用于發動機邊緣損傷型葉片修復的曲面重構方法

郭春 李中元 農王亮 陶冶

摘要：發動機損傷葉片的表面重構是發動機葉片修復的一個關鍵問題。在多種損傷類型葉片的曲面重構中，邊緣損傷型葉片的表面重構具有較大困難，因此類葉片表面在邊緣處過渡復雜，而且損傷后的葉片發生了變形。本文針對上述問題提出一種面向邊緣損傷型葉片表面的曲面重構方法。首先，重構非損傷截面輪廓的表面輪廓和邊緣輪廓，邊緣輪廓采用貝塞爾曲線進行重構；然后，通過預測邊緣損傷區域貝塞爾曲線的控制點重構損傷區域邊緣輪廓，通過將表面輪廓曲線與貝塞爾曲線進行搭接得到損傷區域完整截面曲線；最后，通過放樣各個截面曲線獲得重構的葉片表面。本文對所提重構方法進行驗證并進行誤差分析，結果表明了所提方法的有效性。

關鍵詞：曲面重構；邊緣損傷型葉片；三次貝塞爾曲線；最小二乘法

中圖分類號：TH11 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.06.001

文章編號：1006-0316 （2023） 06-0001-08

Surface Reconstruction Method for Engine Edge Damaged BladeRepaire

GUO Chun，LI Zhongyuan，NONG Wangliang，TAO Ye

（ School of Mechanical Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China ）

Abstract：Surface reconstruction of damaged engine blades is a key issue in engine blade repair. In the surface reconstruction of blades of multiple damage types， the surface reconstruction of edge damage leaves is difficult， so the surface transition of the blade-like blade is complex at the edge， and the blade is deformed after injury. In view of the above problems， this paper proposes a surface reconstruction method for edge damage blade surface. Firstly， the surface profile and edge profile of the non-damage section profile are reconstructed， and the edge profile is reconstructed by Bezier curve. Then， the edge contour of the damage area is reconstructed by predicting the control point of the Bezier curve of the edge damage area， and the complete cross-sectional curve of the damage area is obtained by lapping the surface contour curve with the Bezier curve. Finally， the reconstructed blade surface is obtained by lofting the individual cross-sectional curves. In this paper， the proposed reconstruction method is verified and the error analysis is carried out， and the results show the effectiveness of the proposed method.

Key words：surface reconstruction；edge damage blade；cubic Bezier curve；least square method

航空發動機葉片工作于高溫、高壓環境下，在服役一段時間之后會發生損壞及變形[1]。由于葉片的材料和制造成本高，相較于重新生產新的葉片，將損壞的葉片進行維修不僅能延長葉片的使用壽命，同時節約成本。當下對葉片自適應修復研究中，重構損傷葉片表面是其關鍵環節。對此，國內外學者展開了積極的探索。

在近幾年的研究中，李志[2]提出面向渦輪葉片曲面修復的曲面重構方法。Gao等[3]發展了一種表面擴展算法，通過將缺陷表面的參數信息外推到缺陷區域，從而生成磨損的葉尖模型。張偉等[4]提出一種分段擬合葉片切片截面曲線，然后構造滿足二維約束的最優曲面，最后使用曲線放樣生成曲面。Zhao等[5]提出了一種對每個截面的測量點進行自由變形修正來確定最終截面曲線，然后放樣重建最終的截面曲線。該方法的測量數據點使用接觸式測量獲得。Xu等[6]提出了一種基于實測接觸點的薄特征葉片曲面重構方法，該方法使用三次NURBS曲線對橫截面曲線進行逆插值，擬合和曲面重構。這個方法只用于非損傷葉片的曲面重構。Yu等[7]提出了一種通過遞推變形與缺陷截面曲線相鄰的參考截面曲線獲得損傷區域截面線的方法。文章中提出了參考曲線中各控制點的逆移動分布算法，以實現曲線變形。該方法旨在保證曲面光滑度。Zheng等[8]提出了一種基于刀具路徑修正的葉片修復方法。該方法首先對損傷區域附近的標稱曲線和測量點的剛性配準，然后基于可行區域的殘差B樣條逼近，以及修復機械所用刀具路徑的修正，用改進的ICP算法實現了標稱曲線對測量點的修正。該方法用于葉尖修復。聶兆偉等[9]提出鏡像模型驅動的葉身自適應修復曲面重構方法。該方法以葉身設計曲面作為理論模型，以實際待修復葉身的測量值作為實作模型。

