分類討論法在初中數學二次函數教學中的運用

文/黃建武

分類討論法作為初中階段應用較多的教學方法，是數學思想的具體體現，也是數學課堂的教學重點[1]。幫助學生在分類討論教學活動中學習教學知識，是教師可以采取的一種教學方法，也是教師在教學中的創新。二次函數是函數知識學習的基礎。筆者結合自身教學實踐經驗，對分類討論法在初中數學二次函數教學中的應用展開探討，并結合實際教學案例加以分析，以供各位讀者閱讀參考。

一、分類討論思想在正向型函數教學中的應用

正向型函數是指已知二次函數的定義域及區間，求取二次函數的最值。為高效完成這一問題的講解，教師可以根據題目中函數對稱軸與定義域區間之間的位置關系組織學生展開分類討論活動。正向型函數教學的討論過程可以分為三個項目，即軸定區間定、軸定區間動和軸動區間定。

（一）軸定區間定

“軸定區間定”這一情況是指，在已知二次函數的情況下，根據所給出的固定定義域區間，計算二次函數在定區間上的最值。

例1：函數y=-x2+4x-2 在區間[0，3]上的最大值和最小值分別是多少？

首先，教師可引導學生根據所給出的函數進行簡化，要求學生將題目中的函數轉化為另一種常見形式。在學生將函數轉化為y=-x2+4x-2=-（x-2）2+2 后，教師便可以進一步要求學生根據函數方程式的特征，對函數的圖像進行簡單的分析。學生在教師的提醒下可以得到相應的信息，如函數對稱軸方程式為x=2，頂點坐標為（2，2），且函數圖像開口向下。之后，教師便可以引導學生將基本信息與題目要求相結合。學生根據題目所給出的區間判斷頂點橫坐標與區間之間的位置，并得到題目中函數的頂點橫坐標位于給定的區間范圍之內。當明確頂點橫坐標與給定區間范圍之間的位置關系之后，教師便可以進一步引導學生根據之前所獲得的函數圖像信息，繪制出簡單的函數圖像，并結合題目要求得到題目答案。學生作圖如下：

如圖1 所示，函數的最大值為f（2）=2，最小值為f（0）=-2。

在講解完例題之后，教師便可延伸題目，應用分類討論思想，幫助學生學習更多不同題目的解題方法。仍以這道題為例，教師可以更換題目中的區間范圍，并延伸出頂點橫坐標不位于區間范圍之內的另一種情況。結合以上解題過程以及解題過程中所繪出的圖像，學生能夠在較快時間內掌握相應的解題方法，并得到答案。

（二）軸定區間動

“軸定區間動”是指在已知二次函數的情況下，根據所給出的定義域區間，計算二次函數在區間上的最值，題目中所給出的定義域區間隨參數變化。

例2：求函數f（x）=x2-2x+3 在x∈[a，a+2]上的最大值和最小值。

與“軸定區間定”問題的解題思路相同，首先教師可引導學生將函數方程式進行格式上的轉化，并根據所轉化出的方程得到函數圖像的基本信息。學生在完成函數方程式的轉化之后，可知這一函數圖像開口向上，其對稱軸為x=1。之后教師便可引導學生根據所給區間進行分類分析。教師可引導學生將定區間中的a值與對稱軸x=1 聯系，并延伸出不同的分類討論內容。

首先，學生分析當x=a時，a距離對稱軸x=1 最近，a+2 距離對稱軸x=1 最遠。因此，當x=a時，ymin=-a2+3，ymax=a2+2a+3。

其次，學生便可進行分類分析：①當0＜a≤1 時，1距對稱軸x=1 最近，a+2 距離x=1 最遠。因此，當x=1時，ymin=2，x=a+2 時，ymax=a2+2a+3。②當-1＜a≤0時，1 距對稱軸x=1 最近，a距x=1 最遠。因此，當x=1 時，ymin=2，ymax=a2-2a+3。 ③當a≤-1 時，a+2距對稱軸x=1 最近，a距x=1 最遠。因此，當x=a+2時，ymin=a2+2a+3，x=a時，ymax=a2-2a+3。

最后，教師可以組織學生根據二次函數區間圖像進行總結：

當a＞0 時，

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

當a＜0 時，

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

（三）軸動區間定

“軸動區間定”這一情況是指，在已知二次函數的情況下，根據所給出的定義域區間，計算二次函數在區間上的最值。定義域區間為題目給定區間不變，但二次函數圖像隨參數變化而變化。

