導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段. 導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用. 高考中對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查較簡(jiǎn)單，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

重點(diǎn)難點(diǎn)

高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查主要體現(xiàn)在：了解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景、概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，會(huì)用定義法求導(dǎo)數(shù)，能解釋具體函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解曲線在一點(diǎn)的切線的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)在某點(diǎn)處及過某點(diǎn)處的切線方程.

重點(diǎn)：知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

難點(diǎn)：體會(huì)從平均變化率到瞬時(shí)變化率，從割線到切線的過程中采用的逼近思想.

方法突破

？搖？搖1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)并不只限于瞬時(shí)速度、切線的斜率，任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述，如增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度等.

2.曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義：設(shè)曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖象，在曲線C上取一點(diǎn)P（x0，y0）及鄰近一點(diǎn)Q（x0+？駐x，y0+？駐y），過P，Q兩點(diǎn)作割線，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近于點(diǎn)P即？駐x→0時(shí)，如果割線PQ有一個(gè)極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線. 所以曲線與切線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).

3. 幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特別要注意：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的切線與函數(shù)y=f（x）過點(diǎn)（m，n）的切線是不一樣的.前者的切線的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.導(dǎo)函數(shù)的大小變化與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系：可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f ′（x），若f ′（x）為增函數(shù)，則f（x）的圖象是凹的；反之，若f ′（x）為減函數(shù)，則f（x）的圖象是凸的.

典例精講

題型一： 導(dǎo)數(shù)的概念

例1 設(shè)f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足=-1，則f ′（3）=（ ）

A. 2 B. -1 C. 1 D. -2

思索 本題抓住= -1，聯(lián)系導(dǎo)數(shù)的概念，通過適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為f（x）在x=3處的導(dǎo)數(shù).

破解 因?yàn)?=-1，所以f ′（3）==-2. 所以選D.

例2 已知f（x）=alnx+x2（a>0）. 若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2都有>2恒成立，則a的取值范圍是（ ）

A. （0，1] B. （1，+∞）

C. （0，1） D. [1，+∞）

思索 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 由>2恒成立，可知f ′（x）≥2恒成立，從而建立關(guān)于a的不等式.

破解 因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2都有>2恒成立，所以當(dāng)x>0時(shí)， f ′（x）≥2恒成立，即+x≥2在（0，+∞）上恒成立，則a≥2x-x2恒成立. 又（2x-x2）max=1，所以a≥1故選D.

題型二：已知切線斜率求參數(shù)

例3 （2015年高考新課標(biāo)卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)（1， f（1））處的切線過點(diǎn)（2，7），則a=_________.

思索 對(duì)求過某點(diǎn)的切線問題，常設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將已知點(diǎn)代入切線方程得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，解出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出切線方程. 解題思路明確，關(guān)鍵是運(yùn)算要細(xì)心.

破解 因?yàn)閒 ′（x）=3ax2+1，所以f ′（1）=3a+1，即切線的斜率k=3a+1. 又f（1）=a+2，所以切點(diǎn)為（1，a+2）. 因?yàn)榍芯€過（2，7），所以=3a+1，解得a=1.

題型三：求曲線的切線方程

例4 （2015年高考陜西卷）函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為____________.

思索 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.解決導(dǎo)數(shù)幾何意義的問題時(shí)要注意抓住切點(diǎn)的三重作用：①切點(diǎn)在曲線上；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線斜率.

破解 y=f（x）=xex？圯f ′（x）=（1+x）ex，令f ′（x）=0？圯x=-1，此時(shí)f（-1）= -，函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為y=-.

例5 （2015年高考重慶卷）設(shè)函數(shù)f（x）=（a∈R）.

（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）若f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

思索 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題.第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開，設(shè)計(jì)求曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題，這類試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）展開，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開，涉及不等式的證明、不等式恒成立、討論方程根等問題，主要考查通過轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用. 本題涉及第一個(gè)點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)，主要注意問題的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì).