葉片常見的三種損傷形式分別是尖端損傷、凹面和凸面損傷以及邊緣損傷。在當前的研究中，有的學者提出的方法針對特定損傷形式葉片的表面重構。Gao等[3]提出的方法適用于的尖端損傷的扭曲葉片表面重構。有一部分學者所提方法雖然沒有指定針對某一種特定損傷形式，但是其實驗結果主要傾向于葉片凹面和凸面的驗證。Wu等[10]提出的模型重建方法中，實驗結果驗證了所提方法在葉片凹面和凸面的有效性，卻缺少對邊緣表面的驗證。Zheng等[8]提出的方法以尖端損傷葉片驗證了所提方法，但并沒有給出邊緣損傷葉片的驗證實例。

當下較少有學者和工程人員針對邊緣損傷形式的葉片重構進行研究。在針對特定損傷形式葉片表面重構研究中，很少有學者關注邊緣損傷形式的葉片表面的重構。而在不區分具體損傷形式的葉片重構方法中，也很少給出對葉片邊緣重構效果的驗證。陳云勇等[11]提出一種基于誤差控制的薄壁葉片橢圓弧形前后緣建模方法。但該方法適用于完整葉片的逆向建模，而不適用于損傷葉片的建模。趙旭升等[12]在損傷葉片曲面重構的研究中，分別提出了針對葉片尖端損傷和邊緣損傷的葉片截面曲線重構方法。該方法對邊緣損傷葉片的重構精度還仍有提升空間。

邊緣損傷是發動機葉片的常見損傷形式，針對邊緣損傷型葉片的表面重構對葉片修復具有重要意義。然而，邊緣損傷型葉片表面重構面臨較大困難，其原因在于此類葉片表面在邊緣處過渡復雜，且損傷后的葉片存在形變。針對當下邊緣損傷形式的葉片表面重構研究較少。因此，本文提出一種面向發動機邊緣損傷型葉片表面的曲面重構方法。

1 本文提出的曲面重構方法

如圖1所示是邊緣損傷型葉片表面重構流程，在進行葉片截面輪廓曲線重構時，分別對邊緣輪廓曲線和表面輪廓曲線進行重構，因為在葉片的一個截面輪廓上，其葉片邊緣曲率變化大，而葉片表面輪廓的曲線變化平緩。在進行邊緣輪廓進行重構時，采用三次貝塞爾曲線擬合邊緣曲線，同時利用已知非損傷區域的貝塞爾曲線特征預測損傷區域貝塞爾曲線特征，從而實現損傷區域邊緣曲線的重構。在獲得各個高度下的葉片邊緣輪廓，利用搭接算法將不完整的表面輪廓曲線和貝塞爾曲線首末端點進行搭接，完成葉片截面輪廓曲線的重構。最后經過曲線放樣獲得完整葉片表面。

1.1 點云分割

葉片非損傷截面輪廓的點云分割算法的輸

入是 ，該點集是激光傳感器所

測得的同一個截面輪廓的點云數據。首先將該點集在xoy平面投影。然后以四次曲線擬合該數據點可得到一條處于截面輪廓內部的四階曲線，曲線表示為：

（1）

式中：a、b、c、d、e為四次曲線系數；x為曲線自變量；y為因變量。

P的y坐標在四階曲線投影得到點集Pp，

比較P和Pp的y方向坐標值，如果 ，pi屬于PH，反之pi屬于PL，由此可將該曲線P分為兩個點集，分別是 和 。

在一個截面的測量點云數據中，據點在邊緣某處曲率逐漸增大，將這些數據點分為前緣點、后緣點、上表面點和下表面點。得到非損傷截面輪廓數據之后，需要將數據點進行分割。

如圖2所示，用四階曲線擬合輪廓數據，可得到穿過輪廓內部的一條四次曲線，該曲線將點云數據分為上下兩部分。接下來的工作重點是將邊緣輪廓的數據點與表面輪廓的數據點分割。

