經歷數學發現過程 建構有效數學課堂

陸穎

［摘 ?要］ 在數學教學中，教師可以引導學生切實體驗發現、探究、驗證、建構、再發現、再探究、再驗證、再建構的完整過程，這樣的探究經歷可以促進有效數學課堂的建構。研究者以“釘子板上的多邊形”專題活動課為例，提出以動手操作為載體，提升專題活動的有效性；以探究性問題為驅動，彰顯數學探究的思維性；以循序漸進的活動設計為指引，體現數學發現的遞進性。

［關鍵詞］ 數學發現；動手操作；問題；建構

一、問題的提出

數學發展史的進程中，數學家們發現任何一個定理或公式都需要經歷一個很長的過程，不僅需要在不完全歸納法后以大量事實進行驗證，還需要利用嚴格的數學證明來確認其正確性。倘若在數學教學中，教師可以引導學生像科學家一樣經歷發現和驗證的過程，切實體驗發現、探究、驗證、建構、再發現、再探究、再驗證、再建構的完整過程，想必這樣的探究經歷對學生而言會印象深刻，更是彌足珍貴的。

教材中“釘子板上的多邊形”是一節專題活動課，這一內容主要是為了讓學生通過數學探究獲得新的發現。教學時教師要通過合理利用教材，結合具體的學情進行斟酌，給予學生經歷一次完整的數學發現的真實體驗，實現智慧的碰撞。基于以上思考，筆者與教研組的同事進行商討，經歷了2次教學嘗試，以進行有效數學課堂的建構。

二、教學嘗試與思考

（一）初次嘗試

1. 初步感知，發現規律

問題：如圖1，請觀察圖形，并獨立填寫表格。

師：經過剛才的獨立思考，你們一定有了自己的想法和認識，下面分小組討論從表格中能發現什么？（學生展開了熱烈討論，思維不斷碰撞，很快有了統一的想法）

生：多邊形的面積即為多邊形邊上的釘子數的一半。

師：非常好。如果用字母b表示釘子數，S表示多邊形的面積，可以得出什么公式？

生：S=b÷2。（教師板書）

師：觀察了表格，我們再來仔細觀察這組圖形，你能發現它有什么特征？（學生仔細觀察）

生：在圖形的內部都僅有1顆釘子。

師：真是觀察仔細的好孩子，如果用字母a表示圖形內部的釘子數，則可以將圖形規律表示為：當a=1時，則S=b÷2。

2. 變化方法，建構規律

師（拾級而上）：下面再請大家試著在釘子板上任意圍出3個不同的多邊形，使其內部有2顆釘子，并填寫表1。

（教師提出問題后，學生自主地開展小組合作學習，在觀察、比較、辨析、討論、爭辯之后有了發現）

師：經過一段時間的探究，想必你們都有了自己的發現，下面每個小組派一個代表進行分享。（不少組別的學生都有了發現，爭先恐后地想要表達自己的觀點）

生1：多邊形的面積不等于邊上釘子數的一半，比一半多1。

生2：與我們組的發現相同。（其他兩個組也紛紛表示有了相同的發現）

師：沒有發表觀點的小組有沒有其他想法呢？愿意同我們說一說嗎？

生3：其實我們組也有相同的發現，只是沒有匯報。

生4：我們組在操作的時候畫錯了一個圖形，里面圍了3顆釘子。

師：那另外兩個符合要求的圖形可以得出這個規律嗎？

生4：可以。

生5：我們小組在圍圖形的時候，將圖形不滿整格視為半格數計算，得出面積是3，然后感覺錯了。

師：那我們就一起來看看他們小組圍成的圖形面積究竟應該是多少。（出示圖2）

……

課堂教學推進到此時，筆者發現已經與教學設計出現了較大的偏差。之后筆者依舊“循規蹈矩”地組織了規律的完善與驗證環節，并完成了教學任務。但是這一節課結束后，筆者深感疲憊，整節課沒有達到預期的教學效果，同時課堂中專題活動的氛圍并沒有很好地體現出來，學生也沒有發揮出自身的主體地位，使得教學效果不盡如人意。

