基于拉普拉斯變換法的簡支梁橋振動頻率研究

高彥鑫，仝瑞金

（1.天津市政工程設計研究總院有限公司南沙分公司，廣東廣州 510000）2.廣州南沙交通投資集團有限公司，廣東廣州 510000）

0 引言

結構振動頻率是動力特性的重要指標，反映了結構的整體剛度、組成體系和質量分布等。在橋梁竣工或者運營階段，通常需要對結構進行持續監測，獲得其振動頻率。如果實測值大于理論計算值，說明橋梁結構的實際剛度較大，反之則說明橋梁結構的剛度偏小，可能存在開裂或其他不正常現象。因此，準確測量橋梁結構的振動頻率至關重要。對于剛度較大的橋梁，如簡支梁橋，自然激勵通常較難獲得準確的振動頻率，通常需要進行跑車或者跳車試驗，對橋施加激振荷載，才能較準確地獲得其振動頻率。但由于車輛的存在，車輛和橋梁組成了車-橋耦合系統，因此在動力試驗中，得到的橋梁振動頻率實際上是以橋梁振動為主要振動形式的車-橋耦合系統的振動頻率，而非橋梁自身的固有頻率，工程上常把車-橋耦合系統的橋梁振動頻率稱為橋梁有載頻率[1]。在動載試驗中，如果忽略車輛質量的影響，通常會造成頻譜分析時的波峰漂移，從而難以判定橋梁的真實頻率及階次，如圖1 所示。

圖1 頻譜分析時的波峰滑移

早在1997 年，Charles R Farrar 等[2]和2003 年Chul-Young Kim[3]通過橋梁動載試驗，發現橋梁有載頻率與固有頻率誤差較大的現象，揭示了車輛位置對橋梁頻率的影響。應懷樵[4]利用傳遞矩陣分析得到了移動荷載在簡支梁不同位置處的各階頻率變化曲線，表明了移動荷載的位置和大小對系統的各階頻率有很大的影響。唐賀強[5]根據橋梁固有頻率的定義求解橋梁振動微分方程，給出了列車荷載作用下簡支梁橋有載頻率的解析表達式。程永春等人[6]利用模態分析對車橋系統方程解耦得到多個車輛作用下橋梁的有載頻率。

橋梁有載頻率與固有頻率不僅在車橋耦合系統中誤差較大，在人行橋耦合振動方面同樣如此。因此，研究橋上移動荷載對橋梁振動頻率的影響十分必要。本文利用拉普拉斯變換[7]，通過多點疊加的方法，分析車重在不同位置時的簡支梁橋振動頻率，為理論計算及測量分析提供理論依據。

1 振動頻率計算理論

結構振動頻率是結構動力分析與控制的重要參數，我國規范中將沖擊系數定義為橋梁基頻的函數，因此結構振動頻率的求解有重要的意義。結構振動頻率的求解主要有試驗法[8]、數值法[9]和解析法[10-11]。試驗法一般是利用加速度傳感器測量加速度時程數據，然后通過頻譜分析獲得響應的振動頻率。數值法主要是建立有限元模型，對結構進行動力分析，得出振動頻率及相應的振型。解析法則通過顯式求解振動方程獲得頻率公式，有效地避免了試驗法和數值建模的繁瑣，具有簡單、高效和準確等優點，一直以來都是研究人員關注的重點。為了分析車重在不同位置時的簡支梁橋振動頻率，本文的理論模型如圖2 所示，車軸重Mi位于xi處，同時不考慮軸力N的影響。

圖2 理論模型圖

已知歐拉梁的橫向振動方程[12]如式（1）：

式中：ρ為密度，kg/m3；A為橫截面面積，m2；I為截面慣性矩，m4；E為彈性模量，N/m2；u為梁的橫向位移，m；P為外加荷載，N。

質量M可以看成是作用在梁上的外荷載，即外荷載為Mδ(x-xi)?2u(x,t)/?t2，由于車輛荷載的車輪數不同，外力增加的個數與位置也會不同，得到圖2 中簡支梁的橫向振動方程為：

式中：R為施加外力的個數。

利用Laplace 變換的微分性質：

對式（4）做Laplace 變換并化簡后可得象函數如式（6）：

通過查表法對式（6）進行Laplace 反變換：

解方程s4-k4= 0，得s1=k，s2= -k，s3=ik，s4= -ik，無重根。

因為Y( 0 )= 0，Y''( 0 )= 0，可得Y(x)和Y''(x)表達式如式（7）：

對式（7）進行二次求導：

l處的位移與彎矩表達如式（9）、式（10）：

式中：

又由于Y(l)= 0，Y''(l)= 0，所以求行列式得特征方程如式（11）所示：

由式（11）可求出非零k值，最終激振荷載位于任意位置下簡支梁橋的各階振動頻率可由式（12）求出：

2 算例

以某簡支梁橋為例，利用本文理論計算方法和有限元方法[13-14]進行對比驗證。有限元模型如圖3 所示，橋長為30 m，橋寬4.8 m，梁高1.9 m，容重為25 kN/m3，橫截面積A為2.58 m2，彈性模量E為3.25×1010N/m2，截面慣性矩I為1.226 606 m4，無荷載作用下的利用有限元計算基頻為4.297 Hz，采用規范方法計算所得的基頻則為4.337 Hz。現有一輛三軸加載車，其質量約為14.5 t，其軸間距如圖4 所示，前軸重40.635 kN，中后兩軸重相等，為52.245 kN。

圖3 單箱單室簡支梁橋有限元模型

圖4 試驗車平面尺寸（單位：m）

通過有限單元法軟件Midas Civil 模擬全車通過橋梁時的頻率變化情況，與本文的理論計算結果進行對比。計算結果如表1 所示（以車輛中軸位置為準）。

表1 頻率對比

對應的加載位置與頻率的關系如圖5 所示。

圖5 頻率對比圖

跨中有載頻率與橋梁固有頻率降低值計算如式（13）：

結果表明，車輛移動過程中，橋梁振動頻率呈現從跨中向支座兩端逐漸增大的規律。車輛荷載行駛到橋梁跨中時，橋梁自振頻率降低了6.47%，車重對簡支梁振動頻率的影響不可忽略。本文推導的公式的計算結果與模型計算結果基本一致，證明該理論解的正確性。

3 結論

在橋梁的動載試驗中，對于剛度較大的橋型通常需要使用激勵法獲得其振動頻率，而跑車和跳車試驗是主要的激勵方式。本文利用拉普拉斯變換，通過多點疊加的方法，考慮激勵源質量并獲得了行車質量在不同位置下簡支梁振動頻率的理論解。主要結論如下：

a）車重對簡支梁振動頻率的影響不可忽略，車輛移動過程中，橋梁振動頻率從跨中向支座兩端逐漸增大。

b）車輛重量越大，有載振動頻率的變化范圍越大；橋跨越長，有載振動頻率的變化范圍越大；橋梁質量越大，有載振動頻率的變化范圍越小。

c）利用本文方法，可以準確獲得振動過程的頻率上下限，得到有載振動頻率峰值滑移的范圍，從而準確確定振動頻率階次。