例3：求函數f（x）=x2-2ax+3 在x∈[0，4]上的最值。

首先，教師可引導學生將函數方程式進行格式上的轉化，并根據所轉化出的方程得到函數圖像的基本信息。其次，學生在完成函數方程式的轉化后，可知這一函數的圖像開口向上，其對稱軸為x=a。最后教師便可依據分類討論流程，組織學生根據題目要求和所給信息進行分類討論：①當a＜0 時，0 距對稱軸x=a最近，4 距對稱軸x=a最遠。因此，x=0 時，ymin=3，x=4時，ymax=19-8a。②當0 ≤a＜2 時，a距對稱軸x=a最近，4 距對稱軸x=a最遠。因此，x=a時，ymin=3-a2，x=4時，ymax=19-8a。③當2 ≤a＜4 時，a距對稱軸x=a最近，0 距對稱軸x=a最遠。因此，x=a時，ymin=3-a2，x=0時，ymax=3。④當4 ≤a 時，4 距對稱軸x=a最近，0距對稱軸x=a最遠。因此，x=4 時，ymin=19-8a，x=0時，ymax=3。

通過講解這三種正向型函數的題目，學生能夠簡單了解分類討論思想在數學解題過程中的應用，有意識地將分類討論的方法應用于自己的實際解題過程中。

二、“二次函數y=ax2（a ≠0）的圖像與性質”案例研究

（一）課程分析

1.教學內容分析

本課內容要求學生能夠應用描點法畫出二次函數y=ax2（a≠0）的圖像，并能夠根據圖像認識和理解二次函數的相關特征。在課堂教學過程之中，教師應培養學生的探究能力，引導學生探索二次函數y=ax2的圖像和圖像特征，并引導學生體會分類討論的思想和方法。

2.學生需求分析

學生通過學習本課內容能夠掌握二次函數y=ax2基本的圖像與性質。除此之外，通過課堂學習過程中體會分類討論思想，學生能夠在數學學習方面獲得更加多樣的學習方法，同時也能夠在合作和分工的過程中體會到合作的重要性，綜合發展自身的素質和能力。

3.教學工具需求分析

在教學過程中，教師需要借助多媒體向學生展示二次函數y=ax2（a≠0）的圖像，同時也需要在黑板或多媒體顯示屏上向學生示范二次函數y=ax2圖像的繪畫過程，并借助圖像對二次函數的性質展開講解。

（二）實際教學流程

1.環節一：描點繪圖

首先，教師可通過提問的方式，引導學生復習之前的內容，并引入本堂課教學知識：“我們在之前學習了二次函數這一概念，那么二次函數的定義是什么呢？今天的學習內容是二次函數的圖像，我們在之前學習過一次函數的圖像，那么一次函數的圖像是什么形狀呢？我們又是怎樣繪制出一次函數的圖像呢？教師”通過這樣的復習提問引入，能夠使學生在課堂上提出描點繪圖。

（1）列表：設定x取值并計算y值，列出函數的對應值表（見表1）。

表1

（2）描點：根據所列出的函數取值與對應值，在平面直角坐標系中畫出點的位置。（點位如圖12 所示）

圖12

（3）連線：連接各點，并保證曲線光滑，得到函數y=x2的圖像。

在班級內所有學生完成二次函數y=x2的圖像之后，教師便可以將學生分為若干個小組，并要求學生依據相同的方法繪制y=2x2、y=-2x2與y=-x2的函數圖像。

2.環節二：歸納共性

教師可提問學生：“剛剛大家依照描點繪圖的方法繪制出了二次函數的圖像，請大家以小組為單位，將這4 個函數圖像匯總在一起并討論歸納這些函數圖像的共性。”學生在討論過程中加以總結歸納：“這4 個函數圖像的對稱軸都是y軸，函數頂點位于原點，函數圖像的開口方向與x前的數字正負值有關。”

3.環節三：探究本質

教師可以將這四個函數圖像展示在黑板或多媒體顯示設備上，并引導學生共同歸納y=ax2的圖像與性質。

4.環節四：例題解析

（1）寫一個頂點在原點，開口向上的二次函數關系式。（2）畫出圖像并回答問題：拋物線y=2x2頂點坐標是什么？對稱軸是什么？當x=？時，函數值最小，函數最小值是多少？拋物線y=2x2（頂點除外）在x軸的上方還是下方？（3）請你在不畫出圖像的前提下寫出y=-3x2和y=3x2的頂點坐標、對稱軸以及函數圖像的開口方向。

5.環節五：課堂總結

教師：“這堂課上，我們對二次函數y=ax2（a≠0）中的a的值進行分類，并展開了關于對應圖像的討論。通過這一分類討論過程，我們總結出y=ax2的頂點是原點，坐標軸是y軸，開口方向與a的值之間的關系。”

三、結束語

分類討論思想是現代初中數學教學中常用的教學思想，能夠有效鍛煉學生的數學思維和數學能力。這一教學思想能夠進一步深化學生對分類討論思想的理解和應用，并幫助學生在之后的學習過程中善于應用數學思想和數學方法。