（二）初次教學嘗試的反思

筆者的初次教學嘗試中反映出來的“誤區”主要體現在以下方面：

首先，在初步探究中，引導學生觀察圖形并得出“內部有1顆釘子”的活動設計不當。不當之處主要體現在所有的思維活動沒有在實踐操作中開展，學生沒有產生主動探究的意愿，一切觀察和探究活動都是出于教師與教材的要求。

其次，在學生動手操作圍圖形中，由于操作過程的偏頗得出了特殊的圖形，直接將學生的探究關注點引向了它處，形成了探究障礙；同時，倘若去掉探究過程，只安排之后的觀察和分析活動，學生一樣也可以探尋到其中的規律，因此這樣的教學設計是否合理有待斟酌。

事實上，就整節課而言，并沒有讓學生感受和體驗數學發現的過程，學生也沒有在“從1到2，再從2到3，直至無限”的規律發現中不斷進取，感受數學發現的喜悅。

（三）反思后的行為跟進——第二次嘗試

基于以上諸多想法和思考，筆者在反思和提煉之后拾級而上，進行了第二次教學嘗試。

1. 初次感知，有所認識

探究活動1.在釘子板上任意圍出一個圖形，并用自己的方法求一求圖形面積。

（學生在自主探究之后進行匯報和展示，氣氛熱烈）

生1：我用數方格的方法計算得出這個圖形的面積。

生2：我是用公式計算的。

師：那就讓我們一起來看一看你們所圍的圖形，大家仔細觀察，說一說這些圖形有何特征，其面積大小與什么有關。（學生展開了熱烈的討論，很快有了發現）

師：根據你們的發現得出所有圖形的頂點都在釘子上，一般來說我們將這樣的圖形稱為“釘子板上的多邊形”。（出示課題）這些多邊形面積與內部的釘子數及邊上的釘子數相關。

師：在研究中，我們一般通過先確定其中一個數量大小，然后研究其余兩個數量的關系來研究三個數量間的關系。比如，這里大家圍出的圖形中內部釘子數都是1，那就讓我們從這種內部有1顆釘子的圖形開始今天的探究之旅。

2. 初步探究，發現規律

探究活動2.

第一步：獨立在釘子板上任意圍出一個多邊形（要求：多邊形的內部僅有1顆釘子）；

第二步：數出該多邊形邊上有多少顆釘子，并通過自己擅長的方法計算該多邊形面積；

第三步：組內所有學生的結果匯總，填寫統計表2；

第四步：小組合作學習并觀察表內數據，你能發現什么？請在組內暢所欲言，大家相互分享自己的發現。

（學生在活動的引導下，循序漸進地進行數學探究，在觀察、思考、探索、交流中有了很多發現）

最終匯總得出：內部釘子數是1時，多邊形面積＝邊上釘子數÷2。

師（提煉總結）：如果用字母S表示多邊形的面積，a表示內部釘子數，b表示釘子數，則可以用“當a=1時，S=b÷2”來闡述此時它們的關系。

3. 深入探究，完善建構

師：那么，在剛才研究的基礎上，如果邊上的釘子數不改變，內部釘子數發生變化，結果會怎么樣呢？下面請大家觀察剛才自己圍出的圖形，并思考：基于原題，如何保證邊上的釘子數不變，迅速將內部的釘子數變成2？（此問題具有很強的探究性，學生自主地開展獨立操作，很快有了自己的想法，并在小組內進行了互動交流）

生：只需將多邊形的一條邊向外拉動。

師：非常好，讓我們繼續進一步的研究。

探究活動3.

第一步：學生獨立改造和變化之前的圖形，使得邊上的釘子數不變，且得出一個內部有2顆釘子的新圖形；

第二步：觀察新圖形，并思考新圖形的面積是多少，相較于之前多了多少；

第三步：小組合作學習，相互分享各自的發現。

學生又一次積極地進行探究，在師生的共同提煉下得出：當內部的釘子數a=2時，可得S=b÷2+1。

4. 變化圖形，建構規律

師：當內部的釘子數是3或4，或是更多時，面積S會如何變化呢？請大家進一步研究。

探究活動4.