破解 （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)得f ′（x）==，因?yàn)閒（x）在x=0處取得極值，所以f ′（0）=0，即a=0. 當(dāng)a=0時(shí)， f（x）=， f ′（x）=，故f（1）=， f ′（1）=. 從而f（x）在點(diǎn)（1， f（1））處的切線方程y=+（x-1），化簡(jiǎn)得3x-ey=0.

（2）由（1）知f ′（x）=，令g（x）=-3x2+（6-a）x+a，由g（x）=0解得x1=，x2=. 當(dāng)x0，即f ′（x）>0，故f（x）為增函數(shù)；當(dāng)x>x2時(shí)，g（x）<0，即f ′（x）<0，故f（x）為減函數(shù)； 由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，即x2=≤3，得a≥-. 故a的取值范圍為-，+∞.

題型四：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)的圖象

例6 若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是（ ）

A B

C D

思索 逐一對(duì)A、B、C、D進(jìn)行檢測(cè)，看哪個(gè)選項(xiàng)符合題意.

破解 由函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，可知切線斜率在[a，b]上越來越大，所以函數(shù)y=f（x）的圖象越來越陡峭，故選A.

變式練習(xí)

1. 設(shè)f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且令Δx→0時(shí)，→3，則 f ′（x0）等于（ ）

A. B. 0 C. -1 D. -3

2. 已知函數(shù)f（x）=ax+4，且滿足=2，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）

A. 2 B. -2 C. 3 D. -3

3. 曲線y=2sinx在點(diǎn)P（π，0）處的切線方程為（ ）

A. y=-2x+2π\(zhòng)tB. y=0

C. y=-2x-2π\(zhòng)tD. y=2x+2π

4. 曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)（-1，a+2）處切線的斜率為8，a等于（ ）

A. 9 B. 6 C. -9 D. -6

5. 已知函數(shù)f（x）=2x3-3x.

（1）求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值；

（2）若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍；

（3）過點(diǎn)A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切？（只需寫出結(jié)論）

6. 已知函數(shù)f（x）=x3-x.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t， f（t））處的切線方程；

（2）設(shè)a>0，如果過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a

參考答案

1. C 2. A 3. A 4. D

5. （1）f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值為f-=.

（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x0，y0），則y0=2x-3x0，且切線斜率為k=6x-3，所以切線方程為y-y0=（6x-3）（x-x0）. 因此t-y0=（6x-3）（1-x0），整理得4x-6x+t+3=0. 設(shè)g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”等價(jià)于“g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)”. g′（x）=12x2-12x=12x（x-1）. 當(dāng)x變化時(shí)，g（x）與g′（x）的變化情況如下：

所以，g（0）=t+3是g（x）的極大值，g（1）=t+1是g（x）的極小值. 結(jié)合圖象知，當(dāng)g（x）有3個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，有g(shù)（0）=t+3>0且g（1）=t+1<0，解得-3

故當(dāng)過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切時(shí)， t的取值范圍是（-3，-1）.

（3）過點(diǎn)A（-1，2）存在3條直線與曲線y=f（x）相切；過點(diǎn)B（2，10）存在2條直線與曲線y=f（x）相切；過點(diǎn)C（0，2）存在1條直線與曲線y=f（x）相切.

6. （1）f ′（x）=3x2-1. 曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程為：？搖y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.

（2）如果有一條切線過點(diǎn)（a，b），則存在t，使b=（3t2-1）a-2t3. 于是，若過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根. 記？搖g（t）=2t3-3at2+a+b，則g′（t）=6t2-6at =6t·（t-a）. 當(dāng)t變化時(shí)，g（t），g′（t）變化情況如下表：

由g（t）的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+b<0或極小值b-f（a）>0時(shí)，方程g（t）=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)a+b=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=0，t=，即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b-f（a）=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=-，t=a，即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a+b>0，b-f（a）<0，即？搖-a