互嵌套滲透，呈現出復雜的分形結構，如果給初值加以擾動，系統會從一個吸引子吸引到另一個吸引子上，從而產生多種穩態共存現象。當v增加到83 m/s時，系統發生周期倍化分岔，由周期一運動倍化分岔為周期二運動，此時系統為兩個周期二吸引子共存，其中紅色周期二吸引子對應的吸引域為黃色區域，藍色周期二吸引子對應的吸引域為藍色區域。隨著v增加到90 m/s，系統經過周期倍化分岔通向混沌，此時系統周期吸引子經歷周期倍化分岔演變為混沌吸引子，其中藍色混沌吸引子對應的吸引域為黃色區域，紅色混沌吸引子對應的吸引域為藍色區域。從吸引域的圖形可以看出，此時兩種顏色的吸引域相較于之前速度參數下的吸引域圖分形程度變小，兩種吸引域開始融合在一起，在v增加到95 m/s時，系統的兩種吸引域融合為同一個吸引域，單個吸引子使得吸引域分形結構消失，呈現出光滑結構。這是由于音叉分岔產生的不穩定周期軌道A₁C₁接觸到C₁點的穩定軌道，導致系統發生融合激變，在分岔圖上表現為兩個不同穩態下的混沌區域在C₁點之后融合交織為一個混沌區域，系統由兩種不同的穩態融合成為一個穩態，多穩態現象消失。

3 邊界激變與多穩態

滯后環A₂B₂C₂D₂內部有兩個穩定的周期軌道和不穩定的周期軌道共存，藍色的周期軌道存在完整的周期倍化序列，分岔圖中依次出現紅色周期一軌道和藍色周期一軌道共存、紅色周期一軌道和藍色周期二軌道共存、紅色周期一吸引子和藍色混沌吸引子共存的現象。由圖7可以看出，取v＝60 m/s時，分岔圖中為兩個周期一軌道，有兩個周期一吸引子共存，其中紅色吸引子對應吸引域中的藍色區域，藍色吸引子對應黃色區域；取v＝73 m/s時，分岔圖中對應一個周期一軌道和一片混沌區域，有一個周期一吸引子和一個混沌吸引子共存，其中紅色吸引子對應吸引域中的藍色區域，藍色吸引子對應黃色區域，吸引子和吸引域的形狀及大小較之前并無太大變化，但是混沌吸引子的出現使得系統的全局穩定性降低，繼續增加速度參數到A₂點，系統分叉圖中發生跳躍現象，在很小的速度變化后，分岔圖由A₂點跳躍到B₂點，吸引域由兩種共存的吸引域變為一個周期一的吸引域，混沌吸引子突然消失，原來的混沌吸引子和周期一吸引子共存變為僅剩一個周期一吸引子，分岔圖中表現為混沌區域突然消失，與之共存的周期一軌道繼續隨參數增加而延伸，此時系統發生邊界激變，這是由于從C₂點出發的不穩定周期軌道接觸到藍色混沌區域，形成臨界點A₂，導致其躍遷至穩定焦點B₂，在滯后環左邊界處，不穩定周期軌道與穩定的紅色周期一軌道接觸，產生臨界點C₂，導致其躍遷到穩定的焦點D₂，多穩態共存現象因此被破壞，故而在滯后環內部存在多穩態現象，而在滯后環外部多穩態共存消失。

4 結論

本文通過研究單輪對系統的全局動力學行為，揭示了列車輪對系統在列車行進過程中，隨著速度參數改變，從周期運動到混沌運動的動力學行為，其中包含音叉分岔、倍周期分岔、滯后分岔、融合激變、內部激變、邊界激變、多穩態共存等多種動力學現象。結合Floquent乘子和Lyapunov指數對發生音叉分岔、倍周期分岔、滯后分岔以及發生混沌的不動點性質進行闡述，通過胞映射方法，結合吸引域和吸引子圖形對多穩態共存現象的出現和消失解釋說明，以滯后環為邊界，發現系統在滯后環內部存在周期吸引子和周期吸引子共存，周期吸引子和混沌吸引子共存，在滯后環外部，系統由于發生邊界激變，不穩定周期軌道接觸穩定軌道，改變系統多穩態的穩定性，使共存的吸引子突然消失。本文采用列車系統的參數和動力學方程進行數值模擬，對列車行進安全性，穩定性和舒適性的優化設計有一定的參考價值。

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