第一步：變化圖形內部的釘子數，由3到4，或者更多，保證邊上的釘子數不變，將得出的面積與內部釘子數為1時相比較，得到什么發現；

第二步：全組有序匯總組內所有成員的發現，填寫表3；

第三步：一起觀察表3中的數據，你能發現什么？

學生在共同努力下，生成了表4所示的研究成果，并在分析與交流之后得出：S=b÷2+a-1。

5. 操作驗證，有所生成

探究活動5. 上述規律，是否只要是釘子板上的多邊形都適用呢？請學生獨立思考和操作，在釘子板上圍一圍看有何發現，然后小組內成員匯總相關數據，并填寫表5，以驗證規律是否正確。

在深度探究和合作交流之后，學生交流了一種特殊情況，即（內部無釘子數的情形），并獲得了新的認識。

6. 總結歸納，深化認識

師：本節課我們一起研究了“釘子板上的多邊形面積”，回憶整個研究過程，我們先從內部1顆釘子開始，直到多顆釘子，運用從特殊到一般的方法去研究和發現規律，再以自己的方式去驗證規律是否正確。事實上，這種方法也是數學家在發現規律時采用的方法，你們有了像科學家一般的研究經歷。希望今天的探究經歷讓你們記憶猶新，并能夠應用到之后的學習和研究中去。今天你們的發現也正是著名數學家皮克發現的皮克定理，《格點與面積》這本書著重介紹了與之相關的知識，對其感興趣的學生可以利用課余時間去進一步了解。

三、教學反思和感悟

（一）以動手操作為載體，提升專題活動的有效性

手與腦存在著千絲萬縷的聯系，這些聯系可以相互促進，讓手變得更加富有創造性，讓腦變得更加聰明。那么教師就需賦予學生更多的操作性活動，讓學生在“做數學”的過程中獲取知識、發展能力、生成智慧。比如，本節課在初次嘗試中可以明顯看出學生的動手操作活動無序、無力、無效。基于此，筆者在第二次嘗試中設計的5次探究活動都離不開動手操作，讓有序、高頻的動手操作貫穿整節課，讓學生“動”起來，在動手操作與數學思維的緊密聯系中高效完成教學目標，提高了專題活動的有效性，促進了學生規律的發現和思維的發展。

（二）以探究性問題為驅動，彰顯數學探究的思維性

數學規律是抽象靜止的，而小學生都是生動活潑的生命個體。如果教師將抽象靜止的數學規律直接“拋”給學生，讓學生通過應用來深化認識，勢必會導致學生思維的僵化。學生往往只能簡單地套用規律，一旦涉及靈活運用則常常思維卡殼。規律的教學需要著重關注發現的過程，每一個探究活動都需以問題為驅動，讓問題引領整個數學探究歷程，這樣才能充分展現數學探究的思維性。

比如，在本課的第二次教學嘗試中，筆者設計的5次探究活動無一例外都是以問題延伸開來的，為學生搭建好平臺，讓學生積極主動去觀察、分析、發現、思考、驗證，讓學生的思維更具開放性，讓數學課堂時時迸發出思維的火花。

（三）以循序漸進的活動設計為指引，體現數學發現的遞進性

想要體現數學發現的遞進性，就需要為學生設計層層遞進的數學探究活動，讓學生觸及數學本質，真正意義上感受和體驗新規律的發現和構建過程。本課中，教師設計了循序漸進的5次探究活動，從特殊到一般地指引學生進行數學研究，使其感受數學探究的愉悅、數學發現的遞進、數學知識的魅力，從而實現高效建構。

四、結語

總之，教與學相輔相成，數學課堂不僅需要教師盡心地教，也離不開學生積極主動地學，需要學生認真觀察、細心思考、主動發現、自主探究和合作學習。提高課堂實效的方法與途徑很多，需要教師以先進的教學理念來指導自身的教學實踐，精心設計教學過程，通過課堂實踐的磨礪來創造真實、開放、有效的數學課堂，才能讓自身的教學風格得到塑造，讓每個學生在課堂中有所得、有所獲，讓學生在數學發現中全面和諧發展，最終建構高效數學課堂。只有這樣精心構造，才能讓教師的專業素養快速發展起來，真正跟上新課程改革的腳步。