基于正弦余弦的自適應(yīng)教與學(xué)優(yōu)化算法

李會榮，任春年，魏倩茹

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛 726000）

教與學(xué)優(yōu)化算法（Teaching-Learning-Based Optimization，TLBO）是由 Rao 等[1]模擬班級教學(xué)過程提出一種新型群體智能優(yōu)化算法。教與學(xué)優(yōu)化算法與其它群智能優(yōu)化算法類似，都是基于種群的元啟發(fā)式隨機優(yōu)化算法，具有算法原理簡單、參數(shù)少、尋優(yōu)性能好、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，目前已經(jīng)在函數(shù)優(yōu)化、多目標(biāo)優(yōu)化、工程參數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-4]。然而，TLBO算法在求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題時會出現(xiàn)早熟收斂、收斂速度較慢等問題，通常不能收斂到全局最優(yōu)[5]。為此，許多研究者對TLBO算法進行了改進，例如，Rao等[5]將變異算子和精英策略融入到TLBO算法中，提出了一種精英教與學(xué)優(yōu)化（ETLBO）算法。于坤杰等[6]提出了一種基于反饋的精英教與學(xué)優(yōu)化（FETLBO）算法，該算法在ETLBO算法中融入反饋機制，可以增加教師與學(xué)困生之間的反饋交流，有效增強了算法的局部搜索能力。李會榮等[7]提出了一種自適應(yīng)教學(xué)因子，將差分變異策略融入到TLBO算法中，提出了一種融合差分變異的教-學(xué)優(yōu)化算法，增強了算法的尋優(yōu)性能。李麗榮等[8]在教學(xué)階段引入非線性動態(tài)學(xué)習(xí)因子和動態(tài)隨機搜索策略，提出了一種具有動態(tài)自適應(yīng)學(xué)習(xí)機制的教與學(xué)優(yōu)化算法。歐陽城添等[9]利用Tent映射反向?qū)W習(xí)策略初始化種群。在教學(xué)階段，對教師個體執(zhí)行天牛須搜索算法；在學(xué)習(xí)階段，對學(xué)生個體進行混合變異，提出了一種新的融合改進天牛須搜索的教與學(xué)優(yōu)化算法。王培崇等[10]利用Chebyshev混沌映射初始化種群，利用動態(tài)學(xué)習(xí)因子維持種群的多樣性，對教師個體將執(zhí)行共軛梯度搜索，對種群內(nèi)適應(yīng)度較差的學(xué)生個體利用反向?qū)W習(xí)和高斯學(xué)習(xí)進行了二次學(xué)習(xí)優(yōu)化，提出了一種改進的混合混沌共軛梯度法教與學(xué)優(yōu)化算法。黎延海等[11]引入隨機交叉策略和“自學(xué)”策略來提高算法的全局尋優(yōu)能力，提出了一種基于隨機交叉-自學(xué)策略的教與學(xué)優(yōu)化算法。上述這些改進算法雖然能夠較好地提高TLBO算法的性能，但往往需要引入額外算子或者算法后期會出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象。為了改善TLBO算法求解高維復(fù)雜問題的能力，本文結(jié)合正弦余弦算法，提出一種基于正弦余弦的自適應(yīng)改進的教與學(xué)優(yōu)化（ASCTLBO）算法。該算法在教學(xué)階段引入自適應(yīng)教學(xué)因子和非線性慣性權(quán)重，增強算法局部搜索能力。在學(xué)習(xí)階段通過正弦余弦算法維持種群的多樣性，提高算法的全局搜索能力。

1 基本教與學(xué)優(yōu)化算法（TLBO）

基本TLBO算法通過利用教師知識水平與班級學(xué)生學(xué)習(xí)的平均水平之間的差異來促進學(xué)生之間相互學(xué)習(xí)，以此來提高班級的整體學(xué)習(xí)水平[12]。在基本TLBO算法中，班級學(xué)生總?cè)藬?shù)為種群規(guī)模，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績即為適應(yīng)度值，教師表示整個種群學(xué)習(xí)成績最好者。TLBO算法分為教學(xué)與學(xué)習(xí)兩個階段，教學(xué)階段是學(xué)生向教師學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)階段是學(xué)生之間互相學(xué)習(xí)。假設(shè)種群規(guī)模為N，空間維數(shù)為n，每個學(xué)生表示為Xi={Xi1，Xi2，…，Xin}，用適應(yīng)度函數(shù) f(Xi)表示第 i個學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。

1.1 教學(xué)階段

在教學(xué)階段，教師通過向?qū)W生傳授知識提高班級的整體學(xué)習(xí)水平，希望班級的平均學(xué)習(xí)水平Xm向自身Xi靠近。因此教學(xué)階段的迭代方程為：