圖2 階曲線分割葉片截面數據點

根據四次曲線的首末端點P1、P2可對數據

進行排序。點集為 ，P1、P2

的中點為P0，P0與點集P中的點形成向量 ，計算向量 與向量 之間的夾角 ， 。根據ai大小對點集P進行排序，所得點集為 。

分割算法如下：

步驟1：輸入點集合Q。輸入變量 ，賦值 ， 為點集 的序號。

步驟2：如果 ，創建點集合M，

，創建點集合N和R， ， ；否則，

結束。

步驟3：以點集合R計算Pi點的法線 ，

分別以點集合M和N計算每個點所在的曲率半徑r1、r2。

步驟4：設定曲率閾值r0，遍歷點集合Q，

如果 ，則將點集分割為邊緣輪廓數

據點和表面輪廓數據點。

步驟5：合并前緣和后緣的兩個邊緣數據點，得到前緣和后緣的完整數據點。

1.2 非損傷截面表面輪廓曲線擬合

由上文所提的同一截面輪廓上數據點的分割算法可將一個高度上的葉片非損傷截面輪廓數據點分割為前緣數據、后緣數據、葉盆數據、葉背數據。在本節中，葉盆數據和葉背數據采用相同的重構方式，用四次曲線擬合葉盆數據和葉

背數據。輸入點集 ，將點集投影于xoy平面得到二維點集合 ，使用最小二乘法擬合點集 。設擬合多項式為：

（2）

式中：a0、a1、a2、a3、a4為多項式系數。

計算偏差和為：

（3）

將式（3）對ai求偏導數并化簡整理得：

（4）

式（4）的形式為 ，A為系數矩陣，由矩陣運算可得到A，即得到擬合曲線。葉背擬合曲線如圖3所示。

圖3 葉背數據點擬合

1.3 非損傷截面輪廓邊緣曲線重構

通過分割算法對非損傷截面輪廓數據點進行分割，可獲得非損傷區域截面輪廓完整的邊緣數據點，同時可以得到邊緣數據點和上下表面數據點公共點的切點和切線方向。已知三次貝塞爾曲線的特點就是第一個和第四個控制點就是曲線的起點和終點，第二個控制點位于起點切線方向上，第三個控制點位于終點切線方向上。于是可通過如下算法利用貝塞爾曲線擬合葉片輪廓邊緣數據點。

三次貝塞爾曲線表達式為：

（5）

式中：t為參數，t＝0～1；P0、P1、P2、P3為貝塞爾曲線控制點。

利用貝塞爾曲線重構葉片邊緣曲線的關鍵在于確定控制點。由葉盆和葉背曲線端點和端點切線方向確定貝塞爾曲線首末控制點及其切線方向，如圖4所示。根據貝塞爾曲線性質，

控制點P1位于P0法線 方向上，控制點P2位于P3的法線 方向上。

控制點求取算法如下：

（1）步驟1

輸入控制點P0、P3， ， ，葉片邊緣點集合 ，首末控制點切線向量 、 ， ， ，輸入變量k1、k2。

（2）步驟2

第二個控制點表示為：

（6）

第三個控制點表示為：

（7）

誤差值表示為：

（8）

（9）

（10）

式中： 、 、 、 。

最小二乘公式替換為：

（11）

對k1和k2求偏導數并化簡得 ，利用矩陣計算可求得k1和k2。

（3）步驟3

將k1和k2帶入得到葉片邊緣貝塞爾曲線。

P0、P1、P2、P3為三次貝塞爾曲線控制點；

、 為首末控制點所在切線的向量。

P0、P1、P2、P3為三次貝塞爾曲線控制點。

1.4 邊緣曲線控制點預測

葉片邊緣從葉尖到葉根過渡過程中，曲線呈現出光順的過渡。于是通過損傷區域上下兩個邊緣貝塞爾曲線的首尾控制點預測損傷區域各個截面輪廓的邊緣貝塞爾曲線的首尾控制點。同時，三次貝塞爾曲線的首末控制點的交點也呈光順變化，所以使用損傷區域上下兩個控制點交點預測損傷區域控制點交點。預測的數值呈線性變化趨勢。此外，葉片邊緣輪廓貝塞爾曲線平行于首末端點所形成的線段的切點應光滑過渡，所以使用損傷區域上下兩個邊緣貝塞爾曲線的切點預測損傷區域的貝塞爾曲線切點。

由三次貝塞爾曲線擬合方法可重構鄰近于邊緣損傷區域的最高和最低兩個高度的截面曲線，P1、P2、P3、P4為最低高度的邊緣輪廓貝塞爾曲線的控制點，P0為貝塞爾曲線首末控制點所在切線的交點。P1'、P2'、P3'、P4'為最高高度的邊緣輪廓貝塞爾曲線的控制點，P0'為貝塞爾曲線首末控制點所在切線的交點。如圖6所示。