其中，Xi和Xi,new分別表示第i個學(xué)生學(xué)習(xí)前和學(xué)習(xí)后的知識水平，表示班級全體學(xué)生的平均知識水平，Xt表示教師的知識水平，rand是區(qū)間[0,1]的隨機數(shù)；TF是教學(xué)因子，反映教師對班級整體學(xué)習(xí)水平的影響，一般取值為1或2，即表示為：

利用學(xué)生個體學(xué)習(xí)水平（即目標(biāo)函數(shù)值）來衡量學(xué)習(xí)者個體的優(yōu)劣，如果適應(yīng)度函數(shù)f(Xi，new)

1.2 學(xué)習(xí)階段

學(xué)習(xí)階段主要依靠學(xué)生個體之間相互學(xué)習(xí)而提高班級整體學(xué)習(xí)水平。學(xué)生Xi隨機向?qū)W生Xj進行差異性學(xué)習(xí)，迭代方程為：

如果適應(yīng)度函數(shù) f(Xi，new)

2 基于正弦余弦的自適應(yīng)教學(xué)優(yōu)化算法（ASCTLBO）

2.1 自適應(yīng)教學(xué)因子

在基本TLBO算法中，教學(xué)因子影響著班級平均學(xué)習(xí)水平的變化。由式(2)可知，取值為1或2，表示在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生沒有學(xué)到任何知識，或者學(xué)到了教師所傳授的全部知識。但是在實際教學(xué)過程中，由于教學(xué)任務(wù)、教學(xué)重難點及學(xué)生接受知識能力不同等因素影響，導(dǎo)致面對簡單知識點學(xué)生接受能力較強，面對重難點時學(xué)生接受能力較弱。在TLBO算法中，TF越小表示搜索步長越小，搜索能力較弱，收斂速度較慢。而TF越大表示搜索步長較大，搜索能力較強，收斂速度較快。為此，將教學(xué)因子TF隨迭代次數(shù)自適應(yīng)調(diào)整為：

其中，TFmin表示最小教學(xué)因子，t表示當(dāng)前迭代的次數(shù)，T表示最大的迭代次數(shù)。

從式(4)可以看出，隨著算法的迭代次數(shù)增加，TF從1+TFmin線性遞減到TFmin。當(dāng)算法開始迭代時，教學(xué)因子TF為1+TFmin，表示學(xué)生學(xué)習(xí)知識的能力較強，同時算法的全局搜索能力增強。隨著迭代次數(shù)的增加，教學(xué)因子逐漸趨于TFmin，表示在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)難度增強，學(xué)生接受知識的能力降低，同時算法的局部搜索能力增強（本文中取TFmin=1）。

2.2 自適應(yīng)慣性權(quán)重

在教學(xué)階段，教師通過“教”階段提高班級的整體學(xué)習(xí)水平。從式(1)可以看出，學(xué)生要么學(xué)習(xí)到教師傳授的所有知識，要么沒有學(xué)習(xí)到任何知識，與班級學(xué)生學(xué)習(xí)實際情況并不符合，忽視了不同學(xué)生的學(xué)習(xí)差異。為此，引入自適應(yīng)慣性權(quán)重，將迭代方程式(1)更新為：

其中，ω∈[0，1]為慣性權(quán)重，本文取 θ＝2，如圖1所示。由式(5)可得，在算法早期，學(xué)生主要是向教師學(xué)習(xí)，隨著迭代次數(shù)的增加，ω逐漸增大，學(xué)生維持自身學(xué)習(xí)的能力逐漸增強，對教師的依賴性逐漸減弱。這種機制和生活中的實際教學(xué)情況一致，早期學(xué)生主要是向教師學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)效率高。隨著班級平均水平不斷增長，教學(xué)難度變化，學(xué)生學(xué)習(xí)效率開始下降，因此，學(xué)生會選擇性地學(xué)習(xí)教師講授的知識，從而增強了算法的局部搜索能力。

圖1 迭代次數(shù)對慣性權(quán)重ω的影響

2.3 正弦余弦算法

在學(xué)習(xí)階段，學(xué)生選擇的教師非常重要，影響整個班級的學(xué)習(xí)水平。考慮到班級內(nèi)學(xué)生個體選擇的最優(yōu)教師可能不同，學(xué)生最終學(xué)習(xí)情況也會不相同。如果學(xué)生找到局部最優(yōu)教師時，大量學(xué)生個體會向?qū)ふ业降木植孔顑?yōu)教師學(xué)習(xí)，從而使得整個種群停滯不前，種群的多樣性減弱，容易出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象。針對此現(xiàn)象，本文在“學(xué)”階段引入正弦余弦算法[13]，通過利用正弦余弦算法的震蕩變化性質(zhì)，保持種群的多樣性，使得算法的全局搜索能力提高。

其中，λ 為調(diào)節(jié)系數(shù)，本文取 λ＝3，rδ在迭代前期遞減速度慢，所以rδ在前期權(quán)重較大，有利于提高算法在全局的搜索能力，迭代次數(shù)大于1/3時，曲線轉(zhuǎn)折幅度較大，之后進入局部尋優(yōu)，隨著迭代次數(shù)增加，rδ逐漸減為0，有利于算法前期在全局搜索能力增強，后期局部搜索能力增強[14]。圖2為步長因子r1、rδ隨迭代次數(shù)變化曲線圖。

圖2 迭代次數(shù)對步長因子r1、rδ的影響

由于TLBO算法在整個尋優(yōu)過程中，個體更新會受到自身的影響，引入非線性權(quán)重α，使得個體在更新過程中自身的影響呈非線性變化，如圖3所示，在算法初期，α值較小，個體更新時受到自身的影響較小，全局搜索能力增強。在算法后期，α值較大，個體受到自身影響較大，增強局部搜索能加強算法的收斂速度。因此將學(xué)習(xí)階段式(3)表示為：

圖3 迭代次數(shù)對非線性權(quán)重α的影響

其中，r2∈[0，2π]決定學(xué)生個體學(xué)習(xí)的位置，r3∈[0，2]決定教師對學(xué)生個體的影響，r4∈[0，1]的隨機數(shù)，控制算法使用正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)。

綜上，提出ASCTLBO算法的實現(xiàn)步驟為：

步驟1 設(shè)置種群規(guī)模N，空間維數(shù)n，最大迭代次數(shù)T，當(dāng)前迭代次數(shù)t=1。

步驟 2 初始化種群 X={X1，X2，…，Xm}，計算適應(yīng)度函數(shù)f(Xi)。

步驟3 教學(xué)階段按式(4)～式(6)更新個體，保留最優(yōu)個體。

步驟4學(xué)習(xí)階段根據(jù)正弦余弦算法，按式(4)、式(8)、式(9)更新個體。

步驟5 令t=t+1，返回到步驟3，直到滿足停止條件或達到最大迭代次數(shù)，迭代停止，輸出最優(yōu)解。

3 結(jié)果與分析

3.1 測試函數(shù)

為驗證提出ASCTLBO算法的性能，選取9個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進行數(shù)值試驗[15]，測試函數(shù)的表達式如表1所示（n表示空間的維數(shù)），并與TLBO[1]、ITLBO[16]、DSLTLBO[8]、CMDEATLBO[17]進行比較。在表1中，函數(shù)的最優(yōu)值均為0，其中f1～f5為單峰函數(shù)，f6～f9為多峰函數(shù)。

表1 測試函數(shù)

參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)T=500，教學(xué)因子最小值TFmin=1。其它參數(shù)：λ=3，θ=2。得到的最優(yōu)值（Opt）和最優(yōu)值的方差（SD）如表2所示，最優(yōu)值加粗表示。本文采用的測試環(huán)境為：Intel(R)Core(TM)i7-9750H 2.60GHz CPU，16GB內(nèi)存；Windows11操作系統(tǒng)；MATLAB R2020a軟件。

表2 單峰測試函數(shù)結(jié)果對比

3.2 收斂精度分析

數(shù)據(jù)維數(shù)分別為30維、50維、100維下進行試驗，每次試驗獨立運行30次，試驗結(jié)果如表2和表3所示，其中Opt、SD分別表示每組試驗運行30次的最優(yōu)值與方差。

表3 多峰測試函數(shù)結(jié)果對比

從表2可以看出，提出ASCTLBO算法、CMDEATLBO算法在單峰函數(shù)f1～f4中均達到最優(yōu)值，方差均為0，但是在單峰函數(shù)f5中，提出ASCTLBO算法的性能明顯優(yōu)于其余四種相比較的算法，從而表明提出ASCTLBO算法在單峰函數(shù)上具有明顯優(yōu)勢。由表3可知，提出ASCTLBO算法在多峰函數(shù)f6、f7和f9均取到理論最優(yōu)值0，而在 f8上，ITLBO、DSLTLBO、CMDEATLB 和提出ASCTLBO算法取得最優(yōu)值為8.88×10-16，但是在測試函數(shù)f8、f9中，提出ASCTLBO算法的方差明顯優(yōu)于其他算法。從表2和表3可以看出，無論在單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，無論是低維還是高維，提出ASCTLBO算法在最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差方面的性能都優(yōu)于其他算法。