P1、P2、P3、P4和P1'、P2'、P3'、P4'分別是完整邊緣輪廓三次貝塞爾曲線控制點；Pi1、Pi4分別為第i個損傷輪廓三次貝塞爾曲線的預測首末控制點；P0、P0'分別為首末控制點切線的交點；

Pi0為第i個損傷輪廓的預測交點。

圖6 首末控制點切線交點示意圖

首先需要確定P0的坐標，由向量關系可確

定的坐標。由向量關系 、 可確定系數k，進而得到P0的坐

標。將P0、P0' 投影于xoz平面和yoz平面，建立首末控制點切線的交點值的 坐標和y坐標與截面高度z的一階線性關系。P0坐標為（xp，yp，zp），P0'坐標為（xq，yq，zq），第i個截面首末控制點切線交點P0i坐標為（xi，yi），可得關系如下：

（12）

（13）

該截面上首末控制點切線交點 ，以同樣方法可獲得該截面上首末控制點和P4i。

1.5 表面輪廓曲線搭接

葉片表面的輪廓曲線在邊緣處過渡平緩，可利用三次樣條曲線對缺失部分的表面輪廓曲線進行搭接。為了保證一階連續，在控制點P4和表面曲線端點位置，搭接曲線的零階和一階倒數分別等于P4點和表面曲線端點的零階和一階倒數。由此條件可確定搭接曲線。圖7為搭接前后曲線。

2 實驗驗證

為了驗證所提方法的有效性，采用標準葉片模型來進行實驗。采用標準模型的好處在于，通過所提方法對損傷模型進行重構，在驗證階段可以使用標準模型作為參考來驗證所提出方法的重構效果。在標準葉片模型上加凸起模擬堆焊修補后的邊緣損傷型葉片。在不同高度上對損傷葉片表面進行采樣，生成理想點云。如圖8（a）是葉片標稱模型，圖8（b）是經堆焊修補后的邊緣損傷型葉片示意圖。

為了評價本文提出的方法的重建精度，本文基于圖8（a）中所示葉片標準模型生成的測點進行了葉片的樣條表面重建。實驗中在模型表面進行采樣取點。為了模擬激光傳感器的測量數據，在不同高度上分別以間隔0.1進行采樣。所獲得的模擬測量數據如圖9所示。在實際的激光傳感器測量過程中，總是有誤差存在，為此，在每個測量點的z坐標上隨機生成0.01的誤差，用于模擬實際的激光傳感器測量數據。圖10所示是有誤差的模擬測量數據。

通過模擬的測量數據，使用本文所提算法損傷區域相鄰的非損傷截面輪廓進行重構，然后使用邊緣輪廓控制點預測算法對損傷區域邊緣輪廓進行重構，最后通過搭接算法搭接損傷區域邊緣和凹面、凸面輪廓。最終的重建模型與葉片標準模型相同，但在幾何精度上存在差異。

為了驗證重構后的葉片表面，分別計算重構后截面輪廓曲線到標準葉片模型表面的誤差。圖11為重構截面輪廓與標準模型表面之間的誤差分布。本文提出方法的最大誤差為0.0352 mm。

此外，為了觀察重構葉片分別在損傷區域頂端、中部、底端的重構效果，分別建立重構葉片在如圖11所示三個截面輪廓的平均誤差。截面如圖12所示，圖13為三個截面最大誤差值。

3 結論

本文提出了一種面向邊緣損傷型葉片的表面重構方法，對于邊緣損傷型葉片，通過重構葉片截面輪廓曲線，并將輪廓曲線進行放樣實現損傷葉片表面的重構。通過對損傷區域邊緣曲線控制點的預測，以及頂點約束，利用三次貝塞爾曲線重構葉片缺失的截面曲線邊緣，進一步將邊緣曲線與表面曲線搭接實現葉片損傷截面輪廓的重構。與原始截面輪廓相比，其重構的截面誤差最大為0.0352 mm。

本文提出的邊緣損傷型葉片表面重建方法在仿真中具有較高的精度，這有利于修復后的葉片更好地適應工作環境。本節的實例分析表明了所提出的邊緣損傷型葉片表面重建方法的有效性。實例表明，該方法可用于葉片自適應修復過程的葉片表面重構模塊。

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