3.3 收斂曲線分析

為了分析提出ASCTLBO算法的收斂速度，圖4和圖5給出在50維數(shù)下f1～f9的最優(yōu)值隨著迭代次數(shù)的收斂曲線圖，其中橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為取常用對數(shù)。

圖4 50維數(shù)下f1～f4的最優(yōu)值的收斂曲線

圖5 50維數(shù)下f5～f9的最優(yōu)值的收斂曲線

由圖4和圖5可以看出，提出的ASCTLBO算法在收斂速度與精度上均優(yōu)于其他四個算法，說明了自適應(yīng)慣性權(quán)重和正弦余弦算法在前期有著較強的全局搜索能力，加快了收斂速度。其中ASCTLBO算法在 f1、f2、f3、f4收斂曲線下降速度最快，只有 f2收斂曲線在后期稍微變慢，在迭代350次時與DSLTLOB算法交叉，說明ASCTLBO算法引入正弦余弦算法增強了全局搜索能力。f6、f7收斂曲線可以看出，ASCTLBO算法收斂性能優(yōu)于TLBO、ITLBO、DSLTLBO和CMDEATLBO算法，在運行20次內(nèi)就找到全局最優(yōu)值。只有f5和f8收斂曲線在迭代后期出現(xiàn)平緩現(xiàn)象，陷入局部最優(yōu)，但是收斂速度和精度還是優(yōu)于相比較的算法。f9收斂曲線圖在迭代前200次內(nèi)多次出現(xiàn)平緩趨勢，最后趨于下降。進一步驗證了引入的自適應(yīng)慣性權(quán)重有著較強的局部搜索能力，避免算法陷入局部最優(yōu)解。

3.4 算法復(fù)雜度分析

算法的復(fù)雜度決定了算法運行所消耗的時間，時間越長，算法越復(fù)雜，運行效率就會降低。如表4所示，9個測試函數(shù)在相同維數(shù)下，ASCTLBO算法運行耗時均少于其他四種算法，且耗時低于TLBO算法。隨著維數(shù)的增加，整體運行時間變長，但ASCTLBO算法耗時依舊是五種算法中最少的。說明引進的自適應(yīng)慣性權(quán)重和正弦余弦算法并沒有增加算法的復(fù)雜度，進一步顯示出提出的ASCTLBO算法的優(yōu)越性。

表4 算法運行時間

3.5 工程優(yōu)化問題應(yīng)用

為驗證提出ACSTLBO算法在工程設(shè)計優(yōu)化中的性能，選取約束工程優(yōu)化—壓縮彈簧設(shè)計問題[18]進行數(shù)值試驗。首先利用罰函數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，再利用提出ACSTLBO算法進行求解。參數(shù)設(shè)置為：迭代次數(shù) T＝500,λ＝3，θ＝2。壓縮彈簧設(shè)計是在一定的約束條件下尋找最小化的彈簧重量，其中約束條件主要有最小偏差（g1）、剪切應(yīng)力（g2）、震蕩頻率（g3）、外徑限制（g4）、彈簧金屬絲平均直徑 d（x1）、彈簧圈平均直徑 D（x2）和彈簧有效圈數(shù) N（x3），則數(shù)學(xué)模型：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

邊界約束：

在壓縮彈簧設(shè)計問題上試驗結(jié)果如表5所示。由表5可以看出，與TLBO、ITLBO、DSLTLBO及CMDEATLBO算法相比，提出的ASCTLBO算法性能最優(yōu)，最小值為0.012 685，從而表明ASCTLBO算法在復(fù)雜工程優(yōu)化問題的求解中是有效的。

表5 壓縮彈簧設(shè)計問題比較

4 結(jié)論

針對基本TLBO算法的不足，提出一種基于正弦余弦的自適應(yīng)教與學(xué)優(yōu)化（ASCTLBO）算法。在教學(xué)階段，引入非線性教學(xué)因子和自適應(yīng)慣性權(quán)重，使得當(dāng)前個體向全局最優(yōu)個體學(xué)習(xí)，保證種群的多樣性。在學(xué)習(xí)階段，利用正弦余弦算法的震蕩變化特性，有效保持了種群的多樣性。數(shù)值試驗表明，提出的ASCTLBO算法在全局搜索能力、收斂速度和收斂精度上都優(yōu)于其比較的算法，同時提出ASCTLBO算法在解決壓縮彈簧設(shè)計實際問題上具有明顯的優(yōu)越性。